T*******x
发帖数: 8565 | 1 证明，任何一个正实数a，都存在一个正整数k>1，使得ka的小数部分小于1/k。 |
z*********a
发帖数: 643 | 2 擦，我们千老哪懂这些玩意
有那时间还不如多杀老鼠 |
q*i
发帖数: 1 | |
l********e
发帖数: 3986 | 4 去掉问号
【在 q*i 的大作中提到】
: k=1?
|
T*******x
发帖数: 8565 | 5 哦，改了，要求k>1.
【在 q*i 的大作中提到】
: k=1?
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q*i
发帖数: 1 | 6 斗胆尝试一下
Define A, B s.t. a=A+B where A is a positive integer, 1>B>=0.
B=0 is trivial as any k would work.
considering 1>B>0
since B is real, there exist positive integers p, q, r such that
p/q < B < p/q + 1/r where r can be arbitrary large so naturally
p/q < B < p/q + 1/q^2 holds
let k=q, here we are |
h*********4
发帖数: 1 | 7 不错，但是有点小问题
p/q < B < p/q + 1/r这里的r依赖于p和q的选择，所以不能直接选择任意大的r
【在 q*i 的大作中提到】
: 斗胆尝试一下
: Define A, B s.t. a=A+B where A is a positive integer, 1>B>=0.
: B=0 is trivial as any k would work.
: considering 1>B>0
: since B is real, there exist positive integers p, q, r such that
: p/q < B < p/q + 1/r where r can be arbitrary large so naturally
: p/q < B < p/q + 1/q^2 holds
: let k=q, here we are
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T*******x
发帖数: 8565 | 8 对。是这个问题。
目标
p/q < B < p/q + 1/q^2
是对的。
【在 h*********4 的大作中提到】
: 不错，但是有点小问题
: p/q < B < p/q + 1/r这里的r依赖于p和q的选择，所以不能直接选择任意大的r
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h*********4
发帖数: 1 | 9 这个我想过，但是B= 2/3的时候并不成立
【在 T*******x 的大作中提到】
: 对。是这个问题。
: 目标
: p/q < B < p/q + 1/q^2
: 是对的。
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T*******x
发帖数: 8565 | 10 只需要证B是无理数的情况。因为如果B是有理数比如2/3，取k=3，那么kB是整数，小数
部分为零，小于1/k。
【在 h*********4 的大作中提到】
: 这个我想过，但是B= 2/3的时候并不成立
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D*******A
发帖数: 1 | 11 。。。为什么不需要证有理数的情况？
：只需要证B是无理数的情况。因为如果B是有理数比如2/3，取k=3，那么kB是整数，小
数部分为零，小于1/看。
： |
T*******x
发帖数: 8565 | 12 因为B是有理数的情况很容易证明。
【在 D*******A 的大作中提到】
: 。。。为什么不需要证有理数的情况？
:
: ：只需要证B是无理数的情况。因为如果B是有理数比如2/3，取k=3，那么kB是整数，小
: 数部分为零，小于1/看。
: ：
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w****n
发帖数: 113 | 13 我刚开始时没仔细，把小数部分当成到最近整数距离了。那样的话，就算稍微强一点的
结果用一下鸽笼原理很容易就证明了。要ka小数部分小于1/k的话，找一个比较初等的
证明貌似就比较challenging了。当然continued fraction和Farrey dissection也算比
较初等，所以还是有些初等证明的。
: 因为B是有理数的情况很容易证明。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 因为B是有理数的情况很容易证明。
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w****n
发帖数: 113 | 14 更强结果就是存在k改成存在无穷多的正整数k, 1/k改成b/k,这里b是黄金分割率。
: 我刚开始时没仔细，把小数部分当成到最近整数距离了。那样的话，就算稍微强
一点的
: 结果用一下鸽笼原理很容易就证明了。要ka小数部分小于1/k的话，找一个比较
初等的
: 证明貌似就比较challenging了。当然continued fraction和Farrey dissection
也算比
: 较初等，所以还是有些初等证明的。
:
【在 w****n 的大作中提到】
: 我刚开始时没仔细，把小数部分当成到最近整数距离了。那样的话，就算稍微强一点的
: 结果用一下鸽笼原理很容易就证明了。要ka小数部分小于1/k的话，找一个比较初等的
: 证明貌似就比较challenging了。当然continued fraction和Farrey dissection也算比
: 较初等，所以还是有些初等证明的。
:
:
: 因为B是有理数的情况很容易证明。
:
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T*******x
发帖数: 8565 | 15 哦你是说此问题很难？Farrey dissection没查到。
感觉应该不难啊。
【在 w****n 的大作中提到】
: 我刚开始时没仔细，把小数部分当成到最近整数距离了。那样的话，就算稍微强一点的
: 结果用一下鸽笼原理很容易就证明了。要ka小数部分小于1/k的话，找一个比较初等的
: 证明貌似就比较challenging了。当然continued fraction和Farrey dissection也算比
: 较初等，所以还是有些初等证明的。
:
:
: 因为B是有理数的情况很容易证明。
:
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w****n
发帖数: 113 | 16 可能我比较dumb吧，呵呵。想了半天，没想到一个简单的证明。
法利分割本质上和连分数是差不多的。大意就是0到1之间所有分母小于一个给定数的既
约分数排列会满足的一些性质，比如相邻两数差等于分母乘积分之一，分母之和大于给
定的界等等。
最简单的用"己知结果"来证明就是用连分数性质了。a到第n个convergent h
(n)/k(n)的距离是小于1/(k(n)*k(n 1))的。k(n 1)
大于k(n),所以这就是小于1/k(n)^2的。Convergents是在a两侧交错逼近a的，所以这个
ka小数部分小于1/k对一半的convergents(所有偶indices的或所有奇indices的)来说都
满足。k(n 1)跟k(n)关系和连分数展开直接有关。最差可能就是a的连分数展开在有限
步后都是1,1,1,...这在a和黄金分割数有关时出现。所以1/k可以改成(根号(5)-1)/(2k
),但不能再改进。
: 哦你是说此问题很难？Farrey dissection没查到。
: 感觉应该不难啊。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 哦你是说此问题很难？Farrey dissection没查到。
: 感觉应该不难啊。
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T*******x
发帖数: 8565 | 17 看来是我的感觉不准，这个问题确实不容易。
连分数我没看过，你这个证明我没看懂，我先放一下。谢谢。
2k
【在 w****n 的大作中提到】
: 可能我比较dumb吧，呵呵。想了半天，没想到一个简单的证明。
: 法利分割本质上和连分数是差不多的。大意就是0到1之间所有分母小于一个给定数的既
: 约分数排列会满足的一些性质，比如相邻两数差等于分母乘积分之一，分母之和大于给
: 定的界等等。
: 最简单的用"己知结果"来证明就是用连分数性质了。a到第n个convergent h
: (n)/k(n)的距离是小于1/(k(n)*k(n 1))的。k(n 1)
: 大于k(n),所以这就是小于1/k(n)^2的。Convergents是在a两侧交错逼近a的，所以这个
: ka小数部分小于1/k对一半的convergents(所有偶indices的或所有奇indices的)来说都
: 满足。k(n 1)跟k(n)关系和连分数展开直接有关。最差可能就是a的连分数展开在有限
: 步后都是1,1,1,...这在a和黄金分割数有关时出现。所以1/k可以改成(根号(5)-1)/(2k
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T*******x
发帖数: 8565 | 18 这个问题我是在考虑复变函数的周期性时想到的。但是也没有直接的关系。
复变函数的周期性有两个问题，我列在这里，看看谁有简单的办法说明一下。
1，一个解析函数，非常数，最多只能有两个不同方向的周期。
2，一个复数到实数的连续函数，在定义域的任何方向上都不是常数，那么它也只能有
最多两个不同方向的周期。
第一个是肯定结论，第二个我不确定。
2k
【在 w****n 的大作中提到】
: 可能我比较dumb吧，呵呵。想了半天，没想到一个简单的证明。
: 法利分割本质上和连分数是差不多的。大意就是0到1之间所有分母小于一个给定数的既
: 约分数排列会满足的一些性质，比如相邻两数差等于分母乘积分之一，分母之和大于给
: 定的界等等。
: 最简单的用"己知结果"来证明就是用连分数性质了。a到第n个convergent h
: (n)/k(n)的距离是小于1/(k(n)*k(n 1))的。k(n 1)
: 大于k(n),所以这就是小于1/k(n)^2的。Convergents是在a两侧交错逼近a的，所以这个
: ka小数部分小于1/k对一半的convergents(所有偶indices的或所有奇indices的)来说都
: 满足。k(n 1)跟k(n)关系和连分数展开直接有关。最差可能就是a的连分数展开在有限
: 步后都是1,1,1,...这在a和黄金分割数有关时出现。所以1/k可以改成(根号(5)-1)/(2k
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w****n
发帖数: 113 | 19 这其实是很有意思的一个问题。小数部分改成到最近整数的距离的话，这就是经典的
Dirichlet Lemma.最自然(也很简单)的证明就是考虑a,2a,...,ka的小数部分落在0-1区
间上k 1个长度为1/(k 1)的子区间上的情况。有掉到第一个或第k 1个区间的话，done
。如果没有的话，那k个数掉入k-1个区间内，鸽笼原理推出有个区间内有两个,say ma
and na，的小数部分。Let k=|m-n|就行了。
这个证明不能用于你的问题。但你的问题包含了Dirichlet Lemma,所以任何一个你这问
题的证明都能给出Dirichlet Lemma。如果你的问题有个不用连分数类知识的简单证明
的话，那就是对于迪里克雷引理的另一个简单证明。这是非常有意思的。
: 看来是我的感觉不准，这个问题确实不容易。
: 连分数我没看过，你这个证明我没看懂，我先放一下。谢谢。
: 2k
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个问题我是在考虑复变函数的周期性时想到的。但是也没有直接的关系。
: 复变函数的周期性有两个问题，我列在这里，看看谁有简单的办法说明一下。
: 1，一个解析函数，非常数，最多只能有两个不同方向的周期。
: 2，一个复数到实数的连续函数，在定义域的任何方向上都不是常数，那么它也只能有
: 最多两个不同方向的周期。
: 第一个是肯定结论，第二个我不确定。
:
: 2k
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T*******x
发帖数: 8565 | 20 嗯，你这个问题的表述是：
对于任意实数a，对于任意正整数k，都存在一个正整数n<=k，使得na距离最近的整数的
距离小于1/k。
对啊。和我的问题看起来只差一点点啊，条件上还互有强弱，改一改能证明我的问题吗？
done
ma
【在 w****n 的大作中提到】
: 这其实是很有意思的一个问题。小数部分改成到最近整数的距离的话，这就是经典的
: Dirichlet Lemma.最自然(也很简单)的证明就是考虑a,2a,...,ka的小数部分落在0-1区
: 间上k 1个长度为1/(k 1)的子区间上的情况。有掉到第一个或第k 1个区间的话，done
: 。如果没有的话，那k个数掉入k-1个区间内，鸽笼原理推出有个区间内有两个,say ma
: and na，的小数部分。Let k=|m-n|就行了。
: 这个证明不能用于你的问题。但你的问题包含了Dirichlet Lemma,所以任何一个你这问
: 题的证明都能给出Dirichlet Lemma。如果你的问题有个不用连分数类知识的简单证明
: 的话，那就是对于迪里克雷引理的另一个简单证明。这是非常有意思的。
:
:
: 看来是我的感觉不准，这个问题确实不容易。
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r*****g
发帖数: 434 | 21 请试一下a=0.99999999.... （注意，不要吧a写成1.0的形式）
【在 T*******x 的大作中提到】
: 证明，任何一个正实数a，都存在一个正整数k>1，使得ka的小数部分小于1/k。
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T*******x
发帖数: 8565 | 22 0.999...=1。这是一个大坑。
【在 r*****g 的大作中提到】
: 请试一下a=0.99999999.... （注意，不要吧a写成1.0的形式）
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c****8
发帖数: 1 | 23 你老婆伺候党委书记的时候，能改一改姿势么？
盹盹盹
：嗯，你这个问题的表述是：
：对于任意实数a，对于任意正整数k，都存在一个正整数n<=k，使得na距离最近的
整数的距离小于1/k。
：对啊。和我的问题看起来只差一点点啊，条件上还互有强弱，改一改能证明我的问题
吗？
：☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.11
【在 T*******x 的大作中提到】
: 0.999...=1。这是一个大坑。
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T*******x
发帖数: 8565 | 24 下面来证明一下一个解析函数至多有两个不同方向的周期。这个证明概括为以下几步：
1，两个周期的整数线性组合仍然是周期。
2，一个非常数解析函数的所有周期的集合不能有聚点。
3，距离零点最近的两个不同方向的周期，组成一个周期平行四边形。
4，如果有另一个方向的周期，那么这个周期只能在周期平行四边形内部。
5，而一个平行四边形内部一点，到四个顶点的距离，必然有一个小于平行四边形的某
一边长。
6，这就产生了一个新的周期，比前面选定的两个周期更短，而前面说了，选定最短的
两个周期。矛盾。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个问题我是在考虑复变函数的周期性时想到的。但是也没有直接的关系。
: 复变函数的周期性有两个问题，我列在这里，看看谁有简单的办法说明一下。
: 1，一个解析函数，非常数，最多只能有两个不同方向的周期。
: 2，一个复数到实数的连续函数，在定义域的任何方向上都不是常数，那么它也只能有
: 最多两个不同方向的周期。
: 第一个是肯定结论，第二个我不确定。
:
: 2k
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