T*******x
发帖数: 8565 | 1 m和n为正整数。求
Sum m>=1, n<=m of
(1/(2m)-1/(2m+1)) * 1/(2n-1) |
B*Q
发帖数: 25729 | |
T*******x
发帖数: 8565 | 3 不好意思啊。
【在 B*Q 的大作中提到】
: 大哥是数学博士么？
|
T*******x
发帖数: 8565 | 4 轻顶一下。
【在 T*******x 的大作中提到】
: m和n为正整数。求
: Sum m>=1, n<=m of
: (1/(2m)-1/(2m+1)) * 1/(2n-1)
|
T*******x
发帖数: 8565 | 5 昨天算了一晚上，今天算了一早上，没算出来。
此题是有答案的，大家放心做。
【在 T*******x 的大作中提到】
: m和n为正整数。求
: Sum m>=1, n<=m of
: (1/(2m)-1/(2m+1)) * 1/(2n-1)
|
h*********3
发帖数: 1 | 6 如果收敛
等于 (1 + 1/3 + 1/5 +....)(- log2 + 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4) + 1 - log2
不知道收敛不
【在 T*******x 的大作中提到】
: 昨天算了一晚上，今天算了一早上，没算出来。
: 此题是有答案的，大家放心做。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 7 原式肯定是收敛的，sum n 到m，以log m的形式增长，相减项以m平方形式趋近于零，
所以总和是收敛的。
你这个好像不收敛啊。
【在 h*********3 的大作中提到】
: 如果收敛
: 等于 (1 + 1/3 + 1/5 +....)(- log2 + 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4) + 1 - log2
: 不知道收敛不
|
h*********3
发帖数: 1 | 8 第一项是一个inftytimes 0
【在 T*******x 的大作中提到】
: 原式肯定是收敛的，sum n 到m，以log m的形式增长，相减项以m平方形式趋近于零，
: 所以总和是收敛的。
: 你这个好像不收敛啊。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 9 你的相乘的第二项
(- log2 + 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4)
这个是怎么写的？如果是有限项，那乘以前面的无穷还是无穷。
【在 h*********3 的大作中提到】
: 第一项是一个inftytimes 0
|
b******r
发帖数: 1 | 10 你这是有限项求和还是求m to infinity 的极限？ |
|
|
T*******x
发帖数: 8565 | 11 这是无限项求和，二重求和，外边一层是m，从1到无穷，里面一层是n，从1到m。
【在 b******r 的大作中提到】
: 你这是有限项求和还是求m to infinity 的极限？
|
b******r
发帖数: 1 | 12 换下m,n的顺序试试。
对n 求和，m从n到无限。。
: 这是无限项求和，二重求和，外边一层是m，从1到无穷，里面一层是n，从1到m。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这是无限项求和，二重求和，外边一层是m，从1到无穷，里面一层是n，从1到m。
|
T*******x
发帖数: 8565 | 13 你这个如果乘法第二项是无穷项的话，它以1/n的方式趋近于0，而第一项以log n的方
式趋于无穷，相乘还是趋于0。所以结果实际上是1- log 2。这个答案是不对的。
【在 h*********3 的大作中提到】
: 如果收敛
: 等于 (1 + 1/3 + 1/5 +....)(- log2 + 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4) + 1 - log2
: 不知道收敛不
|
T*******x
发帖数: 8565 | 14 我试过了，不行，我是说我试的不行，你可以试试。
【在 b******r 的大作中提到】
: 换下m,n的顺序试试。
: 对n 求和，m从n到无限。。
:
:
: 这是无限项求和，二重求和，外边一层是m，从1到无穷，里面一层是n，从1到m。
:
|
T*******x
发帖数: 8565 | 15 这个问题的答案是
1/4 * zeta(2)
= pi^2 / 24
= 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ...
【在 T*******x 的大作中提到】
: m和n为正整数。求
: Sum m>=1, n<=m of
: (1/(2m)-1/(2m+1)) * 1/(2n-1)
|
g*********r
发帖数: 1 | 16 我很好奇，为什么你说你不会做，却又知道答案。这题的做法和之前你提的 sum m,n >
=1 1/[mn(m+n)]是一样的。你现在要求的和可以写成 sum m,n >=1 1/[(2m+1)(2n-1)(
2m+2n-1)]。将此和按 m 归类，可以得到你要求的和。按 k=m+n 归类，会得
到另一个形式，其中的项几乎是原形式的两倍。调整后用2S+S的方法消去很多项，得到
3pi^2/24，再除以3即可。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个问题的答案是
: 1/4 * zeta(2)
: = pi^2 / 24
: = 1/2^2 + 1/4^2 + 1/6^2 + ...
|
l******t
发帖数: 55733 | 17 我很好奇为毛你啥都能解，这就厉害了
>
【在 g*********r 的大作中提到】
: 我很好奇，为什么你说你不会做，却又知道答案。这题的做法和之前你提的 sum m,n >
: =1 1/[mn(m+n)]是一样的。你现在要求的和可以写成 sum m,n >=1 1/[(2m+1)(2n-1)(
: 2m+2n-1)]。将此和按 m 归类，可以得到你要求的和。按 k=m+n 归类，会得
: 到另一个形式，其中的项几乎是原形式的两倍。调整后用2S+S的方法消去很多项，得到
: 3pi^2/24，再除以3即可。
|
p***n
发帖数: 17190 | 18 這人不熟
親戚我見過
【在 T*******x 的大作中提到】
: m和n为正整数。求
: Sum m>=1, n<=m of
: (1/(2m)-1/(2m+1)) * 1/(2n-1)
|
T*******x
发帖数: 8565 | 19 厉害！
这个问题我是从另外一个路径得到答案的。然后把路径隐去，变成一个问题。我的路径
是，从zeta(2)的积分表达出发，integration x from 0 to infinity of x / (e^x-1)
，用换元法，y=(e^x-1)/(e^x+1)，然后把积分项做泰勒展开，把容易积分的积出来，
剩下的就是该问题。换元法的选取是随便试，唯一要求就是y从0到1。
你这个解法的关键是第一步，把奇数harmonic finite sum变成了无穷sum。这步我试过
把sum 1/(2n-1)写成1/2 sum 1/(n-1/2)，目的也是把m和n的取值空间变为全部正整数
。没走通。有了你的这个参照，我再试一下。
后面2S+S那个我还没有完全验证。
>
【在 g*********r 的大作中提到】
: 我很好奇，为什么你说你不会做，却又知道答案。这题的做法和之前你提的 sum m,n >
: =1 1/[mn(m+n)]是一样的。你现在要求的和可以写成 sum m,n >=1 1/[(2m+1)(2n-1)(
: 2m+2n-1)]。将此和按 m 归类，可以得到你要求的和。按 k=m+n 归类，会得
: 到另一个形式，其中的项几乎是原形式的两倍。调整后用2S+S的方法消去很多项，得到
: 3pi^2/24，再除以3即可。
|
D*******8
发帖数: 1 | 20 greatspacer太强了吧，我是以后上大学了能教我数学吗？ |
|
|
T*******x
发帖数: 8565 | 21 第二步我验证了，也不容易啊，好多项消来消去，最后得到2S+S=1/1^2+1/3^2+1/5^2+.
..=3/4 zeta(2)。
不容易啊。
>
【在 g*********r 的大作中提到】
: 我很好奇，为什么你说你不会做，却又知道答案。这题的做法和之前你提的 sum m,n >
: =1 1/[mn(m+n)]是一样的。你现在要求的和可以写成 sum m,n >=1 1/[(2m+1)(2n-1)(
: 2m+2n-1)]。将此和按 m 归类，可以得到你要求的和。按 k=m+n 归类，会得
: 到另一个形式，其中的项几乎是原形式的两倍。调整后用2S+S的方法消去很多项，得到
: 3pi^2/24，再除以3即可。
|
g*********r
发帖数: 1 | 22 其实你的出题思路已经建议了一个生成函数的解法，你又何必另觅良方呢？可以令 f(x
) = sum m>=1, 1<=n<=m (x^(2m)/(2m)-x^(2m+1)/(2m+1))/(2n-1)。所求的和即为f(1)
。逐项求导可得 f'(x) = sum m>=1, 1<=n<=m (x^(2m-1)-x^(2m))/(2n-1)。交换m,n次
序易得 f'(x) = 1/(1-x^2) * sum n>=1 1/(2n-1)*(x^(2n-1)-x^(2n))。到这里已经是
很明显的Taylor级数了(如果不熟悉Taylor级数就再逐项求导一次）。把f'(x)的显式求
出后再积分就可以了。
1)
【在 T*******x 的大作中提到】
: 厉害！
: 这个问题我是从另外一个路径得到答案的。然后把路径隐去，变成一个问题。我的路径
: 是，从zeta(2)的积分表达出发，integration x from 0 to infinity of x / (e^x-1)
: ，用换元法，y=(e^x-1)/(e^x+1)，然后把积分项做泰勒展开，把容易积分的积出来，
: 剩下的就是该问题。换元法的选取是随便试，唯一要求就是y从0到1。
: 你这个解法的关键是第一步，把奇数harmonic finite sum变成了无穷sum。这步我试过
: 把sum 1/(2n-1)写成1/2 sum 1/(n-1/2)，目的也是把m和n的取值空间变为全部正整数
: 。没走通。有了你的这个参照，我再试一下。
: 后面2S+S那个我还没有完全验证。
:
|
T*******x
发帖数: 8565 | 23 我算了一下，f’(x)可以得出显式，不过我项没有track好，乱套了。不过这个生成函
数的方法我领教了，不错，似乎不唯一。
(x
1)
【在 g*********r 的大作中提到】
: 其实你的出题思路已经建议了一个生成函数的解法，你又何必另觅良方呢？可以令 f(x
: ) = sum m>=1, 1<=n<=m (x^(2m)/(2m)-x^(2m+1)/(2m+1))/(2n-1)。所求的和即为f(1)
: 。逐项求导可得 f'(x) = sum m>=1, 1<=n<=m (x^(2m-1)-x^(2m))/(2n-1)。交换m,n次
: 序易得 f'(x) = 1/(1-x^2) * sum n>=1 1/(2n-1)*(x^(2n-1)-x^(2n))。到这里已经是
: 很明显的Taylor级数了(如果不熟悉Taylor级数就再逐项求导一次）。把f'(x)的显式求
: 出后再积分就可以了。
:
: 1)
|
b******r
发帖数: 1 | 24 好像是不太行。
昨天没写，大概想了下以为所有的项能消掉，刚才纸上写了下，发现只能消掉一半。。。
: 我试过了，不行，我是说我试的不行，你可以试试。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 我算了一下，f’(x)可以得出显式，不过我项没有track好，乱套了。不过这个生成函
: 数的方法我领教了，不错，似乎不唯一。
:
: (x
: 1)
|
T*******x
发帖数: 8565 | 25 二重级数换序是比较有力的武器，分两种情况，一种是index domain为三角形，这种换
序相当于连续函数的分部积分法法，另一种是index domain为正方形，这种一般用k=m+
n换元。这两种解决不了的，就不是常规问题了。
。。
【在 b******r 的大作中提到】
: 好像是不太行。
: 昨天没写，大概想了下以为所有的项能消掉，刚才纸上写了下，发现只能消掉一半。。。
:
:
: 我试过了，不行，我是说我试的不行，你可以试试。
:
|
T*******x
发帖数: 8565 | 26 又看了一下你这个f’(x)的式子，才发现跟我从积分形式导出来的式子完全一样。我从
积分导出来的是
integration (0,1) 1/(1+x) * [ln(1+x)-ln(1-x)]
泰勒展开之后得到那个二重级数。你这个生成函数的方法相当于原路返回。哈哈。
(x
1)
【在 g*********r 的大作中提到】
: 其实你的出题思路已经建议了一个生成函数的解法，你又何必另觅良方呢？可以令 f(x
: ) = sum m>=1, 1<=n<=m (x^(2m)/(2m)-x^(2m+1)/(2m+1))/(2n-1)。所求的和即为f(1)
: 。逐项求导可得 f'(x) = sum m>=1, 1<=n<=m (x^(2m-1)-x^(2m))/(2n-1)。交换m,n次
: 序易得 f'(x) = 1/(1-x^2) * sum n>=1 1/(2n-1)*(x^(2n-1)-x^(2n))。到这里已经是
: 很明显的Taylor级数了(如果不熟悉Taylor级数就再逐项求导一次）。把f'(x)的显式求
: 出后再积分就可以了。
:
: 1)
|
T*******x
发帖数: 8565 | 27 再换元回去，let x=(e^u-1)/(e^u+1)，得到
integration from 0 to infinity x/(e^x+1) = 1/2 zeta(2)
所以
integration x/(e^x-1) = 2* integration x/(e^x+1)
这个显而易见吗？
【在 T*******x 的大作中提到】
: 又看了一下你这个f’(x)的式子，才发现跟我从积分形式导出来的式子完全一样。我从
: 积分导出来的是
: integration (0,1) 1/(1+x) * [ln(1+x)-ln(1-x)]
: 泰勒展开之后得到那个二重级数。你这个生成函数的方法相当于原路返回。哈哈。
:
: (x
: 1)
|
T*******x
发帖数: 8565 | 28 定义三个函数，
A(p)=integration x^(p-1)/(e^x-1)
B(p)=integration x^(p-1)/(e^x+1)
Gamma(p)= integration x^(p-1)/e^x
有A(p)/Gamma(p)=zeta(p)，
这是zeta函数的积分表达。
A函数和B函数都是重要函数。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 再换元回去，let x=(e^u-1)/(e^u+1)，得到
: integration from 0 to infinity x/(e^x+1) = 1/2 zeta(2)
: 所以
: integration x/(e^x-1) = 2* integration x/(e^x+1)
: 这个显而易见吗？
|
