x**p
发帖数: 12 | 1 a 2x2x2 cube is to be constructed using 4 white and 4 black units, how many
different cubes can be constructed in this way?
Two cubes are the same, if one can be obtained by rotating the other. |
H********g
发帖数: 43926 | 2 6
many
【在 x**p 的大作中提到】
: a 2x2x2 cube is to be constructed using 4 white and 4 black units, how many
: different cubes can be constructed in this way?
: Two cubes are the same, if one can be obtained by rotating the other.
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l*******s
发帖数: 7316 | 3 7
6
【在 H********g 的大作中提到】
: 6
:
: many
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x**p
发帖数: 12 | 4 大概讲讲思路吧。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 7
:
: 6
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s****u
发帖数: 1433 | |
l*******s
发帖数: 7316 | 6 第一类，4个黑的在同一层， 1种
第二类，有3个黑的在同一层，但没有4个黑的在同一层，4种
第三类，有2个黑的在同一层，但没有3个或4个黑的在同一层，2种
【在 x**p 的大作中提到】
: 大概讲讲思路吧。
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g**a
发帖数: 2129 | 7 三个黑的在同一层应该只有2种。其他可以rotate得到。
所以答案应该是5。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 第一类，4个黑的在同一层， 1种
: 第二类，有3个黑的在同一层，但没有4个黑的在同一层，4种
: 第三类，有2个黑的在同一层，但没有3个或4个黑的在同一层，2种
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l*******s
发帖数: 7316 | 8 1 0
0 0
1 1
1 0
和
0 0
0 1
1 1
1 0
怎么能一样呢？
【在 g**a 的大作中提到】
: 三个黑的在同一层应该只有2种。其他可以rotate得到。
: 所以答案应该是5。
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g**a
发帖数: 2129 | 9 旋转180度？
【在 l*******s 的大作中提到】
: 1 0
: 0 0
: 1 1
: 1 0
: 和
: 0 0
: 0 1
: 1 1
: 1 0
: 怎么能一样呢？
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l*******s
发帖数: 7316 | 10 不是魔方吧？
要转一起转。
【在 g**a 的大作中提到】
: 旋转180度？
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H********g
发帖数: 43926 | 11 3黑一层应该是4种 其中两个手性异构 另两个完全不同 不能通过旋转互变
【在 g**a 的大作中提到】
: 三个黑的在同一层应该只有2种。其他可以rotate得到。
: 所以答案应该是5。
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l*******s
发帖数: 7316 | 12 是的，我前面列了两种，
其中一个是上层黑块跟下层3个黑块中中间的在一起，也就是从3个面看都有3个黑块在
一起。
另一个上层的黑块在下层唯一白块上面。
剩下的两种如下，
0 1
0 0
1 1
1 0
和
0 0
1 0
1 1
1 0
这两个上层的黑块都在下层黑块的非中间块上面，但这两种直接也不旋转等效。
【在 H********g 的大作中提到】
: 3黑一层应该是4种 其中两个手性异构 另两个完全不同 不能通过旋转互变
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h*********3
发帖数: 1 | |
l*******s
发帖数: 7316 | 14 第一种，3个表面3黑，
第二种，1个表面3黑，
第3，4种，两个表面3黑。
这样很容易证明，有3种不同的一层3黑。
唯一比较难说明的是3，4两种，怎么证明这两的旋转不等价。
但自己好好想想，也能想明白。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 是的，我前面列了两种，
: 其中一个是上层黑块跟下层3个黑块中中间的在一起，也就是从3个面看都有3个黑块在
: 一起。
: 另一个上层的黑块在下层唯一白块上面。
: 剩下的两种如下，
: 0 1
: 0 0
: 1 1
: 1 0
: 和
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l*******s
发帖数: 7316 | 15 如果让我给小学生讲为什么后两种两个表面3黑的不等价，我会用一下方法。
这两种情况都有两个面有三黑，
把其中的一个有3黑的面朝下，然后旋转到东南方向是白块，记录这时候上层的黑块的
位置。
要么是东北，要么是西南。
然后把同一个cube的另一个3黑的面超下，然后旋转到东南方向是白块，看看上层黑块
的位置是否跟前面记录的一样。
现在观察的结果是一样，原来上层黑块在东北的，现在还会在东北。
原来在西南的现在还会在西南。
这就说明存在两种不同结构，互相不旋转等价。
不知道有没有人有更好的解释方法？
【在 l*******s 的大作中提到】
: 第一种，3个表面3黑，
: 第二种，1个表面3黑，
: 第3，4种，两个表面3黑。
: 这样很容易证明，有3种不同的一层3黑。
: 唯一比较难说明的是3，4两种，怎么证明这两的旋转不等价。
: 但自己好好想想，也能想明白。
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x**p
发帖数: 12 | 16 我试图算8个cube，随机取4个。一共是70钟不同的组合。问题是没办法算旋转带来的重
合。 |
l*******s
发帖数: 7316 | 17 我稍微修改了6楼的说法，你看看能理解吗？
【在 x**p 的大作中提到】
: 我试图算8个cube，随机取4个。一共是70钟不同的组合。问题是没办法算旋转带来的重
: 合。
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h*********3
发帖数: 1 | 18 查了一下，觉得应该跟Burnside's Lemma有关 |
x**p
发帖数: 12 | 19 谢谢。我解题的思路跟你是完全一样的。但是没办法跟小学生讲透彻，毕竟是凑凑出来
的。想看看大伙是不是有更简单的办法。这是五六年级的题。直觉上觉得应该有更简单
更容易理解的方法，不过用排列组合的方法也没走通。
【在 l*******s 的大作中提到】
: 我稍微修改了6楼的说法，你看看能理解吗？
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gw
发帖数: 2175 | 20 第二个旋转90度是不是变成每层两个的情况了？
【在 l*******s 的大作中提到】
: 1 0
: 0 0
: 1 1
: 1 0
: 和
: 0 0
: 0 1
: 1 1
: 1 0
: 怎么能一样呢？
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|
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l*******s
发帖数: 7316 | 21 不会，只要有一层出现3个，就排出在第三类之外。
：第二个旋转90度是不是变成每层两个的情况了？
： |
l*******s
发帖数: 7316 | 22 这也不算凑出来的。
很有规律的穷举。
唯一困难一点的是第二类后两个是否会并成一种。
：谢谢。我解题的思路跟你是完全一样的。但是没办法跟小学生讲透彻，毕竟是凑凑出
来的。想看看大伙是不是有更简单的办法。这是五六年级的题。直觉上觉得应该有更简
单更容易理解的方法，不过用排列组合的方法也没走通。
： |
a***e
发帖数: 27968 | 23 你这个从侧面看和某个俩黑会不会重了？
★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4
【在 l*******s 的大作中提到】
: 1 0
: 0 0
: 1 1
: 1 0
: 和
: 0 0
: 0 1
: 1 1
: 1 0
: 怎么能一样呢？
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l*******s
发帖数: 7316 | 24 第一类，4个黑的在同一层， 1种
第二类，有3个黑的在同一层，但没有4个黑的在同一层，4种
第三类，有2个黑的在同一层，但没有3个或4个黑的在同一层，2种
这3类中任何一个case都不会跟其他类的case重复。
【在 a***e 的大作中提到】
: 你这个从侧面看和某个俩黑会不会重了？
:
: ★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4
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l*******s
发帖数: 7316 | 25 第三类的case我没有列举，因为没有人质疑。
现在给出来，让大家检查
case 3.1
1 1
0 0
0 0
1 1
case 3.2
1 0
0 1
0 1
1 0
第二类
case 2.1
1 1
1 0
1 0
0 0
case 2.2
1 1
1 0
0 0
0 1
case 2.3
1 1
1 0
0 1
0 0
case 2.4
1 1
1 0
0 0
1 0
第一类
case 1.1
1 1
1 1
0 0
0 0
【在 l*******s 的大作中提到】
: 第一类，4个黑的在同一层， 1种
: 第二类，有3个黑的在同一层，但没有4个黑的在同一层，4种
: 第三类，有2个黑的在同一层，但没有3个或4个黑的在同一层，2种
: 这3类中任何一个case都不会跟其他类的case重复。
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o****p
发帖数: 9785 | |
