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发信人: FoxMe (FoxMe), 信区: History
标 题: 天才的杰作——珠算开方术（转载）
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Nov 13 15:58:18 2021, 美东)
珠算开方术从筹算开方术演化而来，原理基本一样，只是效率更高。珠算开方最杰出的
成就，莫过于朱载堉的十二平均律。十二平均律是现代音乐的基础，核心问题是对2开
12次方，这样就能实现音调的循环。当然了，2的12次方可以分解为开两次平方根和一
次立方根，所以原则上只要掌握开平方的办法和开立方的办法即可。珠算开方基本上也
主要是这两个，但相对来说，在没有计算器的时代里，这已经可以处理许多问题了。
开平方和开立方的原理差不多，后者更复杂一点，所以这里就讲前者。开平方也有很多
种方法，这里讲最基本的一种。原理就是利用(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2.
举例：开5776的平方。
第一步，在算盘上打5776这个数字，数字前面至少留一档。
第二步，确定平方根的第一位，也就是a的大小。方法就是看5776除以100的商数57，显
然，57对应的方根是7。在算盘上5776的前一档置7，原数字减去4900，于是得70876。
第三步，确定平方根的第二位，也就是b的大小。方法就是看876除以20的商数43，显然
43除以7的商数为6。
将算盘上70876的第二位0变成6，而876则减去20*7*6，得76036。
第四步，检查最后的36是否开方得6，如果是，则答案得到，即76。
若不是，则开方为小数，继续按照之前的办法重复进行，直到得到需要精度的解。
上述办法可以容易地推广到任意位数的开方。在具体操作时，会有一些简化的流程或口
诀，方便普通人以较快速度完成开方。总之，与珠算的四则运算一样，最终的开方术是
非常简便且易于操作的。
近代反思中国古代科技的声音中，有很大一派是认为中国人不会抽象思维，所以无法形
成现代科学体系。这是错的。只要是可以被称为“数学”的学科，就一定是抽象的，没
有“具象”的数学。客观的说，中国古代数学不是不抽象，而是太抽象，导致了很多具
体应用存在困难。西方数学的基础是几何，几何就是一个相对而言比较“具象”的学科
，因为点、线、面、体总是能够给人产生直观印象。
中国古代主要是算学，也就是在一堆数字之间做各种巧妙的处置，从头到尾都是数字，
没有任何图像，如果抽象思维能力不强的人，很难对这种数学模式产生什么感觉。为了
避免这样的数学模式难以被人接受，所以中国古代就有了算术，也就是将复杂的运算规
则总结成简单的“术”，一般人不懂其原理，但只要知道“术”，也就是知道了计算流
程，就可以应用了。这有点类似于现代计算机，我想大多数人都不会明白计算机的软件
是用怎样的语言写出来的，大多数人只要会用这些软件就行。中国古代算术，就类似于
这样的“软件”。
西方现代数学的发展，离不开几何与代数的合流。代数在西方出现的历史很晚，要到文
艺复兴以后了，这正是东方的数学大量传入的结果。有很多证据表明，中国古代数学在
西方起了重要的推动作用。这个不再赘述。
中国古代的算学，虽然没有出现几何思想、没有出现现代的微积分和矢量，但我们有另
外三样法宝，完全可以替代。
第一个是数值插分法，也就是现代微积分中的泰勒展开、保留到高阶项。唐朝时候为了
计算日躔月离表，通常是保留到第二阶，而郭守敬则是保留到第三阶，其精度确实已经
相当高了。插分法需要一个很重要的工具，就是杨辉三角。这个三角也就是二项式系数
表，主要就是用在泰勒展开时确定展开系数。有了这个三角，展开到任意多阶都是可行
的。
第二个是勾股术，中国算学里没有点、线概念，最基本的单位就是三角，利用三角勾股
术，基本上大多数几何问题都能转换为代数，比如《九章算术》中将螺旋线转换为勾股
的题目。
第三个是大衍求一术，也就是同余问题求解，这个可以直接等价到近代的傅立叶变换上。
大衍求一术的原理，就是把任意一个自然数，展开成另一些数的线性组合，组合的系数
是根据余数为1的规则去求。这和量子计算的Shor算法几乎是同一件事情。关于大衍求
一术的细节及其与矢量代数的关系，请见附录。
中国古代数学在今天依旧可以有生命力，正是因为大多数情况下，实际的应用离不开“
术”的总结。我们现在这个社会正在从“科学”为主向“技术”为主的转移过程。这个
转移过程离不开经验公式的总结，这就是术。
举个例子，我们计算一个匀加速直线运动，在《九章算术》就有一道非常类似的题目。
题目说：“今有良马与驽马发长安至齐。齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，
日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日
相逢？”
这道题目中，出现了总路程、初始速度、加速度等基本物理量，用现代的力学方法，完
全可以求解（当然，答案会与原解有0.2日的偏差，原因是插分法的边界条件所导致）
。原文解法则是利用盈不足术，先设二马15日相逢，不足337.5里，16日相逢，盈140里
，运用盈不足术，则得答案为15.7日。
用我们现代力学的思维，这样的做法用到了质心及相对质心的动力学，已经有了加权平
均的思想。这种思想其实在经典力学中非常重要，因为大多数情况下，质心+相对质心
都是基本的解体思路，只不过我们现在的教材中还没有把这个提到很高的程度。
而按照现代物理的标准，这道题目正确的做法是列出坐标的运动方程，积分两次，即可
得到相应结果。但在中学物理中，我们实际上学的是一个总结好的积分结果，也就是vt
+at^2/2这样的经验公式，利用这个公式就能较为容易地计算任何匀加速运动。
我们的基础教育中，有大量的情况都是类似的。比如热学中的气态方程，电磁学中的安
培力等。我们的中学生没有使用其原本的微分和积分形式，同样可以解出相应问题，并
且在未来实际应用中也依然适用。我们有大量的习题，填鸭式地让学生掌握一些经验的
“术”。这样的教育模式也为我们培养了大量懂得运用“术”的工程师，他们未必会解
一个三维空间中带矢量的梯度微分方程，但他们知道如何动手制作一个电磁铁、以及导
线缠多少圈就能达到他想要的磁场强度。可以这样说，我们现在的基础教育模式，并没
有脱离中国传统算学的框架。而且现在看来，其行之有效。
西方现代数学的核心是函数，函数是曲线的一种简单推广，它可以说是一切现代科学的
基础。它主要是定量的刻画关系。我们中国人最重视的莫过于“关系”，但我们却没有
试图把“关系”定量化，这是中国数学和西方数学最大的差别。究其原因，西方数学的
起源是几何，几何的重点就是研究各种曲线及其关系。最出名的，莫过于古希腊对椭圆
的研究，在其基础上直接诞生经典力学、及其对第谷-开普勒天文体系的解释。
中国古代甚至找不到任何哪怕与“函数”这概念接近的一个概念，即使我们已经有十分
发达的方程术（多元一次方程组）和天元术（一元高次方程），甚至四元术（多元高次
方程组）。究其原因，主要还是因为中国古代数学最基础的单元是三角形，而非点或线
，所以没有人关心“线”到底是什么。
举个例子，明清之际西方几何传入，曾引发了中国数学家大量讨论椭圆之类的问题，也
出版了大量著作，比如《椭曲同诠》、《椭圆又术》、《椭圆正术》、《椭圆正论》、
《椭圆盈缩简法》、《解徐椭圆正术》等，这些著作一个重要的关注点，就是如何将用
中国古代算面积为主的算术学来解释椭圆。
这里就存在一个问题了，到底函数是否是必须的？函数核心的运用，是解微分方程。实
际上，不管现代函数论里出现多么复杂的特殊函数、广义函数，本质上都是由幂函数、
三角函数、指数（对数）函数组合而成的，说白了，也就是三类曲线的叠加。
中国古代数学既然是以三角为基础，如果任何函数都能分解成各种三角的组合，那么函
数的意义自然也就失去了。事实上，的确我们有过这样的尝试，典型的成果就是朱世杰
的三角垛积术。其术的要旨，就是把任何的立体形状，转化为三角形的叠加。这显然已
经触及函数的本质。如果持续发展下去，或许就会诞生完全不同于现代西方数学、却同
样行之有效的一套数学体系。或许，在未来某一天，三角垛积术真的能继续发展，站上
其真正应用的舞台。
总体来说，中国古代算学是把数值计算发挥到了极致，不仅为我们古代的科技进步贡献
了巨大力量，直到今天，它留给我们的遗产也相当丰富。甚至于，在计算机已经如此发
达的今天，数值计算正在成为科学的主要研究手段，那么中国古代算学完全有可能重获
新生。
事实上，以吴文俊先生为代表的一批数学家，至今仍在致力于古代算学的发掘和整理工
作，并且还将许多西方几何学思想加入到古代算学，使之更能适应新时期的科学需要。
我一直相信，在不远的将来，数学就将回到中国古代算学家熟悉的那个轨道上。甚至于
我们还可大胆估计，数百年后的科学体系，仍将是以中国算学的语言来书写。那时，我
们也将迎来真正属于中国人的科技世界。 作者：洗芝溪 https://www.bilibili.com/
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