x*****7
发帖数: 7326 | 1 今天上午辅导一个TJ男生Calc BC。
他问我：critical point是一阶导数等于0或undefined，那么inflection point应该是
二阶导数等于0或undefined吧？
我说：你只说对了一半，我们确认拐点，还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一
边的二阶导数为正。
他皱起眉头：为什么critical point不需要确认一边的一阶导数为负，而另一边的一阶
导数为正？
我说：这是因为你刚描述的方法是用来确认critical point究竟是对应局部最小值，还
是局部最大值，或者什么都不是！
他不等我说完最后一句，就很不礼貌地打断我说：我们老师告诉我们critical point也
可能是inflection point。
我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是拐点。
他似乎懂了，点点头，然后问了一个新问题让我思维崩溃：“Xia, 在你先头描述如何
确认拐点时，你说还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一边的二阶导数为正。那
么，如果拐点两边的二阶导数都是0，怎么办？”
我倒吸了一口凉气说：“这似乎不大可能？当然，如果真是这样，那你也可以接着算三
阶导数，如果，如果三阶导数等于0，则该点，该点不可能是拐点。”
他用疑惑的眼光看着我：“Xia，请解释这是为什么？我越听越糊涂了。”
我心里怦怦跳，因为我的微积分是用的同济大学为生物和化学专业学生编写的教材，不
是数学分析，直到二阶导数为止。我慢慢说：“你问的问题不属于AP Calc BC考试范围
，我们可以省略，我们来做拉格朗日中值定理MVT练习吧，那个是要考的。” |
B********u
发帖数: 1 | |
Y****1
发帖数: 1 | |
r********n
发帖数: 7441 | 4 关于光滑连续函数极值的所有问题，答案都包含在泰勒展开到二阶表达式里，适用于任
何有限维度的欧式空间 |
x*****7
发帖数: 7326 | 5 我当然学过泰勒级数。
我当然知道极值只涉及到1st和2nd derivatives。
学生的问题是拐点是否可能涉及3rd derivative或者更高阶。我刚才在网上查了，美国
这边的微积分教科书，无论是Stewart，Anton，Finney，都不讲这个。学生钻牛角尖。
【在 r********n 的大作中提到】
: 关于光滑连续函数极值的所有问题，答案都包含在泰勒展开到二阶表达式里，适用于任
: 何有限维度的欧式空间
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A******u
发帖数: 1279 | |
x*****7
发帖数: 7326 | 7 TJHSST的AP老师和学生就是喜欢整这些没用的东西。
【在 A******u 的大作中提到】
: 问糊涂挖坑系列又来了。
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r********n
发帖数: 7441 | 8 变量的微小扰动带来的函数值的变化量，在泰勒展开后，只有低阶都为零的时候，相对
高阶分量才需要考虑，否则都是低阶分量的极小量，简单来说，只有一阶导为零时，考
虑二阶导分量才有意义；只有一二阶导的分量都为零，考虑第三阶导的分量才有意义。
。。 |
r********n
发帖数: 7441 | 9 拐点暗示二阶导不为零，所以三阶导的分量完全可以忽略，这个就是结论
【在 x*****7 的大作中提到】
: 我当然学过泰勒级数。
: 我当然知道极值只涉及到1st和2nd derivatives。
: 学生的问题是拐点是否可能涉及3rd derivative或者更高阶。我刚才在网上查了，美国
: 这边的微积分教科书，无论是Stewart，Anton，Finney，都不讲这个。学生钻牛角尖。
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x*****7
发帖数: 7326 | 10 您的可笑结论证明：您和我一样只学过微积分，没学过数学分析！
【在 r********n 的大作中提到】
: 拐点暗示二阶导不为零，所以三阶导的分量完全可以忽略，这个就是结论
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k*****g
发帖数: 1 | 11
“我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是拐点。”
函数
f(x)=x^2, 如果 x<1;
f(x)=-(x-1)^2+1, 如果 x>1.
f(1) 是局部极大值吗？
(1,f(1))=(1,1) 是拐点吗？
考虑 “入”字图的一个修改：去掉交叉点上面冒头的一部分，左边一划写
成上凹的，右边一划写成下凹的。
这个交叉点的高度是局部极大值吗？
这个交叉点是拐点吗？
【在 x*****7 的大作中提到】
: 今天上午辅导一个TJ男生Calc BC。
: 他问我：critical point是一阶导数等于0或undefined，那么inflection point应该是
: 二阶导数等于0或undefined吧？
: 我说：你只说对了一半，我们确认拐点，还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一
: 边的二阶导数为正。
: 他皱起眉头：为什么critical point不需要确认一边的一阶导数为负，而另一边的一阶
: 导数为正？
: 我说：这是因为你刚描述的方法是用来确认critical point究竟是对应局部最小值，还
: 是局部最大值，或者什么都不是！
: 他不等我说完最后一句，就很不礼貌地打断我说：我们老师告诉我们critical point也
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k*****g
发帖数: 1 | 12 『
“Xia, 在你先头描述如何
确认拐点时，你说还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一边的二阶导数为正。那
么，如果拐点两边的二阶导数都是0，怎么办？”
我倒吸了一口凉气说：“这似乎不大可能？当然，如果真是这样，那你也可以接着算三
阶导数，如果，如果三阶导数等于0，则该点，该点不可能是拐点。”
』
“点两边的二阶导数都是0”的意思似乎是
二阶导数在点左边一小段区间上为0，及二阶导数在点左边一小段区间上为0。
这种情况一阶导数在点左边一小段区间上是一常数，
一阶导数在点右边一小段区间上也是一常数，这只要将中值定理对一阶导数分别用于两
区间可知。
因此积分后知道这函数在该点两边都是线性函数。图像在该点左边一小段是直线，在该
点右边一小段也是直线。该点不是拐点。 |
r********n
发帖数: 7441 | 13 除非你想和学生讲无限维的泛函分析，或者约束条件下的极值问题，否则数学分析和微
积分对这个问题的讨论没啥区别，你都可以上调和分析，结论也是一样的
【在 x*****7 的大作中提到】
: 您的可笑结论证明：您和我一样只学过微积分，没学过数学分析！
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m****9
发帖数: 1 | 14 虾将军辅导怎么收费？
: “我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是
拐点。”
: 函数
: f(x)=x^2, 如果 x
: f(x)=-(x-1)^2 1, 如果 x
【在 k*****g 的大作中提到】
: 『
: “Xia, 在你先头描述如何
: 确认拐点时，你说还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一边的二阶导数为正。那
: 么，如果拐点两边的二阶导数都是0，怎么办？”
: 我倒吸了一口凉气说：“这似乎不大可能？当然，如果真是这样，那你也可以接着算三
: 阶导数，如果，如果三阶导数等于0，则该点，该点不可能是拐点。”
: 』
: “点两边的二阶导数都是0”的意思似乎是
: 二阶导数在点左边一小段区间上为0，及二阶导数在点左边一小段区间上为0。
: 这种情况一阶导数在点左边一小段区间上是一常数，
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z*****n
发帖数: 36 | 15 你这个叫“最值”，不叫极值了
。”
【在 k*****g 的大作中提到】
: 『
: “Xia, 在你先头描述如何
: 确认拐点时，你说还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一边的二阶导数为正。那
: 么，如果拐点两边的二阶导数都是0，怎么办？”
: 我倒吸了一口凉气说：“这似乎不大可能？当然，如果真是这样，那你也可以接着算三
: 阶导数，如果，如果三阶导数等于0，则该点，该点不可能是拐点。”
: 』
: “点两边的二阶导数都是0”的意思似乎是
: 二阶导数在点左边一小段区间上为0，及二阶导数在点左边一小段区间上为0。
: 这种情况一阶导数在点左边一小段区间上是一常数，
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a*****V
发帖数: 1 | |
R******6
发帖数: 609 | 17 Inflection point就是concavity changing point，这个东西定义的很好
Critical point就是candidate of local minima or maxima，这个东西定义的不好，
聊的太细没意义
【在 x*****7 的大作中提到】
: 今天上午辅导一个TJ男生Calc BC。
: 他问我：critical point是一阶导数等于0或undefined，那么inflection point应该是
: 二阶导数等于0或undefined吧？
: 我说：你只说对了一半，我们确认拐点，还需要确认拐点一边的二阶导数为负，而另一
: 边的二阶导数为正。
: 他皱起眉头：为什么critical point不需要确认一边的一阶导数为负，而另一边的一阶
: 导数为正？
: 我说：这是因为你刚描述的方法是用来确认critical point究竟是对应局部最小值，还
: 是局部最大值，或者什么都不是！
: 他不等我说完最后一句，就很不礼貌地打断我说：我们老师告诉我们critical point也
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R******6
发帖数: 609 | 18 神经病
【在 r********n 的大作中提到】
: 关于光滑连续函数极值的所有问题，答案都包含在泰勒展开到二阶表达式里，适用于任
: 何有限维度的欧式空间
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x*****7
发帖数: 7326 | 19 目前因为通胀，辅导AP Calc AB/BC, Physics C E/M, 1/2, Chemistry, Biology,
Computer Science A/Principles, Statistics一律$60/小时。
而SAT/ACT math维持$30/小时。
【在 m****9 的大作中提到】
: 虾将军辅导怎么收费？
:
:
: “我说：你是对的，不过你要记住，一个点如果是局部极值，那它就不能同时是
: 拐点。”
:
: 函数
:
: f(x)=x^2, 如果 x
: f(x)=-(x-1)^2 1, 如果 x
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x*****7
发帖数: 7326 | 20 正解！
【在 R******6 的大作中提到】
: Inflection point就是concavity changing point，这个东西定义的很好
: Critical point就是candidate of local minima or maxima，这个东西定义的不好，
: 聊的太细没意义
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