T*******x
发帖数: 8565 | 1 非交换群，第一步应该怎么研究？哈哈。这个问题大了。
今天说一个小的方面。非交换群嘛，也就是 gh != hg，那就研究一下
(gh)(hg)^{-1} = ghg^{-1}h^{-1}
离单位元 e 有多远。这个东西，写作[g,h]，叫commutator，也就是obstruction of
being commutative。
也可以等价研究 ghg^{-1} 距离 h 有多远，这个东西，ghg^{-1}，叫conjugate，也可
以叫 adjoint action，写作 Ad_g(h)，或者 Ad(g)(h)。这个 Ad，取一个群元素 g，
得到一个群的automorphism，叫 inner automorphism。 |
e*****s
发帖数: 7359 | |
T*******x
发帖数: 8565 | 3 来看李群，G，这是一个非交换群。
以及单位元的tangent space，V，这个 space 我们知道它有乘法，是一个Lie algebra
，但是这个乘法是怎么定义的呢？
这有很多种定义方法，最后都相互合拍，这也说明这个概念牵涉甚广。
我觉得用表示论，把元素都想象成matrix，比较直观，比较容易理解。
给定 X 和 Y 两个单位元上的tangent vector，想象成 G 上两个curve的tangent
vector，哪两个呢？叫 exponential curve。比如 X，它的exponential curve叫 x_t
，Y的叫 y_s。curve想象成运动轨迹，t 和 s 是时间，它们在群上运动。
定义来了：
[X,Y] = d/dt d/ds [x_t,y_s]
看 t 和 s 在0点附近。
这里 [x_t,y_s] 是李群G，一个非交换群，的commutator。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 非交换群，第一步应该怎么研究？哈哈。这个问题大了。
: 今天说一个小的方面。非交换群嘛，也就是 gh != hg，那就研究一下
: (gh)(hg)^{-1} = ghg^{-1}h^{-1}
: 离单位元 e 有多远。这个东西，写作[g,h]，叫commutator，也就是obstruction of
: being commutative。
: 也可以等价研究 ghg^{-1} 距离 h 有多远，这个东西，ghg^{-1}，叫conjugate，也可
: 以叫 adjoint action，写作 Ad_g(h)，或者 Ad(g)(h)。这个 Ad，取一个群元素 g，
: 得到一个群的automorphism，叫 inner automorphism。
|
C**o
发帖数: 10373 | 4 你和你老婆是属于换群（交）的
盹盹盹
：非交换群，第一步应该怎么研究？哈哈。这个问题大了。
：今天说一个小的方面。非交换群嘛，也就是 gh != hg，那就研究一下
：(gh)(hg)^{-1} = ghg^{-1}h^{-1}
：离单位元 e 有多远。这个东西，写作[g,h]，叫commutator，也就是obstruction of
：being commutative。
：也可以等价研究 ghg^{-1} 距离 h 有多远，这个东西，ghg^{-1}，叫conjugate，也
可以叫 adjoint action，写作 Ad_g(h)，或者 Ad(g)(h)。这个 Ad，取一个群元素 g，
：得到一个群的automorphism，叫 inner automorphism。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 来看李群，G，这是一个非交换群。
: 以及单位元的tangent space，V，这个 space 我们知道它有乘法，是一个Lie algebra
: ，但是这个乘法是怎么定义的呢？
: 这有很多种定义方法，最后都相互合拍，这也说明这个概念牵涉甚广。
: 我觉得用表示论，把元素都想象成matrix，比较直观，比较容易理解。
: 给定 X 和 Y 两个单位元上的tangent vector，想象成 G 上两个curve的tangent
: vector，哪两个呢？叫 exponential curve。比如 X，它的exponential curve叫 x_t
: ，Y的叫 y_s。curve想象成运动轨迹，t 和 s 是时间，它们在群上运动。
: 定义来了：
: [X,Y] = d/dt d/ds [x_t,y_s]
|
d******n
发帖数: 1 | 5 你妈和你家脸婆在村支书家里穿着丝袜以姐妹相称
【在 C**o 的大作中提到】
: 你和你老婆是属于换群（交）的
: 盹盹盹
:
: ：非交换群，第一步应该怎么研究？哈哈。这个问题大了。
: ：今天说一个小的方面。非交换群嘛，也就是 gh != hg，那就研究一下
: ：(gh)(hg)^{-1} = ghg^{-1}h^{-1}
: ：离单位元 e 有多远。这个东西，写作[g,h]，叫commutator，也就是obstruction of
: ：being commutative。
: ：也可以等价研究 ghg^{-1} 距离 h 有多远，这个东西，ghg^{-1}，叫conjugate，也
: 可以叫 adjoint action，写作 Ad_g(h)，或者 Ad(g)(h)。这个 Ad，取一个群元素 g，
|
T*******x
发帖数: 8565 | 6 从李群上的 commutator 到 Lie algebra 上的 Lie bracket，是不是很自然？
另一条线上，在 t 和 s 零点附近，
d/dt d/ds [x_t,y_s] = d/dt d/ds x_t y_s x_t^{-1}
也就是把 commutator 最后那个 y_s^{-1} 去掉，不影响二次求导。
所以和 adjoint action 又联系起来了，
[X,Y]= ad(X)(Y)= d/dt Ad(x_t)(Y)
所以 adjoint action 在 Lie algebra 上又等于 prepend。
algebra
t
【在 T*******x 的大作中提到】
: 来看李群，G，这是一个非交换群。
: 以及单位元的tangent space，V，这个 space 我们知道它有乘法，是一个Lie algebra
: ，但是这个乘法是怎么定义的呢？
: 这有很多种定义方法，最后都相互合拍，这也说明这个概念牵涉甚广。
: 我觉得用表示论，把元素都想象成matrix，比较直观，比较容易理解。
: 给定 X 和 Y 两个单位元上的tangent vector，想象成 G 上两个curve的tangent
: vector，哪两个呢？叫 exponential curve。比如 X，它的exponential curve叫 x_t
: ，Y的叫 y_s。curve想象成运动轨迹，t 和 s 是时间，它们在群上运动。
: 定义来了：
: [X,Y] = d/dt d/ds [x_t,y_s]
|
T*******x
发帖数: 8565 | 7 从表示论上看，找一个线性空间，有basis的，把李群和Lie algebra都看成是这个线性
空间上的线性变换，可以写成matrix，让它们同构，也就是研究这个matrix group/
algebra和研究李群Lie algebra完全等价。
X有X的matrix，Y有Y的matrix。
exponential curve正是e^{tX}和e^{sY}，literally exponential。
这是一个随时间变化的matrix-valued的function/curve。
一个matrix怎么exponential？well，
e^{tX} = I+(tX)+1/2!(tX)^2+...
因为exponential function有这个特点：
if x_t=e^{tX}, then d/dt x_t = X.x_t
这正是exponential curve的定义。
有了这个就好办了：
[X,Y]=d/dt d/ds e^{tX}e^{sY}e^{-tX}e^{-sY}
用导数的乘法规则算一下，做慢点，就得到：
[X,Y]=XY-YX
literally, a commutator。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 从李群上的 commutator 到 Lie algebra 上的 Lie bracket，是不是很自然？
: 另一条线上，在 t 和 s 零点附近，
: d/dt d/ds [x_t,y_s] = d/dt d/ds x_t y_s x_t^{-1}
: 也就是把 commutator 最后那个 y_s^{-1} 去掉，不影响二次求导。
: 所以和 adjoint action 又联系起来了，
: [X,Y]= ad(X)(Y)= d/dt Ad(x_t)(Y)
: 所以 adjoint action 在 Lie algebra 上又等于 prepend。
:
: algebra
: t
|
R*****i
发帖数: 2126 | |
T*******x
发帖数: 8565 | 9 最后说一下李导数，Lie derivative。
一个manifold M 上有两个vector fields X 和 Y，可以对 X 求 Y的导数，叫李导数，
L_X(Y)。
它的目的是什么呢？是看manifold上一个点，随着两个vector field走一个闭环，看它
的终点和原来的起始点相差多少。
也就是X有一个flow，叫x_t，
Y有一个flow，叫y_s，
一个闭环这么走：x_t.y_s.x_t^{-1}.y_s^{-1}
最后对 t 和 s 求导，看0点附近。
这和李群上的分析很接近吧？事实上，一个flow相当于一随时间变化的manifold的连续
形变。形变套形变形成一个群，这个叫diffeomorphism群，可以看成一个无穷维李群。
而一个vector field正是它的Lie algebra，中的一个元素，想象成identity附近的微
小变化。
所以和前面合拍了。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 从表示论上看，找一个线性空间，有basis的，把李群和Lie algebra都看成是这个线性
: 空间上的线性变换，可以写成matrix，让它们同构，也就是研究这个matrix group/
: algebra和研究李群Lie algebra完全等价。
: X有X的matrix，Y有Y的matrix。
: exponential curve正是e^{tX}和e^{sY}，literally exponential。
: 这是一个随时间变化的matrix-valued的function/curve。
: 一个matrix怎么exponential？well，
: e^{tX} = I+(tX)+1/2!(tX)^2+...
: 因为exponential function有这个特点：
: if x_t=e^{tX}, then d/dt x_t = X.x_t
|
b******r
发帖数: 1 | 10 以前有个数学系妹子，上课没听懂。
下课以后回到宿舍，打开电脑，在百度里输入“交换群”三个字，点击回车。。。
一个新的世界打开了。。。
: 跟非换妻群啥关系……lol
【在 e*****s 的大作中提到】
: 跟非换妻群啥关系……lol
|
v*******e
发帖数: 11604 | 11
真心说一句，你已误入歧途。
数学家研究物理真心不行。研究物理还是需要直觉。
爱因斯坦先有广义相对论的想法，后有黎曼几何的应用。薛定谔先有波动方程，后有希
尔伯特空间的应用。爱因斯坦现有狭义相对论的想法，后有闵可夫斯基空间的应用。
别看杨振宁，姚兴腾，威藤闹得欢，用在物理上不一定对。还不如何炸麻。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 非交换群，第一步应该怎么研究？哈哈。这个问题大了。
: 今天说一个小的方面。非交换群嘛，也就是 gh != hg，那就研究一下
: (gh)(hg)^{-1} = ghg^{-1}h^{-1}
: 离单位元 e 有多远。这个东西，写作[g,h]，叫commutator，也就是obstruction of
: being commutative。
: 也可以等价研究 ghg^{-1} 距离 h 有多远，这个东西，ghg^{-1}，叫conjugate，也可
: 以叫 adjoint action，写作 Ad_g(h)，或者 Ad(g)(h)。这个 Ad，取一个群元素 g，
: 得到一个群的automorphism，叫 inner automorphism。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 12 这篇谈的是纯数学。
【在 v*******e 的大作中提到】
:
: 真心说一句，你已误入歧途。
: 数学家研究物理真心不行。研究物理还是需要直觉。
: 爱因斯坦先有广义相对论的想法，后有黎曼几何的应用。薛定谔先有波动方程，后有希
: 尔伯特空间的应用。爱因斯坦现有狭义相对论的想法，后有闵可夫斯基空间的应用。
: 别看杨振宁，姚兴腾，威藤闹得欢，用在物理上不一定对。还不如何炸麻。
|
s****r
发帖数: 68 | |
v*******e
发帖数: 11604 | 14
你的目标是什么？能说出来吗。
切记大脑不大，你往大脑里塞和目标无关的shit，就会切实地影响你实现目标。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这篇谈的是纯数学。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 15 目的是探索代数组合可以产生的应用。
【在 v*******e 的大作中提到】
:
: 你的目标是什么？能说出来吗。
: 切记大脑不大，你往大脑里塞和目标无关的shit，就会切实地影响你实现目标。
|
F***e
发帖数: 23 | 16 老杨的成就，不就是因为他爹教的不可换群吗？
李群在量子力学里面很有用。
【在 v*******e 的大作中提到】
:
: 你的目标是什么？能说出来吗。
: 切记大脑不大，你往大脑里塞和目标无关的shit，就会切实地影响你实现目标。
|
F***e
发帖数: 23 | 17 讲得很好。类似的还有不结合代数，比如八元数octonion，结合律不成立：(ab)c 不等
于 a(bc)。这时可定义associator：
[a,b,c] = (ab)c - a(bc)
我猜理论物理将来的发展，要靠不结合代数。
从代数几何的观点看，这个关系是不是叫functor？
【在 T*******x 的大作中提到】
: 从李群上的 commutator 到 Lie algebra 上的 Lie bracket，是不是很自然？
: 另一条线上，在 t 和 s 零点附近，
: d/dt d/ds [x_t,y_s] = d/dt d/ds x_t y_s x_t^{-1}
: 也就是把 commutator 最后那个 y_s^{-1} 去掉，不影响二次求导。
: 所以和 adjoint action 又联系起来了，
: [X,Y]= ad(X)(Y)= d/dt Ad(x_t)(Y)
: 所以 adjoint action 在 Lie algebra 上又等于 prepend。
:
: algebra
: t
|
C*****l
发帖数: 1 | 18 老杨学习群论很早，他传记里面最早是看一本Mulliken关于分子光谱的书。现代人书太
多不是好事，就一本书精读了，胜过读10本书。
【在 F***e 的大作中提到】
: 老杨的成就，不就是因为他爹教的不可换群吗？
: 李群在量子力学里面很有用。
|
C****o
发帖数: 1549 | 19 老杨是物理陈凯歌？
【在 F***e 的大作中提到】
: 老杨的成就，不就是因为他爹教的不可换群吗？
: 李群在量子力学里面很有用。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 20 这个associator挺好。肯定会有用。
李代数就是不结合代数。不过它的associator还是比较简单的。
李群的commutator到李代数的commutator，肯定可以算作一种functor。
【在 F***e 的大作中提到】
: 讲得很好。类似的还有不结合代数，比如八元数octonion，结合律不成立：(ab)c 不等
: 于 a(bc)。这时可定义associator：
: [a,b,c] = (ab)c - a(bc)
: 我猜理论物理将来的发展，要靠不结合代数。
:
: 从代数几何的观点看，这个关系是不是叫functor？
|
T*******x
发帖数: 8565 | 21 有一定道理。信息爆炸了，学习者会有一定困难。
【在 C*****l 的大作中提到】
: 老杨学习群论很早，他传记里面最早是看一本Mulliken关于分子光谱的书。现代人书太
: 多不是好事，就一本书精读了，胜过读10本书。
|
h**********c
发帖数: 4120 | 22 看你摇头晃脑的样子，群论我有两个问题
大概中世纪的时候文艺复兴左右，意大利数学界和武侠小说一样过招 |
T*******x
发帖数: 8565 | 23 说啥呢？我咋从来看不懂你写的话呢？来再写一遍。
【在 h**********c 的大作中提到】
: 看你摇头晃脑的样子，群论我有两个问题
: 大概中世纪的时候文艺复兴左右，意大利数学界和武侠小说一样过招
|
C*****l
发帖数: 1 | 24 这哥们说话完全就像是GPT-3写出来的
【在 T*******x 的大作中提到】
: 说啥呢？我咋从来看不懂你写的话呢？来再写一遍。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 25 是有几个人形成了自己的文体，他算一个。以前的hairi。还有几个诗体的。。。
【在 C*****l 的大作中提到】
: 这哥们说话完全就像是GPT-3写出来的
|
h**********c
发帖数: 4120 | 26 看你摇头晃脑的样子，群论我有两个问题
大概中世纪的时候文艺复兴左右，意大利数学界和武侠小说一样过招 |
T*******x
发帖数: 8565 | 27 老将吧？
【在 h**********c 的大作中提到】
: 看你摇头晃脑的样子，群论我有两个问题
: 大概中世纪的时候文艺复兴左右，意大利数学界和武侠小说一样过招
|
h**********c
发帖数: 4120 | 28 就是解高阶方程
经常一个老师父解出来一个，密不外传
踢馆的时候，要求别人在规定时间内解出来，
也会被别人踢馆。
如果自己的方程被人破了，而破不了别人的方程。通常就要失去数学家的头衔，估计有
点象魔术师的样子，在非理性时代，大学没有普及，所有巫医乐师白工之人，都是一个
样子，玄，但是被踢馆了，就是法力不够。数学家输了就是失去饭碗，很丢人，通常要
流浪异乡。
我不知到过了多少年，galois 给出群论基础上高阶方程的通用解，我忘了好像要求实
系数？
总之法国的崛起，好多意大利老师父就歇馆了。这时间上的过度，我没法系考，仅为谈
资。
拿破仑的军团灭了西班牙，意大利，撮拨死一个教皇，解放了欧洲的弄奴，普及民法，
把犹太人从盖头放了出来。没有系考。这是galois所处的时代。
问题一，我现在还是没太明白，群论就倒出了告阶方程的通用解？
问题二，比较含混，有没有理论，所有的偏微分方程（常微分方程）都可以展开成级数
，级数理论上可以高斯求解吧
【在 h**********c 的大作中提到】
: 看你摇头晃脑的样子，群论我有两个问题
: 大概中世纪的时候文艺复兴左右，意大利数学界和武侠小说一样过招
|
h**********c
发帖数: 4120 | 29 人有三急，我写着写着
【在 T*******x 的大作中提到】
: 说啥呢？我咋从来看不懂你写的话呢？来再写一遍。
|
b******r
发帖数: 1 | 30 嘉罗华理论!=群论
10个字
: 就是解高阶方程
: 经常一个老师父解出来一个，密不外传
: 踢馆的时候，要求别人在规定时间内解出来，
: 也会被别人踢馆。
: 如果自己的方程被人破了，而破不了别人的方程。通常就要失去数学家的头衔，
估计有
: 点象魔术师的样子，在非理性时代，大学没有普及，所有巫医乐师白工之人，都
是一个
: 样子，玄，但是被踢馆了，就是法力不够。数学家输了就是失去饭碗，很丢人，
通常要
: 流浪异乡。
: 我不知到过了多少年，galois 给出群论基础上高阶方程的通用解，我忘了好像
要求实
: 系数？
【在 h**********c 的大作中提到】
: 人有三急，我写着写着
|
F***e
发帖数: 23 | 31 群论是研究伽罗华理论的工具，就是解多项式方程。当伽罗华群可解时，方程可解(闭
式解)。
伽罗华群也可用于微分方程，但是我不了解(这里的伽罗华群是李群？)。
他说的是群论演义，基本是那么回事。意大利人做事比较随意，不够严谨。代数几何也
是一样，开始还可以，后来就不行了。意大利到现在还是这个球样，让我对文艺复兴产
生了怀疑...
【在 b******r 的大作中提到】
: 嘉罗华理论!=群论
: 10个字
:
:
: 就是解高阶方程
:
: 经常一个老师父解出来一个，密不外传
:
: 踢馆的时候，要求别人在规定时间内解出来，
:
: 也会被别人踢馆。
:
: 如果自己的方程被人破了，而破不了别人的方程。通常就要失去数学家的头衔，
: 估计有
:
: 点象魔术师的样子，在非理性时代，大学没有普及，所有巫医乐师白工之人，都
|
h*******i
发帖数: 1 | 32 看成，谈谈非换妻群了。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 非交换群，第一步应该怎么研究？哈哈。这个问题大了。
: 今天说一个小的方面。非交换群嘛，也就是 gh != hg，那就研究一下
: (gh)(hg)^{-1} = ghg^{-1}h^{-1}
: 离单位元 e 有多远。这个东西，写作[g,h]，叫commutator，也就是obstruction of
: being commutative。
: 也可以等价研究 ghg^{-1} 距离 h 有多远，这个东西，ghg^{-1}，叫conjugate，也可
: 以叫 adjoint action，写作 Ad_g(h)，或者 Ad(g)(h)。这个 Ad，取一个群元素 g，
: 得到一个群的automorphism，叫 inner automorphism。
|
f****i
发帖数: 1 | 33 你还是思考下为啥gauge field需要定义在adjoint上
或者说，adjoint有什么特别的地方？？
【在 T*******x 的大作中提到】
: 非交换群，第一步应该怎么研究？哈哈。这个问题大了。
: 今天说一个小的方面。非交换群嘛，也就是 gh != hg，那就研究一下
: (gh)(hg)^{-1} = ghg^{-1}h^{-1}
: 离单位元 e 有多远。这个东西，写作[g,h]，叫commutator，也就是obstruction of
: being commutative。
: 也可以等价研究 ghg^{-1} 距离 h 有多远，这个东西，ghg^{-1}，叫conjugate，也可
: 以叫 adjoint action，写作 Ad_g(h)，或者 Ad(g)(h)。这个 Ad，取一个群元素 g，
: 得到一个群的automorphism，叫 inner automorphism。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 34 adjoint这个词的用法太多了。李群李代数里面的adjoint指conjugate action，或者
commutator，对易子。算子adjoint指和dual有关。你这里说gauge field定义在
adjoint上，不知道指什么？
【在 f****i 的大作中提到】
: 你还是思考下为啥gauge field需要定义在adjoint上
: 或者说，adjoint有什么特别的地方？？
|
n***t
发帖数: 126 | 35
同法
【在 R*****i 的大作中提到】
: 法克，还以为是换妻群呢。
|
