o*******w
发帖数: 349 | 1 举例说吧.
我们在k公里尺度看地球时, 比如从月球上看, 地球是一个圆弧. 如果zoom in, 以
公里尺度看, 就有高山, 平原, 海底. 如果再zoom in 以米的尺度看 ..., so on
and so forth.
我现在遇到的函数, 就跟地球似的 (这里记为 h(.) 吧), 尺度是 N^a, 0
<= a <= 1; 如, N, N^(1/2). N 足够大.
通常的函数, 我们可以定义函数的"峰值", 比如在 x 的一个小邻域 d
Max f(x)
d
对于函数h(.), x的函数值的定义为其邻域(姑且叫d临域吧)的均值(或均高)
h(x) = p1*h(x1) + p2*h(x2) + ... + p_n*h(x_n)
{pi}是一个概率分布函数, 比如 pi=1/N^(1/2), pi=1/N^(1/3) 等等.
在我的问题里{pi}是Theta(.)函数.
d邻域有大小(尺度), 比如
d_w1(x) = {x1, x2, ...x, ..., x_N^(1/3)} 就比
d_w2(x) = | m*****n
发帖数: 3575 | | o*******w
发帖数: 349 | 3 能不能进一步指点一下. Chebshev极限定理的英文名称是什么? Chebeshev limit
theorem?
我感觉这个问题可规结为这么个问题:
我们可以把函数的取值看成在一个随机抽样.
k
Y1= SUM pi*yi
1
N
Y2 = SUM p'i * y'i
1
yi 和 y'i 在同一个样本空间中去值. 我们知道 Y1 的方差比Y1的大.
但是我需要证明 max(Y1) > max(Y1) Or y 是一个恒常函数 即 Y1 = O(Y2)
【在 m*****n 的大作中提到】
: Chebshev极限定理？
| o*******w
发帖数: 349 | 4 一步一步来吧.
下面的命题是成立的.
命题1: max { (y1 + y2 + ... + y_N)/N } <= max { (h1 + h2 + ... + h_K)/K }
For k < N.
这里 y_i 和 h_i 都代表函数h(.)的取值.
Proof:
max { (y1 + y2 + ... + y_N)/N } = (max_1 + max_2 + ...+max_K + ... + max_N)/
N
max { (h1 + h2 + ... + h_K)/K } = (max_1 + max_2 + ... + max_K)/K
其中 max_1 是函数的最大值, max_2 是函数的次大值 ... i.e.
max_1 >= max_2 >= max_3 >= ...
我们只需证
(max_1 + max_2 + ...+max_K + max_(K+1)... + max_N)/N
<= (max_1 + max_2 + ... + max_K)/K
上式左边是
(K/N) *
【在 o*******w 的大作中提到】
: 能不能进一步指点一下. Chebshev极限定理的英文名称是什么? Chebeshev limit
: theorem?
: 我感觉这个问题可规结为这么个问题:
: 我们可以把函数的取值看成在一个随机抽样.
: k
: Y1= SUM pi*yi
: 1
: N
: Y2 = SUM p'i * y'i
: 1
| Q***5
发帖数: 994 | 5 Some of your notations are not used in their standard way, but if I
understand you correctly, your questions seem to related to the concept of
convulation of functions.
Using your notation in
INT f(x)h(x) dx < maxINT g(x)*h(x-t) dx
But I think your question is really whether the following is true:
max INT f(x)h(x-t)dx < max INT g(x)h(x-t)dx
where 'max' is taken with repect to t. ( note: INT f(x)h(t-x)dx is
called a convolution of f and h, very close to your integeration)
In general, this is not | o*******w
发帖数: 349 | 6 (谢谢指点)
但我确实是想要
INT f(x)h(x) dx < max INT g(x)*h(x-t) dx -----------(*)
t
where f 和 g 都是概率密度函数, i.e. INT f(x)dx = INT g(x)dx = 1.
直观上, INT f(x)h(x-t) 就是对h(.)加权求和. 调整t的值可以使该求和在
h(.)的某个波峰区域进行. 比如某些t1可以使 f(x)h(x-t1) 在四川盆
地上求和. 另一些 t2 可以使之在青藏高原上进行; 因为这时
f(x)的峰值可能正在拉萨附近. (*) 是说, 用窄的权函数(这里的f)
能得到值比用宽的得到的大; 极端的情况, 如果f是一根线那么(*)的右
边就是8882米, 珠目琅玛峰的高度.
当然(*) 也可以写成
max INT f(x)h(x-t1)dx < max INT g(x)h(x-t)dx
t1 t
但由于h是任意的, 所以上式跟 (*) 等价.
下面命题1'成
【在 Q***5 的大作中提到】
: Some of your notations are not used in their standard way, but if I
: understand you correctly, your questions seem to related to the concept of
: convulation of functions.
: Using your notation in
: INT f(x)h(x) dx < maxINT g(x)*h(x-t) dx
: But I think your question is really whether the following is true:
: max INT f(x)h(x-t)dx < max INT g(x)h(x-t)dx
: where 'max' is taken with repect to t. ( note: INT f(x)h(t-x)dx is
: called a convolution of f and h, very close to your integeration)
: In general, this is not
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