H********g
发帖数: 43926 | 1 【 以下文字转载自 Military 讨论区 】
发信人: btphy (btphy), 信区: Military
标 题: 这次是玩真的了，索男来证明这个简单的数学命题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Sep 29 13:41:21 2017, 美东)
对于任何一个不是2和5的倍数的整数，都存在某一个99....9（即各个位上都是9，但多
少位不定），能被这个整数整除。 | z*********e
发帖数: 10149 | | G*******s
发帖数: 10605 | 3 用同余做，也就是1，10，100，1000，...这个无限序列里面必然有除以这个数之后同
余的，然后两个数相减一下，那个数是999990000这样子的，然后因为2，5不在因子里
面，肯定就被99999这样的整除了
这是俺们二十多年前高中奥数的练习题，几分钟就想出来了 | G*******s
发帖数: 10605 | 4 要求来点费马定理难度的
记得当年集训队有一题是个费马小定理级别的，实在做不出来，最后写了如果费马定理
成立那么几行推导就可以证明这个也成立，估计当时阅卷老师气的要吐血了 | j******l
发帖数: 2790 | 5 菌版有人贴答案了啊，就是鸽笼原理的一个应用，知道套路就简单，否则就难，典型的
竞赛题。
分两步，第一步是证明对于任意的整数n，必然存在俩自然数k1, k2使得 10^k1=10^k2
mod n。反证法：如若不然，则对于任意俩自然数k1, k2，10^k1=10^k2 mod n不能成立
，所以可以找到n+1个自然数k1, k2, k3,... 使得10^k1, 10^k2, 10^k3,... 除以n的
余数各不相同，根据鸽笼原理这是不可能的。
第二步：对于不能被2或5整除的n, 存在自然数k<l使得10^k=10^l mod n， 所以10
^k [10^(l-k)-1]=0 mod n。因为n不能被2, 5整除，所以10^(l-k)-1=0 mod n。证毕
[在 zillionaire (Becoming ruler of the universe) 的大作中提到：]
:没人接？ | n******r
发帖数: 718 | 6 用1来除这个数，一定除不尽，得到一个无限循环小数。把循环节乘以这个数，就会得
到n个9。 | j******l
发帖数: 2790 | 7 为啥一定是n个9，应该是m个9吧，不够严谨
[在 newtiger (牛他哥) 的大作中提到：]
:用1来除这个数，一定除不尽，得到一个无限循环小数。把循环节乘以这个数，就会得
:到n个9。 | S*E
发帖数: 3662 | 8 这就是有理数皆可表示为循环小数的证明。课本上应该有的。
【在 G*******s 的大作中提到】
: 用同余做，也就是1，10，100，1000，...这个无限序列里面必然有除以这个数之后同
: 余的，然后两个数相减一下，那个数是999990000这样子的，然后因为2，5不在因子里
: 面，肯定就被99999这样的整除了
: 这是俺们二十多年前高中奥数的练习题，几分钟就想出来了
| r*****e
发帖数: 7853 | 9 高！
[在 jonahill (像疯一样自由) 的大作中提到：]
:菌版有人贴答案了啊，就是鸽笼原理的一个应用，知道套路就简单，否则就难，典型
的竞赛题。
:分两步，第一步是证明对于任意的整数n，必然存在俩自然数k1, k2使得 10^k1=10^k2
mod n。反证法：如若不然，则对于任意俩自然数k1, k2，10^k1=10^k2 mod n不能成
立，所以可以找到n+1个自然数k1, k2, k3,... 使得10^k1, 10^k2, 10^k3,... 除以n的
:余数各不相同，根据鸽笼原理这是不可能的。
:第二步：对于不能被2或5整除的n, 存在自然数k<l使得10^k=10^l mod n， 所以
10^k [10^(l-k)-1]=0 mod n。因为n不能被2, 5整除，所以10^(l-k)-1=0 mod n。证毕 |
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