w**a
发帖数: 1024 | 1 在differential forms 里面那个 wedge product '/\'
w = f(x1,x2,x3) dx1 /\ dx2 /\ dx3
dx_i 不是切空间的范函吗？ 并没有无限小的意思啊，
为什么 dx1 /\ dx2 /\ dx3 就是体积而且可以积分？
还有外微分的意义到底是什么？ 不理解。
感觉differential forms 那些运算就是在玩弄符号啊。
请大虾指教。 |
x*****d
发帖数: 427 | 2 这个形式在三个向量上的取值就是它们
张成的平行六面体的体积.
"形式的积分" 本来就没有自然的意义,
是局部的黎曼积分用单位分解拼起来的.
【在 w**a 的大作中提到】
: 在differential forms 里面那个 wedge product '/\'
: w = f(x1,x2,x3) dx1 /\ dx2 /\ dx3
: dx_i 不是切空间的范函吗？ 并没有无限小的意思啊，
: 为什么 dx1 /\ dx2 /\ dx3 就是体积而且可以积分？
: 还有外微分的意义到底是什么？ 不理解。
: 感觉differential forms 那些运算就是在玩弄符号啊。
: 请大虾指教。
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T*******x
发帖数: 8565 | 3
这么看行不行：
因为你上面说的原因，所以dx1^dx2^dx3可以看成是一个measure，
所以可以积一个函数。
我觉得也可以把dx1^dx2^dx3看成是一个小的体积元。
【在 x*****d 的大作中提到】
: 这个形式在三个向量上的取值就是它们
: 张成的平行六面体的体积.
: "形式的积分" 本来就没有自然的意义,
: 是局部的黎曼积分用单位分解拼起来的.
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T*******x
发帖数: 8565 | 4
我觉得无穷小的意思，要理解成一个measure，
一个空间上面有一个measure，空间的分割，块不能太大，太大measure不准确。
所以measure和无穷小有关系。
dx_i是泛函啊，它给切空间赋值，就相当于给很小很小的块赋值，
很小很小的块就相当于是切空间。
这是比较粗糙的理解。
【在 w**a 的大作中提到】
: 在differential forms 里面那个 wedge product '/\'
: w = f(x1,x2,x3) dx1 /\ dx2 /\ dx3
: dx_i 不是切空间的范函吗？ 并没有无限小的意思啊，
: 为什么 dx1 /\ dx2 /\ dx3 就是体积而且可以积分？
: 还有外微分的意义到底是什么？ 不理解。
: 感觉differential forms 那些运算就是在玩弄符号啊。
: 请大虾指教。
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x*****d
发帖数: 427 | 5 可以有不同的理解. 我倾向于看成黎曼积分
【在 T*******x 的大作中提到】
:
: 我觉得无穷小的意思，要理解成一个measure，
: 一个空间上面有一个measure，空间的分割，块不能太大，太大measure不准确。
: 所以measure和无穷小有关系。
: dx_i是泛函啊，它给切空间赋值，就相当于给很小很小的块赋值，
: 很小很小的块就相当于是切空间。
: 这是比较粗糙的理解。
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w**a
发帖数: 1024 | 6 是在3个向量上的取值。
可不可以理解为：
在黎曼积分的时候，把流形分解成很多无穷小的
‘块’，三维的情况是小体积元，那么每个
小体积元是有3个向量张开的，那么3－form
就正好‘吃’进去3个向量，‘吐’出一个实数，就是无穷小体积。
然后把所有分解了的小元相加就得到form在这个流形上的积分？
因为对于每个小‘块’，由于它很小，所以所对应的3个向量长度就是无穷小，所以就
自然是
切空间的矢量。
【在 x*****d 的大作中提到】
: 这个形式在三个向量上的取值就是它们
: 张成的平行六面体的体积.
: "形式的积分" 本来就没有自然的意义,
: 是局部的黎曼积分用单位分解拼起来的.
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x*****d
发帖数: 427 | 7 我觉得还是把几何意义和测度意义分开理解比较合适.
流形上如果不给度量的话, 就没有自然的体积形式,
一个顶级形式就不能自然地写成流形上整体定义的函数
乘以体积形式, 从而这个顶级形式的积分就不能自然
地看作是某个函数对于流形上某一测度的积分.
流形上构造测度的方法仍然是通过单位分解把局部
的测度沾起来. 流形上的积分最好是看作
局部的黎曼积分用单位分解沾起来.
【在 w**a 的大作中提到】
: 是在3个向量上的取值。
: 可不可以理解为：
: 在黎曼积分的时候，把流形分解成很多无穷小的
: ‘块’，三维的情况是小体积元，那么每个
: 小体积元是有3个向量张开的，那么3－form
: 就正好‘吃’进去3个向量，‘吐’出一个实数，就是无穷小体积。
: 然后把所有分解了的小元相加就得到form在这个流形上的积分？
: 因为对于每个小‘块’，由于它很小，所以所对应的3个向量长度就是无穷小，所以就
: 自然是
: 切空间的矢量。
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m****1
发帖数: 352 | 8 这个关键在于线性性质吧，dx1 dx2 dx3的线性性质决定了微分的意义
这个和大学里高数中微分的几何意义是函数的线性主部是统一的。
也就是说实际上d这个运算是分离出了其中的线性性质
包括d/dx运算也类似，把经过该点的所有曲线根据线性运算性质来分类，在线性运算
中一类的就称做一个切向量
微分的意义就在于用线性空间来代替弯曲的空间
假如放在生活中，一条曲线的长度实际上是没有定义的，所有的定义都是在局部用“线
性”
的空间去拟合后加起来，也就是说用微小的直尺度量后加起来
【在 w**a 的大作中提到】
: 在differential forms 里面那个 wedge product '/\'
: w = f(x1,x2,x3) dx1 /\ dx2 /\ dx3
: dx_i 不是切空间的范函吗？ 并没有无限小的意思啊，
: 为什么 dx1 /\ dx2 /\ dx3 就是体积而且可以积分？
: 还有外微分的意义到底是什么？ 不理解。
: 感觉differential forms 那些运算就是在玩弄符号啊。
: 请大虾指教。
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