f********y
发帖数: 278 | 1 求证：
三角形中的任意一点到三角形的三点距离之和是不是少于三角形任意两边之和？
好像很难算，谢谢！ |
f********y
发帖数: 278 | 2 太难了，准备放弃了
【在 f********y 的大作中提到】
: 求证：
: 三角形中的任意一点到三角形的三点距离之和是不是少于三角形任意两边之和？
: 好像很难算，谢谢！
|
D**u
发帖数: 204 | 3 I supposed the question is:
"三角形中的任意一点到三角形的三点距离之和小于三角形两长边之和"?
【在 f********y 的大作中提到】
: 求证：
: 三角形中的任意一点到三角形的三点距离之和是不是少于三角形任意两边之和？
: 好像很难算，谢谢！
|
f********y
发帖数: 278 | 4 对，我已经把题目改了一下。
大侠有何高见？
【在 D**u 的大作中提到】
: I supposed the question is:
: "三角形中的任意一点到三角形的三点距离之和小于三角形两长边之和"?
|
A**u
发帖数: 272 | 5 拿解析几何算一下应该就行了。我感觉差不多是对的，因为距离函数是个抛物面，如果
取极值应该在顶点上。
【在 f********y 的大作中提到】
: 太难了，准备放弃了
|
f********y
发帖数: 278 | 6 解析几何其实很难算的，不信，你试试？
而且我觉得这个命题是不对的。
【在 A**u 的大作中提到】
: 拿解析几何算一下应该就行了。我感觉差不多是对的，因为距离函数是个抛物面，如果
: 取极值应该在顶点上。
|
D**u
发帖数: 204 | 7 你改过的新板本和我说的还是不太一样. "两长边"指的是三条边中更长的两条, 而不是
任意两条.
下面是针对"两长边"而言.
For any point D, let f(D) be the sum of the distances from D to the 3
vertices (A,B,and C) of the triangle.
Let D1 and D2 be any 2 different points, and E be the middle point between
D1 and D2. Easy to see that
f(E) < 1/2(f(D1) + f(D2)).
This implies that inside (and include the boundary of) the triangle ABC, f(D
) reaches maximum at, and only at the vertices of the triangle.
【在 f********y 的大作中提到】
: 对，我已经把题目改了一下。
: 大侠有何高见？
|
s*x
发帖数: 3328 | 8 中学数学题
sum distance <= 2 x measure / shortest edge
= shortest edge x height / shortest edge
= height on the shortest edge
<= any edge that is not the shortest
<= sum of any two edges
【在 f********y 的大作中提到】
: 求证：
: 三角形中的任意一点到三角形的三点距离之和是不是少于三角形任意两边之和？
: 好像很难算，谢谢！
|
f********y
发帖数: 278 | 9 Thanks. But I can not see why it holds.
f(E) < 1/2(f(D1) + f(D2)).
?
Thanks
(D
【在 D**u 的大作中提到】
: 你改过的新板本和我说的还是不太一样. "两长边"指的是三条边中更长的两条, 而不是
: 任意两条.
: 下面是针对"两长边"而言.
: For any point D, let f(D) be the sum of the distances from D to the 3
: vertices (A,B,and C) of the triangle.
: Let D1 and D2 be any 2 different points, and E be the middle point between
: D1 and D2. Easy to see that
: f(E) < 1/2(f(D1) + f(D2)).
: This implies that inside (and include the boundary of) the triangle ABC, f(D
: ) reaches maximum at, and only at the vertices of the triangle.
|
v**i
发帖数: 50 | 10 smx的证明思路很有问题，虽然我没看懂，但是感觉90%是错的。DuGu的证明很漂亮, 不
过既然funnystory还没看懂，我就来多句嘴... 因为距离 |x-y|,固定$y$, 作为$x$ 的
一个函数, is a convex function. 这个证明起来不难, 不失一般性, 假设 $y=0$. 这
样我们就需证明
|(x1+x2)/2|<(|x1|+|x2|)/2. 这其实就是三角不等式嘛... |
|
|
t*****n
发帖数: 225 | 11 nice proof.
(D
【在 D**u 的大作中提到】
: 你改过的新板本和我说的还是不太一样. "两长边"指的是三条边中更长的两条, 而不是
: 任意两条.
: 下面是针对"两长边"而言.
: For any point D, let f(D) be the sum of the distances from D to the 3
: vertices (A,B,and C) of the triangle.
: Let D1 and D2 be any 2 different points, and E be the middle point between
: D1 and D2. Easy to see that
: f(E) < 1/2(f(D1) + f(D2)).
: This implies that inside (and include the boundary of) the triangle ABC, f(D
: ) reaches maximum at, and only at the vertices of the triangle.
|
D**u
发帖数: 204 | 12 This is because:
(1) |AE| =< 1/2(|AD1| + |AD2|);
(2) |BE| =< 1/2(|BD2| + |BD2|);
(3) |CE| =< 1/2(|CD2| + |CD2|);
(see vvii's post for proof, or apply 三角不等式 for proof).
In (1), it is "=" if A, D1 and D2 are on the same line; "<" if not.
So at least one "<" holds for (1), (2) and (3). Then added them up to get
f(E) < 1/2(f(D1) + f(D2)).
【在 f********y 的大作中提到】
: Thanks. But I can not see why it holds.
: f(E) < 1/2(f(D1) + f(D2)).
: ?
: Thanks
:
: (D
|
R*********r
发帖数: 1855 | |
R*********r
发帖数: 1855 | 14 上面否定了“小于”
再取一个顶角接近于180度的三角形，这个点就取在顶点附近，否定了“大于”。 |
R*********r
发帖数: 1855 | 15 想岔了。
三段距离之和只有一个极值点，而且是极小值，因此最大值在边界上。 |
