3桶问题的证明(更新) - Joke版

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Joke版 - 3桶问题的证明(更新)

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话题: 方程话题: darcy话题: 粘滞话题: 小孔话题: 流速

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(共1页)

l*******s
发帖数: 7316

在压力分析时忽略上面桶内流动，这样桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。
g为重力加速度，d为水约密度，h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样，均为K。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
就是流速和上面桶内水的高度的平方根有一个线性关系。
有了这个关系可以证明C桶最快。新的证明在32楼。
证明很复杂，但定性的说明很简单：
流速跟压差正相关，压差跟上面桶里水位正相关。
开始的时候，液面一样，压差一样，流速一样。
可是C的液面下降最慢，因此在开始后的一段时间里C的流速最快。
随着时间推进，C的液面下降越来越快。最后C的液面会低于A，B。
流速也较低，但这时C里的水剩下最少。
所以在整过过程中，C的平均流速一直最快。

H********g
发帖数: 43926

牛擦看不懂

y****i
发帖数: 12114

看不懂啊？嘿，那就好办了。

【在 H********g 的大作中提到】

: 牛擦看不懂

l*******s
发帖数: 7316

对呀。这是上来就给你忽悠晕乎，然后我说的就都对了。

【在 y****i 的大作中提到】

: 看不懂啊？嘿，那就好办了。

H********g
发帖数: 43926

我也觉得比看得懂的情况省事多了。

【在 y****i 的大作中提到】

: 看不懂啊？嘿，那就好办了。

S*****e
发帖数: 6676

最上面的公式V对么？

l*******s
发帖数: 7316

自己验证一下。

【在 S*****e 的大作中提到】

: 最上面的公式V对么？

H********g
发帖数: 43926

第一个公式里的A是啥？为啥三个体积（V相等，但是里面的s显然不相等）都可以用公
式表示？A是和s相关的么？

H********g
发帖数: 43926

A是三个不同的底面积么？

n****4
发帖数: 12553

这题简单到最多只用到了对数，连个角函数都没用到

【在 l*******s 的大作中提到】

: 自己验证一下。

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l*******s
发帖数: 7316

三个桶A相同。就是B桶的底面积。

【在 H********g 的大作中提到】

: A是三个不同的底面积么？

H********g
发帖数: 43926

那怎么能做到s不同，h相同，A相同，算出来V相同？

【在 l*******s 的大作中提到】

: 三个桶A相同。就是B桶的底面积。

H********g
发帖数: 43926

A明显应该不同啊，原题条件是V和h相同，s不同

【在 l*******s 的大作中提到】

: 三个桶A相同。就是B桶的底面积。

l*******s
发帖数: 7316

h=H的时候，V与s无关

【在 H********g 的大作中提到】

: 那怎么能做到s不同，h相同，A相同，算出来V相同？

S*****e
发帖数: 6676

圆柱圆锥体积算法一样么？高中立体几何完全忘了

【在 H********g 的大作中提到】

: 那怎么能做到s不同，h相同，A相同，算出来V相同？

l*******s
发帖数: 7316

h是变量， H是h的初始值

【在 H********g 的大作中提到】

: A明显应该不同啊，原题条件是V和h相同，s不同

H********g
发帖数: 43926

哦，我把V当成V0了。

【在 l*******s 的大作中提到】

: h=H的时候，V与s无关

H********g
发帖数: 43926

那p和q是啥？

【在 l*******s 的大作中提到】

: h是变量， H是h的初始值

H********g
发帖数: 43926

圆锥=1/3同底同高的圆柱

【在 S*****e 的大作中提到】

:
: 圆柱圆锥体积算法一样么？高中立体几何完全忘了

l*******s
发帖数: 7316

假设流速和上面桶内水的高度有一个线性关系。
其实不需要线性关系，只要是单调关系就行。
但用线性关系比较容易证明。

【在 H********g 的大作中提到】

: 那p和q是啥？

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t******l
发帖数: 10908

属实

：看不懂啊？嘿，那就好办了。

r*s
发帖数: 2555

流速v和水的高度h的关系是 v=(2gh)^1/2

c********w
发帖数: 2438

我仔细看了0.5秒
应该只懂第一句话

【在 l*******s 的大作中提到】

: 假设流速和上面桶内水的高度有一个线性关系。
: 其实不需要线性关系，只要是单调关系就行。
: 但用线性关系比较容易证明。

H********g
发帖数: 43926

有道理水库似乎就基本是这样

【在 r*s 的大作中提到】

: 流速v和水的高度h的关系是 v=(2gh)^1/2

r*s
发帖数: 2555

学过流体力学都知道Bernoulli方程，不过这里假设桶内水面的下降速度远小于水流通
过下面的小孔的速度

r****z
发帖数: 12020

这是 Bernoulli's principle 的一个特殊情形，叫做 Torricelli's theorem。lz 的
推导很不容易看明白主要是因为很多参数或变量没有事先清楚地定义，直接就放公式里
了，比如 s，A 等等。

【在 H********g 的大作中提到】

: 有道理水库似乎就基本是这样

K*****2
发帖数: 9308

擦，终于有人来解方程了
我前两天简单算了下，没有算完全，时间对速度（高度）的函数是凸还是凹跟里面这些
常数大小有关系，应该没错吧

m***r
发帖数: 145

解答中s是什么？

l*******s
发帖数: 7316

dr/dh

【在 m***r 的大作中提到】

: 解答中s是什么？

r****z
发帖数: 12020

大概看懂了你的推导。我曾判断 s 是个描述形状的参数，比如圆台上下半径差对其中
一个半径的比值，现在看来你取的是斜率。你第二行使用的是出水速度和高度的线性关
系，虽然结果类似，但还是改一下比较好。另外，你式子里的 p 和 q 应该只是参数，
但物理里 p 有特殊含义，因为你不是每个参数都标注十分清楚，建议不要用 p 这种有
特殊含义的符号。你的思路是先定义一个描述形状的参数，由此通过所剩水的体积和水
的体积变化给出水面高度和时间的关系的微分表达式，然后积分得到时间对于形状参数
的依赖关系。我没有精力验算你的全部推导过程，但这个思路我认为应该是对的，关键
是这里参数 s 有多种选法，但选得合适才能得到比较简练的所剩水体积的表达式。

【在 l*******s 的大作中提到】

: dr/dh

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l*******s
发帖数: 7316

不好意思。刚才修改的匆忙，有点typo
修改后的证明在32楼。

【在 r****z 的大作中提到】

: 大概看懂了你的推导。我曾判断 s 是个描述形状的参数，比如圆台上下半径差对其中
: 一个半径的比值，现在看来你取的是斜率。你第二行使用的是出水速度和高度的线性关
: 系，虽然结果类似，但还是改一下比较好。另外，你式子里的 p 和 q 应该只是参数，
: 但物理里 p 有特殊含义，因为你不是每个参数都标注十分清楚，建议不要用 p 这种有
: 特殊含义的符号。你的思路是先定义一个描述形状的参数，由此通过所剩水的体积和水
: 的体积变化给出水面高度和时间的关系的微分表达式，然后积分得到时间对于形状参数
: 的依赖关系。我没有精力验算你的全部推导过程，但这个思路我认为应该是对的，关键
: 是这里参数 s 有多种选法，但选得合适才能得到比较简练的所剩水体积的表达式。

l*******s
发帖数: 7316

在压力分析时忽略上面桶内流动，这样桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。
g为重力加速度，d为水约密度，h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样，均为K。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)

H********g
发帖数: 43926

越来越复杂还是昨天那个略好懂些

【在 l*******s 的大作中提到】

: 在压力分析时忽略上面桶内流动，这样桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。
: g为重力加速度，d为水约密度，h为桶内水面高度。
: 而桶外的压力为1大气压。所以小孔内外的压差为gdh.
: 如果三桶的小孔阻压系数一样，均为K。
: 则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
: v=sqrt(2gh/K)

l*******s
发帖数: 7316

因为想给s一个明确的定义。

【在 H********g 的大作中提到】

: 越来越复杂还是昨天那个略好懂些

l*******s
发帖数: 7316

另外也换成了流速平方跟压差成正比，而不是流速跟压差成正比。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 因为想给s一个明确的定义。

l*******s
发帖数: 7316

这些公式都是我自己推的，没借助mathematica. 慢还容易出错。

H********g
发帖数: 43926

能不能直接搞一个通用的单调函数，不依赖任何特定的流速-压强关系。这样的结果更
有普遍意义（因为现实里流体被各种阻碍就得到这种关系）。也就是说只要流速和压强
存在正相关就得到同样的结论。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 另外也换成了流速平方跟压差成正比，而不是流速跟压差成正比。

l*******s
发帖数: 7316

定性的说明，在另一个帖子的回帖里

【在 H********g 的大作中提到】

: 能不能直接搞一个通用的单调函数，不依赖任何特定的流速-压强关系。这样的结果更
: 有普遍意义（因为现实里流体被各种阻碍就得到这种关系）。也就是说只要流速和压强
: 存在正相关就得到同样的结论。

l*******s
发帖数: 7316

拷贝到主贴里了。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 定性的说明，在另一个帖子的回帖里

r****z
发帖数: 12020

这次步骤清楚多了，虽然我顾不过来验证每一步的数学推导（我总体上比较 trust 你
的推导）了。这题的一点点物理就是判断能否使用 rbs 给的关系式，其它其实就是数
学了。你的定性解释，有一个关键是 A 液面有高的时候，所以总体上 C 平均流速快这
个说法并不严格。这个定性解释也可以有不涉及公式的严格证明，思路是当 C 的液面
降到和 A 持平时候，将 C 和 A 的一部分比较，通过 C 快于 A 的一部分，而 A 的一
部分快于 A 的整体来定性证明。这里如何选取这个 A 的一部分就相当于几何里的添加
辅助线，相当关键。

【在 l*******s 的大作中提到】

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t******l
发帖数: 10908

我在父母版有证明，我拷贝过来就是了。

：能不能直接搞一个通用的单调函数，不依赖任何特定的流速-压强关系。这样的结果更
：有普遍意义（因为现实里流体被各种阻碍就得到这种关系）。也就是说只要流速和压
强存在正相关就得到同样的结论。

l*******s
发帖数: 7316

在C的液面低于A之前，C的流速都大于A，所以C中剩余的水远少于A。
当C的液面赶上A时， C和A有相同的高度，相同的流速。后面那个液面下降得快，应该
很少争议。

【在 r****z 的大作中提到】

: 这次步骤清楚多了，虽然我顾不过来验证每一步的数学推导（我总体上比较 trust 你
: 的推导）了。这题的一点点物理就是判断能否使用 rbs 给的关系式，其它其实就是数
: 学了。你的定性解释，有一个关键是 A 液面有高的时候，所以总体上 C 平均流速快这
: 个说法并不严格。这个定性解释也可以有不涉及公式的严格证明，思路是当 C 的液面
: 降到和 A 持平时候，将 C 和 A 的一部分比较，通过 C 快于 A 的一部分，而 A 的一
: 部分快于 A 的整体来定性证明。这里如何选取这个 A 的一部分就相当于几何里的添加
: 辅助线，相当关键。

t******l
发帖数: 10908

老邢这个破 app 狠难 copy paste。我改成转贴过来。

：我在父母版有证明，我拷贝过来就是了。
：

t******l
发帖数: 10908

另外我把相同体积时，C 杯液面高度最高的证明也转过来了，转了两贴，一起看。

：老邢这个破 app 狠难 copy paste。我改成转贴过来。
：

n****4
发帖数: 12553

你们弄了这么久，写了这么多算式，不知道三桶问题是无解的么，是混沌的起源么。

t******l
发帖数: 10908

错了，三捅问题是 convex 思想的起源，无论大大小小还是粘滞与否，都是 C。

：你们弄了这么久，写了这么多算式，不知道三桶问题是无解的么，是混沌的起源么。

l*******s
发帖数: 7316

我早说过了无论大大小小还是粘滞与否，都是 C。
因为C-cup最好看

【在 t******l 的大作中提到】

: 错了，三捅问题是 convex 思想的起源，无论大大小小还是粘滞与否，都是 C。
:
: ：你们弄了这么久，写了这么多算式，不知道三桶问题是无解的么，是混沌的起源么。

t******l
发帖数: 10908

属实

：我早说过了无论大大小小还是粘滞与否，都是 C。
：因为C-cup最好看

x***1
发帖数: 999

不用这么复杂。
设高h0，上表面半径r1，下表面半径r2，圆柱半径为r^2=(r1^2+r2^2+r1r2)/3, let a=
(r2-r1)/h0
当液面处于h高度时，有:
A: dv=Pi*(r1^2+a^2(h0-h)^2+2r1(h0-h)a)dh
B: dv=Pi*r^2dh
C: dv=Pi*(r1^2+h^2a^2+2r1a)
上楼说的：dv/dt＝Ah^0.5
有：
A:f1(ho)-(2r1^2+4r1a+2h0^2a^2)h^0.5+0.4h^2.5a^2-(4/3r1a+4/3h0a^2)h^1.5=Ct
B: 2r^2(h0^0.5-h^0.5)=CT
C：f2(h0)-(2r1^2h^0.5+4/3*h^1.5a+0.4h^2.5a^2)=Ct
如果r1=1,r2=2,ho=1,如下图：

【在 l*******s 的大作中提到】

t******l
发帖数: 10908

这么多符号没法心算吧。。。当然算 dV 的思考方向应该是狠简洁的。

：不用这么复杂。
：

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x***1
发帖数: 999

如果估算，你需要担心是那个反转点，有没有一种可能，C还没有追上A，A中水已经流
完了？

【在 t******l 的大作中提到】

: 这么多符号没法心算吧。。。当然算 dV 的思考方向应该是狠简洁的。
:
: ：不用这么复杂。
: ：

l*******s
发帖数: 7316

不可能，C追上A之前，C的流速一直都比A大。C还没流完，A一定不会流完。

【在 x***1 的大作中提到】

: 如果估算，你需要担心是那个反转点，有没有一种可能，C还没有追上A，A中水已经流
: 完了？

t******l
发帖数: 10908

你没看我的估算，我的估算根本不是在“等时间点赛跑高速摄影”的角度估算的，根本
没有所谓 “反转点” 的概念。我把估算第一部分 copy & paste 过来如下：
【以下文字转载自 Parenting 讨论区】
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标题: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Mar 22 15:08:25 2017, 美东)
简单小结就是：
对于相同的体积时，C 的液面高度一定比 B 高。
因此对于相同的体积时，C 的流速一定比 B 快。
于是从满杯到空杯，使用同样的 delta-V 步长，对 B 和 C 都做的一层层切面，按相
同体积一一对应（映射）。
因为在相同体积时，C 的流速一定比 B 快，所以任意相对应的（等体积对应）相邻两
切面之间的时间间隔，C 一定比 B 小。
把所有时间间隔加起来求总时间，C 的总时间一定比 B 小。
：如果估算，你需要担心是那个反转点，有没有一种可能，C还没有追上A，A中水已经流
：完了？

x***1
发帖数: 999

有个滞后，也就是说C的横截面积一旦小于A的横截面积，C的速度相对于A开始减小，如
果还没有追上，A的速度较C大，A先流完。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 不可能，C追上A之前，C的流速一直都比A大。C还没流完，A一定不会流完。

t******l
发帖数: 10908

在这个证明里，用到 “在相同体积时， C 的液面高度最高。”。。。对于这个的心算
证明我也 copy paste 过来如下：
【以下文字转载自 Parenting 讨论区】
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标题: Re: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 17:50:42 2017, 美东)
更强的情况，也就是只要杯子 C 的横切面的面积是高度的递增函数，这个题目就成立
。这么证明：
杯子的 “横切面积对于高度的函数”，是杯子的 “体积对于高度的函数” 的一阶导
数。
所以如果杯子的横切面积是高度的递增函数，那么该杯子的 “体积对于高度的函数的
一阶导数” 是一个递增函数。
而上面也就是说，该杯子的 “体积对于高度的函数的二阶导数” 是一个正实数。
（因为一开始体积和高度相同，最后放完了体积和高度都是零，也相同）然后又回到
“正曲率/无拐点的曲线” 跟 “直线” 相割的情况，或者回到 convex曲线跟直线
相割。而最终证明相同体积时，C 杯的液面高度最高。
：你没看我的估算，我的估算根本不是在“等时间点赛跑高速摄影”的角度估算的，根
本没有所谓 “反转点” 的概念。我把估算第一部分 copy & paste 过来如下：

t******l
发帖数: 10908

前面这两个加起来，就心算 QED 了。而且所需要的题目条件，只需要下面这两个更宽
的条件即可：
（1）小孔流速是杯底压强的单调递增函数。
（2）C 杯截面积是该截面高度的单调递增函数。

：在这个证明里，用到 “在相同体积时， C 的液面高度最高。”。。。对于这个的心
算证明我也 copy paste 过来如下：
：

x***1
发帖数: 999

”对于相同的体积时，C 的液面高度一定比 B 高“，不一定，取决于横截面积。

【在 t******l 的大作中提到】

: 你没看我的估算，我的估算根本不是在“等时间点赛跑高速摄影”的角度估算的，根本
: 没有所谓 “反转点” 的概念。我把估算第一部分 copy & paste 过来如下：
: 【以下文字转载自 Parenting 讨论区】
: 发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
: 标题: 来道物理题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Wed Mar 22 15:08:25 2017, 美东)
: 简单小结就是：
: 对于相同的体积时，C 的液面高度一定比 B 高。
: 因此对于相同的体积时，C 的流速一定比 B 快。
: 于是从满杯到空杯，使用同样的 delta-V 步长，对 B 和 C 都做的一层层切面，按相

x***1
发帖数: 999

也就是说，如果C一直最高，C就是最后一个流干的，和结论完全相反。

【在 x***1 的大作中提到】

: ”对于相同的体积时，C 的液面高度一定比 B 高“，不一定，取决于横截面积。

x***1
发帖数: 999

看图，在拐点之前，C一直最高。

【在 x***1 的大作中提到】

: 也就是说，如果C一直最高，C就是最后一个流干的，和结论完全相反。

t******l
发帖数: 10908

我前面证明了。前面是证明细节，我这里写一下证明思路便于理解。
这个证明思路，是观察体积和液面高度的函数关系。
对于 B 杯，体积和液面高度的函数关系是一条直线。
对于 C 杯，体积和液面高度是一条连续的 convex 曲线（因为二阶导数是一个正实数
）。
而 B 杯和 C 杯的体积-液面高度曲线，存在两个交点。一个是初始点，高度和液面
体积都相同，一个放完点，体积和液面高度都是零。。。这样就形成直线和 convex
曲线相割的情况，前面两个交点就是相割点，这样就不存在第三个交点，而在两割点内
，该 convex 曲线永远在直线的右下方。QED。

：”对于相同的体积时，C 的液面高度一定比 B 高“，不一定，取决于横截面积。
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

相关主题
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● 学术版已经没有搞流体的了么
● how much for one night
● 求翻译。。。在线等 (转载)
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t******l
发帖数: 10908

你的图的横轴是 t，我前面心算证明 “相同体积时，C 的液面高度最高” 是用的 V-h
图，横轴是高度，纵轴是体积。。。时间在这里不存在，没有过去，无所谓将来。也
可以算是小学追击问题，但区别是不在时间轴上追击。

：看图，在拐点之前，C一直最高。
：【在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】

x***1
发帖数: 999

convex曲线没错，但交点在哪儿不确定。

convex

【在 t******l 的大作中提到】

: 我前面证明了。前面是证明细节，我这里写一下证明思路便于理解。
: 这个证明思路，是观察体积和液面高度的函数关系。
: 对于 B 杯，体积和液面高度的函数关系是一条直线。
: 对于 C 杯，体积和液面高度是一条连续的 convex 曲线（因为二阶导数是一个正实数
: ）。
: 而 B 杯和 C 杯的体积-液面高度曲线，存在两个交点。一个是初始点，高度和液面
: 体积都相同，一个放完点，体积和液面高度都是零。。。这样就形成直线和 convex
: 曲线相割的情况，前面两个交点就是相割点，这样就不存在第三个交点，而在两割点内
: ，该 convex 曲线永远在直线的右下方。QED。
:

t******l
发帖数: 10908

其实在证明 “在相同体积时， C 的液面高度最高。” 之后, 可以用微积分的写法继
续写证明(跟前面小学语文写法等价). 我把这个也 copy paste 过来如下:
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标题: Re: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 19:35:02 2017, 美东)
其实也可以直接可以用微积分的表述来写证明。继续如下：
前面证明了相同体积时，C 杯的液面高度最高。
也就是证明了 “液面高度=>体积” 函数，C 杯最大（在任何一个对应的相等的体积点
，C 杯液面高度最大）。
因为液面越高，流速越高。所以对于 “流速=>体积” 函数，C 杯最大。
而流速的定义是 “d(体积)/d(时间)”，所以上面的式子就是，对于 “(d(体积)/d(时
间)) => 体积” 函数，C 杯在任何一点对大。
因为流速都是正实数，对于流速求倒数（也就是 “d(时间)/d(体积)” ），得到对于
“(d(时间)/d(体积)) => 体积” 函数，C 杯最小。
这样对体积进行定积分一次，得到 C 杯的总时间最小，也就是最先流光。QED。

【在 t******l 的大作中提到】

: 在这个证明里，用到 “在相同体积时， C 的液面高度最高。”。。。对于这个的心算
: 证明我也 copy paste 过来如下：
: 【以下文字转载自 Parenting 讨论区】
: 发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
: 标题: Re: 来道物理题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 17:50:42 2017, 美东)
: 更强的情况，也就是只要杯子 C 的横切面的面积是高度的递增函数，这个题目就成立
: 。这么证明：
: 杯子的 “横切面积对于高度的函数”，是杯子的 “体积对于高度的函数” 的一阶导
: 数。

t******l
发帖数: 10908

高中解析几何说: V-h 曲线的交点, 就是对于 B 和 C, V 和 h 都相等的点.
所以 V=0, h=0 是第一个交点.
然后如果初始时的高度是 h0, 初始是的体积是 V0, 那么 V=V0, h=h0 是第二个交点.
这玩意儿非常显而易见, 高中解析几何的前导课程. 这里思考的关键是要忘掉时间轴,
时间不存在. 否则时间轴总是会过来干扰人的解析几何直觉.

【在 x***1 的大作中提到】

: convex曲线没错，但交点在哪儿不确定。
:
: convex

x***1
发帖数: 999

这样吧，你说哪个最先流到一半高度？

【在 t******l 的大作中提到】

: 其实在证明 “在相同体积时， C 的液面高度最高。” 之后, 可以用微积分的写法继
: 续写证明(跟前面小学语文写法等价). 我把这个也 copy paste 过来如下:
: 发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
: 标题: Re: 来道物理题
: 发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 19:35:02 2017, 美东)
: 其实也可以直接可以用微积分的表述来写证明。继续如下：
: 前面证明了相同体积时，C 杯的液面高度最高。
: 也就是证明了 “液面高度=>体积” 函数，C 杯最大（在任何一个对应的相等的体积点
: ，C 杯液面高度最大）。
: 因为液面越高，流速越高。所以对于 “流速=>体积” 函数，C 杯最大。

t******l
发帖数: 10908

另外如果从小学语文表述来看, 你看写的时候, 总是说 "初始时".
这个"时"就是语文对数学的干扰... 因为对于这题而言, 这个 V0 h0 是指 "初始条件"
, 这个并不一定是要约束在时间轴上的初始条件... 也就是说, 实际上是 "初始点" 而
不是 "初始时", 而这个 "初始点" 的 "点", 不要看成空间上的 "点", 而是 V-h 平面
上的一个点... 而该 V-h 平面, 是 V-h-t 时空连续统里的一个切面.

,

【在 t******l 的大作中提到】

: 高中解析几何说: V-h 曲线的交点, 就是对于 B 和 C, V 和 h 都相等的点.
: 所以 V=0, h=0 是第一个交点.
: 然后如果初始时的高度是 h0, 初始是的体积是 V0, 那么 V=V0, h=h0 是第二个交点.
: 这玩意儿非常显而易见, 高中解析几何的前导课程. 这里思考的关键是要忘掉时间轴,
: 时间不存在. 否则时间轴总是会过来干扰人的解析几何直觉.

l*******s
发帖数: 7316

你仔细看看我的回帖。
在A比C先流完之前，A是不是需要有段时间通过小孔的流速大于C呢？
C还没赶上A之前，A的小孔中的流速会在什么时候会大于C呢？

【在 x***1 的大作中提到】

: 有个滞后，也就是说C的横截面积一旦小于A的横截面积，C的速度相对于A开始减小，如
: 果还没有追上，A的速度较C大，A先流完。

t******l
发帖数: 10908

我不知道谁先流到一半高度, 但我还是能证明. 因为我知道谁先流到一半体积(C 先到).
或者我这么说, 你没有在概念上理解我的证明的 proof path. 在概念上, 我的证明是
基于从 V-h-t 时空连续统的角度看, 然后保持不等号在证明区间里不变.
具体而言, 这整个过程发生在 V-h-t 时空连续统里面.
而流速 v 是 dV/dt, 也就是体积对时间的微分.
在 V-h 切面, V 和 h 存在不等号(对于相同的 h, V_C 永远大于等于 V_B).
在 v-h 切面, 也就是 dV/dt 对 h 的切面, 存在单调性. 也就是 h 越大, dV/dt (流
速)就越大 (BTW: 这个切面是一阶导数空间上的切面).
而因为不等号的传递性, 可证明对于相同的 V, dV_C/dt 永远大于 dV_B/dt.
然后因为正实数的倒数的不等号关系 (1/x, x>0), 可以知道对于相同的 V, dt/dV_C
永远小于 dt/dV_B.
然后这里反过来, 不是体积对时间的积分, 而是时间对体积的积分. (不就是黑洞和白
洞互为时间反演一下么?). 而体积的积分区间相同, 时间的积分就是总时间, 所以就
QED.

【在 x***1 的大作中提到】

: 这样吧，你说哪个最先流到一半高度？

x***1
发帖数: 999

在赶上A之前，过了一半高度，C的速度减少就会多于A的速度的减少，有一种情况是：C
还没有赶上A，A的流速就大于C了。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 你仔细看看我的回帖。
: 在A比C先流完之前，A是不是需要有段时间通过小孔的流速大于C呢？
: C还没赶上A之前，A的小孔中的流速会在什么时候会大于C呢？

l*******s
发帖数: 7316

我说的流速是小孔流速。不是液面下降的速度。

：C

【在 x***1 的大作中提到】

: 在赶上A之前，过了一半高度，C的速度减少就会多于A的速度的减少，有一种情况是：C
: 还没有赶上A，A的流速就大于C了。

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t******l
发帖数: 10908

对称宇宙论
另一半的时间和空间
一个相反的世界
无法逾越
唯有的连接
是一对对的奇点
黑洞一边白洞一边
互为 -- 时间反演
而穿越的物质
被洗去了过去的一切
没有例外
只要 -- 穿过藐视物理定律的奇点
我不要喝了孟婆汤的感觉
于是徘徊在黑洞的视界
看心的碎片 -- 消逝
明知心绪越不过奇点
无人诉说落寞的心弦
于是徘徊在白洞的视界
看炙热的物质 -- 迸发
却成为毫无意义的星星点点

l*******s
发帖数: 7316

小孔流速跟水位正相关。水位越高，流速越大。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 我说的流速是小孔流速。不是液面下降的速度。
:
: ：C

l*******s
发帖数: 7316

你知道流速交叉的地方也是水位交叉的地方吗？

【在 x***1 的大作中提到】

: 在赶上A之前，过了一半高度，C的速度减少就会多于A的速度的减少，有一种情况是：C
: 还没有赶上A，A的流速就大于C了。

x***1
发帖数: 999

我一直以为，在拐点后，C的流速应该不会比A小，实际是C的流速小但剩余的体积小，
所以时间短。

【在 x***1 的大作中提到】

: 在赶上A之前，过了一半高度，C的速度减少就会多于A的速度的减少，有一种情况是：C
: 还没有赶上A，A的流速就大于C了。

x***1
发帖数: 999

不见得

【在 l*******s 的大作中提到】

: 你知道流速交叉的地方也是水位交叉的地方吗？

t******l
发帖数: 10908

你的所有的 2-D 图里面都有那个时间轴。
但这题里面，体积和流速和高度，不是完全独立变量。你得摆脱时间轴的限制。。。如
果一定要 plot 出来看的话，你先 plot 一下 V-h-t 的 3D plot，然后把那张 plot
对时间偏微分一次，得到 v-h-t 的 3D plot，然后两张 plot 对着一起看。

：看看流速和时间关系图：

t******l
发帖数: 10908

流速相等的话，水位一定相等。。。因为流速是水位的单调递增函数。

：不见得
：【在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】

x***1
发帖数: 999

画个2D都快累死人了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 你的所有的 2-D 图里面都有那个时间轴。
: 但这题里面，体积和流速和高度，不是完全独立变量。你得摆脱时间轴的限制。。。如
: 果一定要 plot 出来看的话，你先 plot 一下 V-h-t 的 3D plot，然后把那张 plot
: 对时间偏微分一次，得到 v-h-t 的 3D plot，然后两张 plot 对着一起看。
:
: ：看看流速和时间关系图：

t******l
发帖数: 10908

这说明为啥马工行当需要人脑，目前还是人脑比电脑聪明。。。人脑当然无法把这种维
度的每一个点都 plot 一下，但是佳能无敌兔电脑不管咔嚓几个 million 点，但一直
都还是脸盲没跑不是？

：画个2D都快累死人了。
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

l*******s
发帖数: 7316

我只是问你知道不知道。

【在 x***1 的大作中提到】

: 不见得

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x***1
发帖数: 999

对，流速一样，水位一定相等

【在 t******l 的大作中提到】

: 流速相等的话，水位一定相等。。。因为流速是水位的单调递增函数。
:
: ：不见得
: ：【在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】

x***1
发帖数: 999

也就是说，存在有一点，相同时间，相同水位，相通的流速。

【在 x***1 的大作中提到】

: 对，流速一样，水位一定相等

t******l
发帖数: 10908

属实。
但我说的是 B 和 C 在体积-液面高度（ V-h ）切面图上无交点（除了起始点和结束
点）。这跟你说的不矛盾啊。因为我这个上面没有时间轴的，你要按日常经验想象的话
，也得想象在一个时间不存在的世界里过日子的日常经验。
另外你们为啥这么喜欢拐来拐去的点嘛。。。求证不等式不是 convex 更简单直接不是？

：也就是说，存在有一点，相同时间，相同水位，相通的流速。
：【在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】

t******l
发帖数: 10908

接下来就是 B 和 C 在体积 - 流速（ V - v ) 图上无交点。
因为流速 v 是体积 V 对时间 t 的偏微分，所以这个就是 B 和 C 在 “(dV/dt) 对于
V” 的图上没有交点，于是得出对于 B 和 C 在 “(dV/dt) 对于 V” 的切面图上的
不等式关系。
然后你从（对时间的）偏微分空间转回正常空间，时间轴 t 就自动又跳出来了（我为
啥说 “又” 呢？）。这个转换只要积分一次即可。唯一的技术 trick 就是反过来，
用时间对空间（V）进行积分，求总时间的不等式关系。。。或者通俗的说就是：把时
间轴当 y 轴，而不是通常的把时间轴当 x 轴的做法。

：属实。

l*******s
发帖数: 7316

【在 l*******s 的大作中提到】

x***1
发帖数: 999

非常好的结果，只是在开始求体积V(h)时，分母是3.

【在 l*******s 的大作中提到】

x***1
发帖数: 999

你用整个水的体积对高度求导，我用dh高度的体积，结果一摸一样。

【在 l*******s 的大作中提到】

l*******s
发帖数: 7316

分母是3, 有什么问题吗？

【在 x***1 的大作中提到】

: 非常好的结果，只是在开始求体积V(h)时，分母是3.

x***1
发帖数: 999

没啥问题。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 分母是3, 有什么问题吗？

r****z
发帖数: 12020

谢谢更新。这次的参数 gamma 和我最初推导时候的参数选择一致，所以我得到的体积
公式和你的一样，再往后我就没时间折腾积分了。
这个详细推导虽然对这道题有些“大材小用”，但却适合扩展到一般情形。比如如果形
状 A 改成原来的 C 和 A 上下相接，B 改成原来高度两倍，C 改成原来的 C上面摞
个原来的 A，定性上就难判断得多，不计算恐怕不行了。

【在 l*******s 的大作中提到】

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H********g
发帖数: 43926

牛叉

【在 l*******s 的大作中提到】

H********g
发帖数: 43926

可以扩大到倒锥体（漏斗）的情况么

【在 l*******s 的大作中提到】

H********g
发帖数: 43926

哦 gamma无穷大的时候就是漏斗 gamma是-1的时候就是椎体
所以跟柱体需要的时间比漏斗是2/5的时间椎体是1.6倍的时间

【在 l*******s 的大作中提到】

H********g
发帖数: 43926

漏斗还是略有些问题比如A是0
不过似乎把A定义为上顶面积 gamma的定义体积公式也相应改改就可以了

【在 H********g 的大作中提到】

: 哦 gamma无穷大的时候就是漏斗 gamma是-1的时候就是椎体
: 所以跟柱体需要的时间比漏斗是2/5的时间椎体是1.6倍的时间

l*******s
发帖数: 7316

A不是底面积。A是平均面积，也就是柱形桶的底面积。

【在 H********g 的大作中提到】

: 漏斗还是略有些问题比如A是0
: 不过似乎把A定义为上顶面积 gamma的定义体积公式也相应改改就可以了

l*******s
发帖数: 7316

漏斗是3/5

【在 H********g 的大作中提到】

: 哦 gamma无穷大的时候就是漏斗 gamma是-1的时候就是椎体
: 所以跟柱体需要的时间比漏斗是2/5的时间椎体是1.6倍的时间

H********g
发帖数: 43926

哦最好加一句A=V/H 说明A是相当于同体积同高圆柱的底面积（我原来以为这些推
导脱离了同体积同高的假设）不然从你对R的定义方法很容易把A误解成底面积（
如果没仔细看体积公式）

【在 l*******s 的大作中提到】

: A不是底面积。A是平均面积，也就是柱形桶的底面积。

H********g
发帖数: 43926

哦对

【在 l*******s 的大作中提到】

: 漏斗是3/5

t******l
发帖数: 10908

圆锥梯形总能得到解析解，说明如下：
其实圆锥梯形的截面积跟高度是一个最高指数为二次的多项式。
在该高度下，小孔的流速（不是速度是流速），根据博努力型高中物理势能转化为动能
，其结果是：把该高度的截面积（高度的二次函数），除以小孔面积（常数），乘以
sqrt(2*g*h）。。。所得到的是半整数指数的多项式，最高指数为 5/2。
把上面求得的小孔流速对于高度的函数，对高度不定积分一次，得到一个半整数指数的
多项式，最高指数为 7/2。
而小孔流速对高度的定积分，就是前面不定积分得到的多项式求 h=杯子高度和 h=0
的差，得到一个杯子高度的半整数指数的多项式，最高指数还是 7/2。
而该定积分等于总容积（常数）除以总时间。所以总时间等于总容积除以前面那个对于
杯子总高度的半整数指数的多项式。。。所以总能得到解析解。

：
：哦最好加一句A=V/H 说明A是相当于同体积同高圆柱的底面积（我原来以为这些
推导脱离了同体积同高的假设）不然从你对R的定义方法很容易把A误解成底面积（

t******l
发帖数: 10908

100

由此推而广之，对于所有截面积可以写成高度的有限项实数指数多项式的三维形状，都
可以求得解析解。（包括 -3/2 指数，当然这个会出现 -1 指数，然后积分出来 ln(x)
，稍微有点那个啥。）

：圆锥梯形总能得到解析解，说明如下：

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t******l
发帖数: 10908

101

不过我心算也可能有错，如果有错不能保证实数指数多项式 proof path 的话，那就无
法保证回到（closure）两个实数指数多项式相除的解析表达式了（特殊情况有 ln (x)
项）。。。不过这个太费体力了，我懒得复查了。

：圆锥梯形总能得到解析解，说明如下：

r*s
发帖数: 2555

102

今天下午我算的B桶的初时体积比A 和C 大，不符合已知条件，现修改如下
A: Rtop=5cm, Rbottom=10cm, r=1cm, h=10cm
C: Rtop=10cm, Rbottom=5cm, r=1cm, h=10cm

初时体积=pi*(Rtop^2+Rtop*Rbottom+Rbottom^2)*h/3=1832.6 cm^3
B 初时体积 =pi*R^2*h=1832.6 cm^3
B：R=(1832.6/(pi*h))^1/2=7.6376cm, r=1cm, h=10cm
如果这样，B最后追上A提前流光

x)

【在 t******l 的大作中提到】

: 不过我心算也可能有错，如果有错不能保证实数指数多项式 proof path 的话，那就无
: 法保证回到（closure）两个实数指数多项式相除的解析表达式了（特殊情况有 ln (x)
: 项）。。。不过这个太费体力了，我懒得复查了。
:
: ：圆锥梯形总能得到解析解，说明如下：

t******l
发帖数: 10908

103

我刚才心算了一下。。。因为现在的物理模型是博努力或者博努力伞下的高中物理能量
守恒版，那么该模型下，流速不再是高度的单调函数，而是正比于 “高度的根号” 乘
以 “该高度下的面积”。。。这样由于我在父母版先前假设的流速对于高度的函数的
单调性不再存在（因为新的更符合实际的物理模型），所以我之前在父母版的心算证明
C 最快也不再正确，虽然其数学证明部分没错。
但这个还是有可能心算证明哪个更快以及最快。。。原因是 “截面积对高度”的定积
分是一个常数，杯子高度也是一个常数，而 “截面积乘以高度的根号”的定积分
最大的时候，最快流光。。。所以理论上存在一种形状，流的最快。。。这个具体函数
甚至有可能可以换元积分心算求得解析式。。。我得先对付娃娃，待会儿试试。

：今天下午我算的B桶的初时体积比A 和C 大，不符合已知条件，现修改如下

t******l
发帖数: 10908

104

但这样心算的话，还是应该上大下小更快。。。因为截面积按高度积分是常数，而如果
把更多的量放在更高的地方，更多地被乘号放大，这样积分更大。。。当然可能我前面
的计算还有错。。。先去对付娃娃。。。

：我刚才心算了一下。。。因为现在的物理模型是博努力或者博努力伞下的高中物理能
量守恒版，那么该模型下，流速不再是高度的单调函数，而是正比于 “高度的根号”
乘以 “该高度下的面积”。。。这样由于我在父母版先前假设的流速对于高度的函数
的单调性不再存在（因为新的更符合实际的物理模型），所以我之前在父母版的心算证
明 C 最快也不再正确，虽然其数学证明部分没错。
：

r*s
发帖数: 2555

105

我不这么认为，桶里的水面下降速度U是下面小孔流速vx(r/R)^2, 如果上大下小，初时
的U会很小

”

【在 t******l 的大作中提到】

: 但这样心算的话，还是应该上大下小更快。。。因为截面积按高度积分是常数，而如果
: 把更多的量放在更高的地方，更多地被乘号放大，这样积分更大。。。当然可能我前面
: 的计算还有错。。。先去对付娃娃。。。
:
: ：我刚才心算了一下。。。因为现在的物理模型是博努力或者博努力伞下的高中物理能
: 量守恒版，那么该模型下，流速不再是高度的单调函数，而是正比于 “高度的根号”
: 乘以 “该高度下的面积”。。。这样由于我在父母版先前假设的流速对于高度的函数
: 的单调性不再存在（因为新的更符合实际的物理模型），所以我之前在父母版的心算证
: 明 C 最快也不再正确，虽然其数学证明部分没错。
: ：

t******l
发帖数: 10908

106

我算一下，假设小孔的面积为 s（常量），高度为 h，（该高度下）液面的面积为 S(h
)（为高度的函数），小孔流出的水的速度（不是流速）为 v。。。那么根据势能转动
能，得：
g*h = (1/2)*(v^2)
化简一下：
sqrt(2*g*h) = v
由体积守恒，得：v = (S(h)/s) * (dh/dt)
所以 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h)
你是对的，高度相对时间的下降率，正比于高度的根号除以该高度下的截面积。。
。我前面两个心算都有错。

：我不这么认为，桶里的水面下降速度U是下面小孔流速vx(r/R)^2, 如果上大下小，初
时的U会很小

t******l
发帖数: 10908

107

继续心算，由前面的 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h)，两边求倒数，得：
dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))
把这个从 0 到 h 求定积分，得到总时间。
其中的体积相同的题目条件，数学上就是把 S(h) 对 0 到 h 求定积分，是总体积，三
个杯子相同。

：我算一下，假设小孔的面积为 s（常量），高度为 h，（该高度下）液面的面积为 S
(h)（为高度的函数），小孔流出的水的速度（不是流速）为 v。。。那么根据势能转
动能，得：

t******l
发帖数: 10908

108

所以从这个公式看
dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))
在 S(h) 对 h 的总积分一定的条件下，如果把更多的面积放在上边，那积分得到总时
间时，会更多的除以更大的 sqrt(h)，那样的话总积分更小，也就是总时间更短。
也就是说，还是上大下小的 C 最快流完。

：继续心算，由前面的 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h)，两边求倒数，得：

t******l
发帖数: 10908

109

其实把下面这个式子，对 h 变量求定积分（从 h = 0 到 h = H 杯子高度的范围）就
能得到对所有杯子形状的通解。
dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))
其中变量/常量定义如下：
h ：高度变量，范围从 0 到杯子高度 H。
S(h)：杯子截面积对于高度的函数，对于给定的杯子是已知函数。。。实际上就是杯子
形状的数学表述。
s：杯底小孔面积，对给定的漏水杯子是常量。
g：重力加速度，常量。
而其中物理建模的假设如下：
1. 稳流，准稳态过程。
2. 小孔面积相对杯子截面积足够小，这样杯中水的动能忽略不计。。。粗略估算：小
孔面积小于杯子截面积的 1/25 ，差不多这样的量级。。。否则可能有动能误差和对流
误差，导致实际时间比理论计算的更短。
3. 小孔面积相对水分子尺寸足够大，这样水的粘滞阻力忽略不计。。。粗略实验估计
是：小孔直径要大于 1 cm。。。否则有粘滞阻力误差，导致实际时间比理论计算的更
长。

：所以从这个公式看

t******l
发帖数: 10908

110

而从以下这个式子，也能推断是不是容易得到解析解，具体而言：
dt/dh = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h))
因为把该式子对于 h 求定积分就得到总时间，所以如果在式子里的 S(h) 是 closed
form expression（也就是杯子形状存在解析表达
式）的前提下，只要 (S(h)/sqrt(h)) 对于变量 h 的不定积分能写成 closed form
expression，那么就存在解析解。
那从这个很容易看出，如果 S(h) 能写成对于高度的实数指数的准多项式，那就一定存
在解析解。
而对于杯子形状是旋转对称的情况下，那只要杯子侧边曲线能写成对于高度的实数指数
的准多项式，那就一定存在解析解。
其他的杯子形状函数的情况是不是存在解析解，要具体情况来看，但总体概念原则不变。
QED

：其实把下面这个式子，对于 h 变量定积分（从 h = 0 到 h = H 杯子高度的范围）
就能得到对所有杯子形状的通解。

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r*s
发帖数: 2555

111

let's call the initial water height in the vessel H, initial top radius R1,
bottom radius R2, hole radius r
at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U, radius
is R,
flow velocity passing the hole is v
U=(2gh)^(1/2)*(r/R)^2
For C vessel
R=R1-(H-h)(R1-R2)/H
U=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2
U=-dh/dt
-dh/dt=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2

t******l
发帖数: 10908

112

你这个跟我好像是一样的，只是你写成 dh/dt。。。我是反过来写成 dt/dh，这样可以
对 h 定积分就得总时间。。。仅仅是数学上的差别好像。

：let's call the initial water height in the vessel H, initial top
radius R1, bottom radius R2, hole radius r
：at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U,
radius is R,

t******l
发帖数: 10908

113

我写成 dt/dh 更多是考虑物理图景上直观一些（时空反转后，沿空间轴积分得时间轴
）。。。如果走严格数学解常微分方程的话，这个是典型的变量分离法心算一阶常微分
方程。。。也就是写成下面的形式：
dt = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h)) * dh
然后左边对变量 t 不定积分，右边对变量 h 不定积分，而求解。
那么结果不一致的分歧，看起来是在数学部分而不是物理部分，估计谁有一个心算计算
错误。。。

：你这个跟我好像是一样的，只是你写成 dh/dt。。。我是反过来写成 dt/dh，这样可
以对 h 定积分就得总时间。。。仅仅是数学上的差别好像。

t******l
发帖数: 10908

114

如果有人是用数字积分器，或者数值解微分方程的话，取决于具体的实现时的表达式形
式，要保证该表达式的形式里不出现 1/h 或者 1/sqrt(h) 之类的（一般通过代数变形
避免，实在不行的话考虑换元），否则可能产生函数的 computational condition 太
差（接近被零除，而导致数值积分时出现很大的 floating point round off error）
，而导致数值积分计算误差不可接受。
dt = (1 / (s * sqrt(2*g))) * (S(h)/sqrt(h)) * dh

：我写成 dt/dh 更多是考虑物理图景上直观一些（时空反转后，沿空间轴积分得时间
轴）。。。如果走严格数学解常微分方程的话，这个是典型的变量分离解一阶常微分方
程。。。也就是写成下面的形式：

x***1
发帖数: 999

115

赞，简练。
和楼主的结果一摸一样。按照这个参数：R1=2,R2=1,H=1, 替他均为常数，包括小孔r。
用水面的流速做，巧，简练，
用小孔的流量做，实际上把近似提高到了和水面流速一个级别，直观但麻烦。

,
radius

【在 r*s 的大作中提到】

: let's call the initial water height in the vessel H, initial top radius R1,
: bottom radius R2, hole radius r
: at a given time, water height in the vessel is h, flow velocity is U, radius
: is R,
: flow velocity passing the hole is v
: U=(2gh)^(1/2)*(r/R)^2
: For C vessel
: R=R1-(H-h)(R1-R2)/H
: U=(2gh)^(1/2){r/[R1-(H-h)(R1-R2)/H]}^2
: U=-dh/dt

x***1
发帖数: 999

116

你的能量守恒，少了一项水上面的运动，实际上就是伯努利方程：
g*h=1/2v^2+1/2u^2
恭喜，离伯努利只差一步。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我算一下，假设小孔的面积为 s（常量），高度为 h，（该高度下）液面的面积为 S(h
: )（为高度的函数），小孔流出的水的速度（不是流速）为 v。。。那么根据势能转动
: 能，得：
: g*h = (1/2)*(v^2)
: 化简一下：
: sqrt(2*g*h) = v
: 由体积守恒，得：v = (S(h)/s) * (dh/dt)
: 所以 (dh/dt) = (s/S(h)) * sqrt(2*g*h)
: 你是对的，高度相对时间的下降率，正比于高度的根号除以该高度下的截面积。。
: 。我前面两个心算都有错。

x***1
发帖数: 999

117

对不起，差个符号，应该是：
g*h=1/2v^2－1/2u^2，u指水面下降速度。
但至少，如雷贯耳皓月当空的白努力不是那么可怕了。

【在 x***1 的大作中提到】

: 你的能量守恒，少了一项水上面的运动，实际上就是伯努利方程：
: g*h=1/2v^2+1/2u^2
: 恭喜，离伯努利只差一步。

t******l
发帖数: 10908

118

我前面给了小孔面积不超过杯面或杯底的面积的 1/25 的条件。。。这样小孔的流速是
水面下降速度的至少 25 倍。。。对于圆柱杯而言，刚开始水面最高的时候小孔流速最
高，也就是整个杯子内的水往下的动能最高，之后速度缓缓降低，所以是一个渐变过程
。。。再次因为小孔出水速度，是杯内水的速度的 25 倍，所以整个过程中，杯内水的
动能，不会超过总势能的 1/(25^2) = 1/225。。。这样如果水花了 10 秒流完，那考
虑和不考虑杯中水的动能的模型的差别，估计在 0.1 秒的量级，可以忽略。

：你的能量守恒，少了一项水上面的运动，实际上就是伯努利方程：
：g*h=1/2v^2+1/2u^2

x***1
发帖数: 999

119

对不起，看来你已经知道白努力。
这里面rbs用u不用v，楼主用Pir^2v不用v，全是这个白努力捣乱。实际上都是近似，但
讲究太大了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我前面给了小孔面积不超过杯面或杯底的面积的 1/25 的条件。。。这样小孔的流速是
: 水面下降速度的至少 25 倍。。。对于圆柱杯而言，刚开始水面最高的时候小孔流速最
: 高，也就是整个杯子内的水往下的动能最高，之后速度缓缓降低，所以是一个渐变过程
: 。。。再次因为小孔出水速度，是杯内水的速度的 25 倍，所以整个过程中，杯内水的
: 动能，不会超过总势能的 1/(25^2) = 1/225。。。这样如果水花了 10 秒流完，那考
: 虑和不考虑杯中水的动能的模型的差别，估计在 0.1 秒的量级，可以忽略。
:
: ：你的能量守恒，少了一项水上面的运动，实际上就是伯努利方程：
: ：g*h=1/2v^2+1/2u^2

t******l
发帖数: 10908

120

你觉得楼上 rbs 在 111 楼的模型里，有考虑了杯子里水在流出小孔以前的运动的动能？
另外 rbs 在 111 楼的方程，跟我的方程，其实是等价的。。。当然我一开始也看错了
，特解没有通解直观，也是人之常情。。。

：你的能量守恒，少了一项水上面的运动，实际上就是伯努利方程：
：g*h=1/2v^2+1/2u^2

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x***1
发帖数: 999

121

是，rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。

能？

【在 t******l 的大作中提到】

: 你觉得楼上 rbs 在 111 楼的模型里，有考虑了杯子里水在流出小孔以前的运动的动能？
: 另外 rbs 在 111 楼的方程，跟我的方程，其实是等价的。。。当然我一开始也看错了
: ，特解没有通解直观，也是人之常情。。。
:
: ：你的能量守恒，少了一项水上面的运动，实际上就是伯努利方程：
: ：g*h=1/2v^2+1/2u^2

t******l
发帖数: 10908

122

对不起，看来你已经知道白努力。
这里面rbs用u不用v，楼主用Pir^2v 不用v，全是这个白努力捣乱。实际上都是近似，
但讲究太大了。

t******l
发帖数: 10908

123

势能。。。

：是，rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

t******l
发帖数: 10908

124

当然，引力质量等于惯性质量，导致 mass 的符号 m 在方程两边被约掉，确实容易让
人混淆。。。但是 rbs 在 111 楼的方程里有 g 这个重力加速度符号。。。警察叔叔
说了，如果这一烤肉拉前排坐的两位都叫惯性质量，那这个重力加速度 g 为啥在后座
打酱油？

：是，rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

x***1
发帖数: 999

125

有三个能量，如果忽略内部热耗，你要再忽略水面的运动，你忽略的就太多了，不准了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 势能。。。
:
: ：是，rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
: ：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

x***1
发帖数: 999

126

看来你没有理解白努力。别小瞧打酱油的。
那你这个咋来的？
g*h=1/2v^2.

【在 t******l 的大作中提到】

: 当然，引力质量等于惯性质量，导致 mass 的符号 m 在方程两边被约掉，确实容易让
: 人混淆。。。但是 rbs 在 111 楼的方程里有 g 这个重力加速度符号。。。警察叔叔
: 说了，如果这一烤肉拉前排坐的两位都叫惯性质量，那这个重力加速度 g 为啥在后座
: 打酱油？
:
: ：是，rbs就是用杯子里水在流出小孔以前的运动的动能做的。
: ：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

t******l
发帖数: 10908

127

从 t 到 t + delta-t 的时间段，杯子的水位降低了一点点，而同样质量的这一点点水
从杯子最底部流出。
假设这一点点水的质量为 m，液面高度为 h，杯子底部小孔里流出的水的速度为 v。。
。忽略杯中水的动能变化，由势能转化为动能，得出：
m*g*h = (1/2)*m*(v^2)
由于惯性质量等于引力质量，两边约去 m 得到：
g*h = (1/2)*(v^2)
另外由于理想流体的不可压缩性，也就是体积守恒，得到：
v*s = (dh/dt)*S(h) （其中 s 为小孔面积，S(h) 为液面面积（对于高度的函数））
两式联立，消去 v，得：
sqrt(2*g*h) = (S(h)/s)*(dh/dt)
变量分离准备求解一阶常微分方程，得：
dt = (1/sqrt(2*g*h))*(S(h)/s)*dh
左边对 t 不定积分，右边对 h 不定积分，即可求解。

：看来你没有理解白努力。别小瞧打酱油的。
：那你这个咋来的？
：g*h=1/2v^2.

C*********X
发帖数: 10518

128

你也find a life....
金枪不老，深B特插。。
你不是学物理的，歇歇吧！

【在 t******l 的大作中提到】

: 从 t 到 t + delta-t 的时间段，杯子的水位降低了一点点，而同样质量的这一点点水
: 从杯子最底部流出。
: 假设这一点点水的质量为 m，液面高度为 h，杯子底部小孔里流出的水的速度为 v。。
: 。忽略杯中水的动能变化，由势能转化为动能，得出：
: m*g*h = (1/2)*m*(v^2)
: 由于惯性质量等于引力质量，两边约去 m 得到：
: g*h = (1/2)*(v^2)
: 另外由于理想流体的不可压缩性，也就是体积守恒，得到：
: v*s = (dh/dt)*S(h) （其中 s 为小孔面积，S(h) 为液面面积（对于高度的函数））
: 两式联立，消去 v，得：

x***1
发帖数: 999

129

你这个结果就是楼主的结果。
但，白努力太复杂了。
你看，你第一个能量守恒忽略了水面运动，你第二个体积守恒又算上了水面运动。有问
题。
实际上白努力从欧拉定律而来，用于稳态流速，也就是水流加速度等于0的条件下：
grad v^2-vXcurl v=-grad w
w=SdT+VdP,内能。
三桶问题，水流加速度不等于等于0，白努力不能用。
哎，全白努力了。

【在 t******l 的大作中提到】

t******l
发帖数: 10908

130

其实这边很多中学级别的很多 invitational 级别的 math / physics 的题，我常常就
算看了
提示答案，也还得想上半天，最后还拍案叫绝。。。这常常是高中甚至初中女生的送分
题。。。
说实话，这种智力题，都是山外有山，天外有天，楼外有楼。。。一般人不太参加真正
意义上的学科竞赛，没有切身感受。。。真正意义上的学科竞赛里，就算是底层最最不
得志的范进炮灰，起点也至少是万里挑一，解蓝翔公开课的题目不是砍瓜切菜也不好意
思跟人打招呼（当然偶尔失手或者宝刀生锈也是人之常情）。。。但是真到了真正的学
科竞赛里，遇到十万挑一、百万挑一、千万挑一的，那特么觉得自己就就跟傻子差不多
。。。真心的说。。。

：你也find a life....

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t******l
发帖数: 10908

131

我昨天在万恶的资本家办公楼里做了实验，实验结果贴在隔壁楼。
实验证实，在小孔孔径大于 1 cm，小孔面积小于杯子截面积的 1/25 的时候，不考虑
杯中水的动能版的博努力方程可以用。。。浪费万恶的资本家两个纸杯，四个回形针，
圆珠笔被挪用戳洞两次。。。
我刚才上面还理论说明了那个 1/25。。。不重贴了。

：你这个结果就是楼主的结果。

t******l
发帖数: 10908

132

美帝 F=ma test，以及祖国相应的测试里，不叫博努力测试或者达西测试的原因，不是
说那些人学博努力或者达西比不过大众，也不要一厢情愿觉得那些人解吉米多维奇的能
力比不上大众。。。因为那些测试的本质是 problem solving 智力题，并不是要搞科
研成果，也不是要搞工程通火车。。。所以叫 F=ma test，也就是用最基本的知识，换
取更多的时间可以花在玩 problem solving 有趣的部分。

：你这个结果就是楼主的结果。
：

t******l
发帖数: 10908

133

祖国版 F=ma test 的范进炮灰，的确大部分不去物理系。。。因为虽然很多局外人把
F=ma test 看成物理竞赛，其实本质上是 problem solving 的竞赛，跟物理学关系不
是那么大。。。所需要的物理学知识还远远不到高考范围，根本不是测试物理知识。
当然大部分 pushy mama 一听到 problem solving，脑海里立马条件反射式跳出小学 K
班智商测试的图形 pattern 题。。。

：你也find a life....

C*********X
发帖数: 10518

134

我初中生物竞赛居然地区二等奖。。我都不知道是怎么来的。

把
K

【在 t******l 的大作中提到】

: 祖国版 F=ma test 的范进炮灰，的确大部分不去物理系。。。因为虽然很多局外人把
: F=ma test 看成物理竞赛，其实本质上是 problem solving 的竞赛，跟物理学关系不
: 是那么大。。。所需要的物理学知识还远远不到高考范围，根本不是测试物理知识。
: 当然大部分 pushy mama 一听到 problem solving，脑海里立马条件反射式跳出小学 K
: 班智商测试的图形 pattern 题。。。
:
: ：你也find a life....

t******l
发帖数: 10908

135

不过这题我一开始没想到可以用理想流体加能量守恒来解。。。这种一来总会刀锈，二
来在没有先验知识的情况下猜测也有运气成分。。。这种真有需要总可以临时报佛脚刷
几遍 leetcode 短期提升人气。。。当然对长期还是没啥用。

t******l
发帖数: 10908

136

我初中生物竞赛校内被出局了。。。当然我也不知道生物竞赛的标地是啥。

：我初中生物竞赛居然地区二等奖。。我都不知道是怎么来的。

t******l
发帖数: 10908

137

“你看，你第一个能量守恒忽略了水面运动，你第二个体积守恒又算上了水面运动。有
问题。”
除了实验和前面的分析以外。。。对于这题的物理模型，从概念上而言，体积正比于速
度（面积比），为线性函数。。。动能正比于速度的平方（面积比的平方），为二次函
数。。。所以取决于面积比的具体比值，存在考虑一个但是忽略另一个的范围区间。

：你这个结果就是楼主的结果。

r*s
发帖数: 2555

138

我在写桶里的水面下降速度U时用了近似，实际U应该是
U^2/(2g)+h=v^2/(2g)
UR^2=vr^2
U=(2gh) ^(1/2)/[(R/r)^4-1]^(1/2)
由于R>>r, U=(2gh)^(1/2)(r/R)^(1/2)

f*******y
发帖数: 8358

139

用能量守恒算，你那不是在算水流，你那是在算喷雾枪呢。你想想你还能有连续的水流
吗?

: 不过这题我一开始没想到可以用理想流体加能量守恒来解。。。这种一来总会刀
锈，二

: 来在没有先验知识的情况下猜测也有运气成分。。。这种真有需要总可以临时报
佛脚刷

: 几遍 leetcode 短期提升人气。。。当然对长期还是没啥用。

【在 t******l 的大作中提到】

: “你看，你第一个能量守恒忽略了水面运动，你第二个体积守恒又算上了水面运动。有
: 问题。”
: 除了实验和前面的分析以外。。。对于这题的物理模型，从概念上而言，体积正比于速
: 度（面积比），为线性函数。。。动能正比于速度的平方（面积比的平方），为二次函
: 数。。。所以取决于面积比的具体比值，存在考虑一个但是忽略另一个的范围区间。
:
: ：你这个结果就是楼主的结果。

t******l
发帖数: 10908

140

我得庆幸我没有在你那里上物理课。。。我做了简单实验，这个能量守恒模型符合实际
。小孔出水时间和速度，跟理论估计差不多。
当然我们当年个别本科的普物课老师可能跟你也差不太多。。。当然具体落到哪一年的
学生，看上帝安排。

：用能量守恒算，你那不是在算水流，你那是在算喷雾枪呢。你想想你还能有连续的水
流吗?

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t******l
发帖数: 10908

141

我说实话我不懂博努力方程。。。但是从能量守恒角度，如果完整地考虑杯子里的水的
动能，就不得不考虑杯子里水的动能的变化。。。也就是势能被转化为（1）小孔出口
前后的水的动能差（出口前动能不为零），（2）杯子中的水的动能变化。。。这个第
二项动能变化，即使是稳流假设，也会把整个常微分方程给升级成二阶常微分方程。
如果不出现二阶常微分方程，很可能只考虑上面的第一项，忽略不计第二项。。。当然
考虑总是比不考虑更精确一层。

：我在写桶里的水面下降速度U时用了近似，实际U应该是
：U^2/(2g)+h=v^2/(2g)

r*s
发帖数: 2555

142

林子大了什么鸟都有，在买买提上吹牛不收税。我要说我是Jay Leno 的徒弟你也信？

【在 t******l 的大作中提到】

: 我得庆幸我没有在你那里上物理课。。。我做了简单实验，这个能量守恒模型符合实际
: 。小孔出水时间和速度，跟理论估计差不多。
: 当然我们当年个别本科的普物课老师可能跟你也差不太多。。。当然具体落到哪一年的
: 学生，看上帝安排。
:
: ：用能量守恒算，你那不是在算水流，你那是在算喷雾枪呢。你想想你还能有连续的水
: 流吗?

t******l
发帖数: 10908

143

哥们这是友军误击嘛。。。我回的是 fakestory 的贴，不是你 rbs 的贴。。。
fakestory 说伊教流体力学课的。。。我那贴是说 fakestory 不是说你 rbs，真话。
。。当然 fakestory 不上物理课，军版 id 吹牛的话，那我也没办法查实不是？

：林子大了什么鸟都有，在买买提上吹牛不收税。我要说我是Jay Leno 的徒弟你已信
？

x***1
发帖数: 999

144

用Navier-Stokes equation, neglect viscosity:
q[dv/dt+(vdv/dh)=-grad p
here q is density, p pressure, v 小孔流速，
p=qgh
dv/dh*(1+(r/R)^2)*dh/dt=c, r,小孔半径，c constant
a=(R1-R2)/R1
(1+2ah/ho+a^2h^2/h0^2)(1+(r/R)^2)dh=cdt
如果忽略(r/R)^2:
t=C(h0 +a*h0^2/h0 + a^2*h0^3/3/h0^2) - (h + a*h^2/h0 + a^2*h^3/3/h0^2)
还是C最快。
如图

r*s
发帖数: 2555

145

Bernoulli方程是能量守恒的变形，把能量方程俩边同除以（流体密度xg)就得到
Bernoulli 方程。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我说实话我不懂博努力方程。。。但是从能量守恒角度，如果完整地考虑杯子里的水的
: 动能，就不得不考虑杯子里水的动能的变化。。。也就是势能被转化为（1）小孔出口
: 前后的水的动能差（出口前动能不为零），（2）杯子中的水的动能变化。。。这个第
: 二项动能变化，即使是稳流假设，也会把整个常微分方程给升级成二阶常微分方程。
: 如果不出现二阶常微分方程，很可能只考虑上面的第一项，忽略不计第二项。。。当然
: 考虑总是比不考虑更精确一层。
:
: ：我在写桶里的水面下降速度U时用了近似，实际U应该是
: ：U^2/(2g)+h=v^2/(2g)

t******l
发帖数: 10908

146

另外我觉得要查实 fakestory 是真的教物理课，还是军版 id 吹牛不上税。。。这活
我大力举荐月光来干。
我刚搬来三排真皮三人大沙发。。。大伙儿可以坐观月光 vs fakestory 撕逼大战三
百回合。。。// super fast run

：林子大了什么鸟都有，在买买提上吹牛不收税。我要说我是Jay Leno 的徒弟你已信
？

t******l
发帖数: 10908

147

谢谢，拿小本本记下了。。。这样的话，博努力方程本身（指不做更多近似的情况下）
，应该也考虑了动能的变化率，是不是这样？

：Bernoulli方程是能量守恒的变形，把能量方程俩边同除以（流体密度xg)就得到
：Bernoulli 方程。

t******l
发帖数: 10908

148

这个 naive stroke 旱鸭子游泳方程，是基于啥原理？

：用Navier-Stokes equation, neglect viscosity:

t******l
发帖数: 10908

149

不好意思我刚从游泳池里 naive stroke 出来，游泳镜起雾眼一花，看错了。

：这个 naive stroke 旱鸭子游泳方程，是基于啥原理？

x***1
发帖数: 999

150

抄大数学家欧拉的，再加些粘性啥的。

【在 t******l 的大作中提到】

: 不好意思我刚从游泳池里 naive stroke 出来，游泳镜起雾眼一花，看错了。
:
: ：这个 naive stroke 旱鸭子游泳方程，是基于啥原理？

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l*******s
发帖数: 7316

151

你们真是着了魔了。
白努力就是稳态，不可压，无粘性的N-S方程

【在 x***1 的大作中提到】

: 抄大数学家欧拉的，再加些粘性啥的。

t******l
发帖数: 10908

152

流体力学欧拉方程不是个能简单对付的玩意儿，因为偏微分和拉格朗日算子的出现，大
部分要 computational simulation。。。对于圆柱体这种约束，可能有巧妙解，但也
不是个容易的事儿。
但欧拉方程本质是不是基于牛顿定律的场方程？这种场方程解暂态问题，比如出现对流
甚至漩涡的情况，应该比能量守恒更直接。。。能量守恒容易做过多假设，更适合稳态
问题。
不过在稳态的时候，欧拉方程应该跟博努力的结果一致的吧。。。不一致应该是有计算
错误或者模型近似错误？

：抄大数学家欧拉的，再加些粘性啥的。
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

r*s
发帖数: 2555

153

是的，能量守恒是指总能量守恒，包括动能，势能，压强做功，如果忽略由摩擦造成的
能量损失
如果能量守恒方程除以(mg), [前面我的回答有误，不是除以（密度xg)], 便得到
Bernoulli 方程，包括3项：
速度头：v^2/2g
高度头：z
压强头： P/(密度g）
在桶里的水面选取一个点：总水力头H1= U^2/(2g)+z1+P1/(密度g)
在小孔水出口选取一个点：总水力头H2=v^2/(2g)+z2+P2/(密度g)
这两点的压强都等于大气压 P1=P2
这两个点的高度差 z1-z2=h
利用能量守恒／(mg), H1=H2:
U^2/(2g)+z1=v^2/(2g)+z2
U^2/(2g)+z1-z2=v^2/(2g)
U^2/(2g)+h=v^2/(2g)

【在 t******l 的大作中提到】

: 谢谢，拿小本本记下了。。。这样的话，博努力方程本身（指不做更多近似的情况下）
: ，应该也考虑了动能的变化率，是不是这样？
:
: ：Bernoulli方程是能量守恒的变形，把能量方程俩边同除以（流体密度xg)就得到
: ：Bernoulli 方程。

x***1
发帖数: 999

154

现在问你一个问题：
大圆柱，盛满水，底部有一很小的孔漏水，水面下降均匀还是不均匀？

【在 l*******s 的大作中提到】

: 你们真是着了魔了。
: 白努力就是稳态，不可压，无粘性的N-S方程

t******l
发帖数: 10908

155

场方程出现大尺度复杂型漩涡湍流之类的，computational simulation 都不一定照的
。。。因为接近函数极点的情况一旦出现，随便 numerical round off error 来几下
的话，结果到处乱跳。。。8 billions 猴子们的大气方程随便换台机器算，肯定结果
狠不一样，马工曰：nondeterminism。
不过刚才天顶星人发电报说了，宇宙的 determinism 不过就是猴子们的 sensory
illusion 和 cognitive delusion。。。

x***1
发帖数: 999

156

大数学家欧拉随便写了个方程，不努力拿来一看，看不懂，于是就把其中的加速度变为
0，简单了，看懂了，也有其他人看懂了，于是就叫不努力方程。
欧拉没办法，称这些人为民科。

【在 t******l 的大作中提到】

: 流体力学欧拉方程不是个能简单对付的玩意儿，因为偏微分和拉格朗日算子的出现，大
: 部分要 computational simulation。。。对于圆柱体这种约束，可能有巧妙解，但也
: 不是个容易的事儿。
: 但欧拉方程本质是不是基于牛顿定律的场方程？这种场方程解暂态问题，比如出现对流
: 甚至漩涡的情况，应该比能量守恒更直接。。。能量守恒容易做过多假设，更适合稳态
: 问题。
: 不过在稳态的时候，欧拉方程应该跟博努力的结果一致的吧。。。不一致应该是有计算
: 错误或者模型近似错误？
:
: ：抄大数学家欧拉的，再加些粘性啥的。

r*s
发帖数: 2555

157

用Bernoulli 方程算三桶问题的硬伤是在于桶里的水流动不是稳态的，有误差，
好在U<

l*******s
发帖数: 7316

158

不均匀

【在 x***1 的大作中提到】

: 现在问你一个问题：
: 大圆柱，盛满水，底部有一很小的孔漏水，水面下降均匀还是不均匀？

f*******y
发帖数: 8358

159

哈哈哈。。。。。。。。

: 大数学家欧拉随便写了个方程，不努力拿来一看，看不懂，于是就把其中的加速
度变为

: 0，简单了，看懂了，也有其他人看懂了，于是就叫不努力方程。

: 欧拉没办法，称这些人为民科。

【在 x***1 的大作中提到】

: 大数学家欧拉随便写了个方程，不努力拿来一看，看不懂，于是就把其中的加速度变为
: 0，简单了，看懂了，也有其他人看懂了，于是就叫不努力方程。
: 欧拉没办法，称这些人为民科。

x***1
发帖数: 999

160

当然，这个欧拉随便写的方程，落到高斯手里的时候，高斯摇摇头，说这么浅显易懂鸡
毛蒜皮的东西，还要列方程，到处炫耀，不怕丢人，民科。

【在 x***1 的大作中提到】

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l*******s
发帖数: 7316

161

是的，非稳态，忽略粘性，这些都是近似。
但桶内流动很慢时，这些都可以忽略不计。
倒是小孔里的流速较大，小孔阻力不应该忽略，不过不影响结论。
在我的公式里K=1就是无粘性的。K>1就走有粘性的。

【在 r*s 的大作中提到】

: 用Bernoulli 方程算三桶问题的硬伤是在于桶里的水流动不是稳态的，有误差，
: 好在U<

r*s
发帖数: 2555

162

流体的加速度有两部分组成：
du/dt=au/at+u*au/as
a: 是偏导数，
局部加速度 au/at=0，并不代表总加速度du/dt=0, 因为对流加速度u*au/as 不等于0

【在 x***1 的大作中提到】

t******l
发帖数: 10908

163

fakestory 估计说反话，出现喷雾的情况倒是真需要欧拉这种场方程。。。再难也没办
法。。。

：当然，这个欧拉随便写的方程，落到高斯手里的时候，高斯摇摇头，说这么浅显易懂
鸡毛蒜皮的东西，还要列方程，到处炫耀，不怕丢人，民科。

r*s
发帖数: 2555

164

对，没有绝对理论，需要抓住重要的

【在 l*******s 的大作中提到】

: 是的，非稳态，忽略粘性，这些都是近似。
: 但桶内流动很慢时，这些都可以忽略不计。
: 倒是小孔里的流速较大，小孔阻力不应该忽略，不过不影响结论。
: 在我的公式里K=1就是无粘性的。K>1就走有粘性的。

l*******s
发帖数: 7316

165

欧拉也是近似，最终还得你们说的那个旱鸭子游泳方程才是人间正道

【在 t******l 的大作中提到】

: fakestory 估计说反话，出现喷雾的情况倒是真需要欧拉这种场方程。。。再难也没办
: 法。。。
:
: ：当然，这个欧拉随便写的方程，落到高斯手里的时候，高斯摇摇头，说这么浅显易懂
: 鸡毛蒜皮的东西，还要列方程，到处炫耀，不怕丢人，民科。

t******l
发帖数: 10908

166

欧拉主要是自己不会换 engine 机油，所以不知道 Mobil1 0W-40 的机油，跟 Castro
10W-30 有啥区别。
当然实际上欧拉自己也解不出大部分欧拉方程。。。不过欧拉作为数学家，证明存在解
就不管了。

：欧拉也是近似，最终还得你们说的那个旱鸭子游泳方程才是人间正道

t******l
发帖数: 10908

167

拿小本本记下了。。。看起来是取两个重要点，然后上博努力/能量守恒，然后求解方
程，的解题思路。。。谢谢。

：是的，能量守恒是指总能量守恒，包括动能，势能，压强做功，如果忽略由摩擦造成
的能量损失

x***1
发帖数: 999

168

对，速度随时间和位置变化，稳态就是对某一点来说，速度不随时间变化。欧拉方程速
度变化有两项。

0

【在 r*s 的大作中提到】

: 流体的加速度有两部分组成：
: du/dt=au/at+u*au/as
: a: 是偏导数，
: 局部加速度 au/at=0，并不代表总加速度du/dt=0, 因为对流加速度u*au/as 不等于0

r*s
发帖数: 2555

169

Bernoulli 方程是稳态，是从F=ma 推出的，au/at=0, 但 u*au/as 不等于0

【在 x***1 的大作中提到】

: 对，速度随时间和位置变化，稳态就是对某一点来说，速度不随时间变化。欧拉方程速
: 度变化有两项。
:
: 0

t******l
发帖数: 10908

170

我觉得你前面用的 N-S 方程有可能遇到的问题是。。。N-S 跟博努力不同的是，N-S
如果说流体无粘滞，那个是真正的无粘滞。。。这个可能不是高中物理的理想流体，而
是成为超流体。
而这题里面更大的问题是，流体经过小孔以后是无约束的情况（相对小孔以前被重力约
束在容器里）。。。而不管博努力还是 N-S 都不考虑流体自己对自己的万有引力。。
。这样博努力把过小孔后近似成水流，本质上是解题者强加的。。。但如果直接用 N-S
或者类似的场方程直接三维 simulation 的话，在绝对无粘滞的情况下，过小孔的水
存在无法凝聚成水流的可能，而形成类似旋转抛物面/体的水雾。。。这样导致小孔的
“动态阻抗”完全不同，形成不同的结果。
当然我没有计算或者做 simulation，以上就是 educated guess。。。错了不管。

：对，速度随时间和位置变化，稳态就是对某一点来说，速度不随时间变化。欧拉方程
速度变化有两项。

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t******l
发帖数: 10908

171

或者说，这个 educated guess 基于想象无摩擦刚体小球模型，因为出口是一孔，厚度
为零，出口之上有矩形边界约束，likely 不能保证出口小球的动量矢量都严格垂直往
下。。。由
于无粘滞，小球之间无相互无摩擦也没有引力。
当然只是 educated guess，没有看方程具体形式。

：我觉得你前面用的 N-S 方程有可能遇到的问题是。。。N-S 跟博努力不同的是，N-
S 如果说流体无粘滞，那个是真正的无粘滞。。。这个可能不是高中物理的理想流体，
而是成为超流体。

x***1
发帖数: 999

172

对，dv/dt＝av/at+v*grad v

【在 r*s 的大作中提到】

: Bernoulli 方程是稳态，是从F=ma 推出的，au/at=0, 但 u*au/as 不等于0

x***1
发帖数: 999

173

看来用不努力是正确的。
这里，v只是高度的函数，如果高度恒定，小孔流速不变。

【在 x***1 的大作中提到】

: 对，dv/dt＝av/at+v*grad v

x***1
发帖数: 999

174

三桶问题是个稳态问题

【在 x***1 的大作中提到】

: 看来用不努力是正确的。
: 这里，v只是高度的函数，如果高度恒定，小孔流速不变。

r*s
发帖数: 2555

175

三桶问题其实不是稳态的，因为桶里的水位是变化的（下降）

【在 x***1 的大作中提到】

: 三桶问题是个稳态问题

x***1
发帖数: 999

176

但只与位置有关，不是由于时间引起的。定义v=dh/dt.

【在 r*s 的大作中提到】

: 三桶问题其实不是稳态的，因为桶里的水位是变化的（下降）

x***1
发帖数: 999

177

也就是说，高度一定，不管啥时候，流速一定。

【在 x***1 的大作中提到】

: 但只与位置有关，不是由于时间引起的。定义v=dh/dt.

t******l
发帖数: 10908

178

不过这个前提可能还是要孔径够大，外加完全无粘滞。然后是三维仿真无附加假设。

：或者说，这个 educated guess 基于想象无摩擦刚体小球模型，因为出口是一孔，厚
度为零，出口之上有矩形边界约束，likely 不能保证出口小球的动量矢量都严格垂直往
：下。。。由

t******l
发帖数: 10908

179

对于三维 N-S 仿真无附加假设的话，外加液体绝对没有粘滞，那么过小孔是不是直流
或者花洒都不重要了。。。重要的是小孔处没有任何力支持住光滑小球，完全无粘滞的
情况，杯中液体完全无法保持准稳态。。。想象一群光滑小球加速下滑。。。这样对于
10 cm 高，10 cm 底径，1 cm 小孔的情况，实际上相当于失去 1/100 的支撑力（平
衡重力），导致差不多 1 秒流光。。。只是现实世界的水不是这种拥有超级流动力的
液体而已。。。换言之就是水的微小粘滞力保持了准稳态，导致博努力方程的适用。

：不过这个前提可能还是要孔径够大，外加完全无粘滞。然后是三维仿真无附加假设。
：

t******l
发帖数: 10908

180

我觉得这个根源在于，中学物理的理想液体，并不是真正无粘滞的不可压缩流体，而是
要加上一个附加条件，就是能保持稳态或者准稳态过程。。。也就是说，物理老师说你
有，你就有。说你没有，那就是没有。
这也导致中学物理里的牛顿力学和流体力学，基本是两套路子的解题模式。

：对于三维 N-S 仿真无附加假设的话，外加液体绝对没有粘滞，那么过小孔是不是直流
：或者花洒都不重要了。。。重要的是小孔处没有任何力支持住光滑小球，完全无粘滞
的情况，杯中液体完全无法保持准稳态。。。想象一群光滑小球加速下滑。。。这样对
于 10 cm 高，10 cm 底径，1 cm 小孔的情况，实际上相当于失去 1/100 的支撑力（平

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t******l
发帖数: 10908

181

而且中学物理里面的理想液体，其实不仅不可压缩，而且也不允许雾化小滴其实。。。

：我觉得这个根源在于，中学物理的理想液体，并不是真正无粘滞的不可压缩流体，而
是要加上一个附加条件，就是能保持稳态或者准稳态过程。。。也就是说，物理老师说
你有，你就有。说你没有，那就是没有。
：

t******l
发帖数: 10908

182

考虑不可雾化这个限制，完全无粘滞的，流出来还是水柱，越来越细。
但水杯内应该完全无法保持稳态准稳态，导致一秒流完这种超级流动性液体。

：而且中学物理里面的理想液体，其实不仅不可压缩，而且也不允许雾化小滴其实。。。
：

t******l
发帖数: 10908

183

或者说，超级流动性液体的特征，是只保持容积，完全不考虑保持形状，形状就是百分
之百的随遇而安。。。这种中学超级流动性液体的情况，好像难以想象。

：考虑不可雾化这个限制，完全无粘滞的，流出来还是水柱，越来越细。

t******l
发帖数: 10908

184

从这个角度看，现实世界的水，以及博努力方程里的理想流体，要看成是微小粘滞的液
体，而不是绝对零粘滞的超级流动性液体。。。否则就像超导体一样，一旦产生一个微
小回流就能永远存在，永不停歇，导致准稳态永远不能到达。

：或者说，超级流动性液体的特征，是只保持容积，完全不考虑保持形状，形状就是百
分之百的随遇而安。。。这种中学超级流动性液体的情况，好像难以想象。
：

f*******y
发帖数: 8358

185

你终于想明白了一点了啊。哈哈哈。你要用白努力方程，必须保证速度的散度是零，假
设液体不可压。你小孔上方的速度为零的假设是没法成立的。你再想想。

: 考虑不可雾化这个限制，完全无粘滞的，流出来还是水柱，越来越细。

: 但水杯内应该完全无法保持稳态准稳态，导致一秒流完这种超级流动性液体。

: ：而且中学物理里面的理想液体，其实不仅不可压缩，而且也不允许雾化小滴其
实。。。

: ：

【在 t******l 的大作中提到】

: 从这个角度看，现实世界的水，以及博努力方程里的理想流体，要看成是微小粘滞的液
: 体，而不是绝对零粘滞的超级流动性液体。。。否则就像超导体一样，一旦产生一个微
: 小回流就能永远存在，永不停歇，导致准稳态永远不能到达。
:
: ：或者说，超级流动性液体的特征，是只保持容积，完全不考虑保持形状，形状就是百
: 分之百的随遇而安。。。这种中学超级流动性液体的情况，好像难以想象。
: ：

t******l
发帖数: 10908

186

完全严格的都不行，都是近似。
我觉得更形象的例子，是上次那个鸭蹼问题。。。我们之间的差异是，你所说的无粘滞
，指理论无粘滞的超级流动性液体，也就是在相同的能量下完全不必保持形状的液体。
。。这个在某些情况下都无法用无摩擦刚体小球来想象，只能数学的抽象的想象。。。
在这种情况下，你说的用鸭璞搅水就跟用搅屎棍一样，水不会动。。。这确实是事实，
因为鸭璞/搅屎棍前面的水，其实好比是 quantum tunnel 到鸭璞/搅屎棍后面去的，
也就是数学上的同等能量不同形状，对于超级流动性液体毫无压力。。。鸭璞上都无法
感受到踩水阻力。
但通常中学物理的无粘滞液体，指粘滞微小的液体。。。这样鸭璞划水虽然不是靠粘滞
而是靠反推水的质量，但至少水不会像超级流动性液体那样 quantum tunnel 到鸭璞的
反面去，搞得推水都是一场空。

：你终于想明白了一点了啊。哈哈哈。你要用白努力方程，必须保证速度的散度是零，
假设液体不可压。你小孔上方的速度为零的假设是没法成立的。你再想想。

t******l
发帖数: 10908

187

或者在数学模型上，这个完全无粘滞导致超级流动性液体，导致鸭璞不划，跟实数连续
性（无限可分）有一定关系（因为都是基于实数的模型）。
打个不恰当的比方，这个跟理论数学里的 Banach–Tarski paradox 有点异曲同工之处
。。。
但自然里的水，分到水分子咋都不能再分了（指流体力学）。。。

：完全严格的都不行，都是近似。

t******l
发帖数: 10908

188

或者打个比方说，好比不能因为 Banach–Tarski paradox 的存在，就干脆 AMC 12 的
几何面积体积题就干脆统统不做算了。。。虽然这本质也是数学老师说不许用 axiom
of choice 就只好不用，物理老师说不准用绝对零粘滞也一样，本质上都属于高中大学
老师们的霸王条款。。。但天顶星人说，这 8 billions 猴子搞出来的理论就是这么漏
洞百出也没啥办法，能凑合着用就不错了。。。

：或者在数学模型上，这个完全无粘滞导致超级流动性液体，导致鸭璞不划，跟实数连
续性（无限可分）有一定关系（因为都是实数模型）。

f*******y
发帖数: 8358

189

你没明白我在说什么。欧拉方程的连续条件是速度散度是零。白努力方程是欧拉方程的
一个特殊情况。没人说近似不可以用。只是你这种近似法，我看傻眼了。

: 或者打个比方说，好比不能因为 Banach–Tarski paradox 的存在，就干脆 AMC
12 的

: 几何面积体积题就干脆统统不做算了。。。虽然这本质也是数学老师说不许用
axiom

: of choice 就只好不用，物理老师说不准用绝对零粘滞也一样，本质上都属于高
中大学

: 老师们的霸王条款。。。但天顶星人说，这 8 billions 猴子搞出来的理论就是
这么漏

: 洞百出也没啥办法，能凑合着用就不错了。。。

: ：或者在数学模型上，这个完全无粘滞导致超级流动性液体，导致鸭璞不划，跟
实数连

: 续性（无限可分）有一定关系（因为都是实数模型）。

【在 t******l 的大作中提到】

: 或者打个比方说，好比不能因为 Banach–Tarski paradox 的存在，就干脆 AMC 12 的
: 几何面积体积题就干脆统统不做算了。。。虽然这本质也是数学老师说不许用 axiom
: of choice 就只好不用，物理老师说不准用绝对零粘滞也一样，本质上都属于高中大学
: 老师们的霸王条款。。。但天顶星人说，这 8 billions 猴子搞出来的理论就是这么漏
: 洞百出也没啥办法，能凑合着用就不错了。。。
:
: ：或者在数学模型上，这个完全无粘滞导致超级流动性液体，导致鸭璞不划，跟实数连
: 续性（无限可分）有一定关系（因为都是实数模型）。

l*******s
发帖数: 7316

190

不对。
水位一定，流速一定。
并不是在同一高度的流速不随时间变化。
对于柱形桶来说，桶内垂直流速在同一时间是基本相同的。靠近桶底除外。

【在 x***1 的大作中提到】

: 也就是说，高度一定，不管啥时候，流速一定。

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f*******y
发帖数: 8358

191

我说的是不存在粘滞力的情况下，你也要有物质守恒啊。。。
所以白努力方程根本没法用。

【在 t******l 的大作中提到】

t******l
发帖数: 10908

192

小孔上方的速度，以及速度的旋度，对能量守恒的影响很小，忽略不计，所以近似成白
努力。。。一般物理里面物质不灭不去违反的。
当然理论数学家的 Banach–Tarski paradox 连物质不灭都无所谓了其实。

：我说的是不存在粘滞力的情况下，你也要有物质守恒啊。。。
：所以白努力方程根本没法用。

l*******s
发帖数: 7316

193

白努力方程不违反质量守恒。
时间上白努力方程就是稳态的无粘滞的质量守恒+动量守恒。
白努力方程并没有涉及到N-S 3个守恒方程里的能量方程。
但从质量守恒+动量守恒，可以推到出动能+势能守恒。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 我说的是不存在粘滞力的情况下，你也要有物质守恒啊。。。
: 所以白努力方程根本没法用。

t******l
发帖数: 10908

194

而完全无粘滞的超级流动性液体的问题，确实是在于这里。
假想堵住小孔的手指一旦松开，由于小孔的支撑力不存在。。。而超级流动性液体完全
没有粘滞力支撑，导致小孔上方直接到水面的整个水柱“企图”以重力加速度自由落体
。。。达不到真正的自由落体水柱是因为容积守恒要求，四周的水涌过来补缺。。。而
小孔旁边的杯底的支撑力并没有消失，所以超级流动性液体以不旋转的漩涡的样子中心
塌陷，速度场在竖直平面里形成旋度。。。没有任何粘滞力会跳出来阻止这样的旋度，
以致旋度愈演愈烈，整个水在 1 秒钟左右塌陷流干（10 cm 高度，10 cm 底径，1 cm
小孔）。。。完全不进入稳态准稳态过程。
但以上这个是完全无粘滞的超级流动性液体，不是自然界的水。

：小孔上方的速度，以及速度的旋度，对能量守恒的影响很小，忽略不计，所以近似成
白努力。。。一般物理里面物质不灭不去违反的。

t******l
发帖数: 10908

195

而自然界的水，有着微小的粘滞力，而不是完全无粘滞的超级流动性液体。
这微小的粘滞力虽然不会把一杯水变成一块冰，但是因为这微小的粘滞力提供了微小的
保持原来形状的意愿。。。这种意愿虽然很小，但在小孔较小的时候，能阻止移开堵住
小孔手指的效应直接无阻尼到达水面。。。同时这种微小的保持形状的意愿，也阻止了
旋度不受限制的愈演愈烈，把旋度控制在一个很小的范围。。。这个微小的粘滞，对能
量守恒的影响忽略不计，但对平衡态维持的贡献极大。。。形象的比方，就好比一只看
不见的手保持索男平衡在男子平衡木和花样滑冰场上。。。这最终使得白努力方程能够
出鞘。
所以这讽刺的是，虽然白努力傲慢地把粘滞力踢出了教室。。。但那个躲在讲台下面的
微小的粘滞力，使得白努力的教室没有塌方。。。

：而完全无粘滞的超级流动性液体的问题，确实是在于这里。

r*s
发帖数: 2555

196

任何流体都有viscosity, 只是有大有小而已，viscosity 可以造成shear stress, 就
是摩擦力，根据实际情况来决定什么时候需要考虑
，什么时候不需要考虑，三桶问题就可以忽略，因为不是毛细血管流，即使水的
viscosity 不是很大，但如果流动在狭小空间里，摩擦力就不能忽略了，这时Darcy's
Law 就来精神了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 而自然界的水，有着微小的粘滞力，而不是完全无粘滞的超级流动性液体。
: 这微小的粘滞力虽然不会把一杯水变成一块冰，但是因为这微小的粘滞力提供了微小的
: 保持原来形状的意愿。。。这种意愿虽然很小，但在小孔较小的时候，能阻止移开堵住
: 小孔手指的效应直接无阻尼到达水面。。。同时这种微小的保持形状的意愿，也阻止了
: 旋度不受限制的愈演愈烈，把旋度控制在一个很小的范围。。。这个微小的粘滞，对能
: 量守恒的影响忽略不计，但对平衡态维持的贡献极大。。。形象的比方，就好比一只看
: 不见的手保持索男平衡在男子平衡木和花样滑冰场上。。。这最终使得白努力方程能够
: 出鞘。
: 所以这讽刺的是，虽然白努力傲慢地把粘滞力踢出了教室。。。但那个躲在讲台下面的
: 微小的粘滞力，使得白努力的教室没有塌方。。。

t******l
发帖数: 10908

197

你的第一句话很重要。。。（当然量子力学方程有可能产生真正的超级流动性液体，这
个不属于宏观物理范畴）。
但我第一次解这道题目确实就是栽在你这句话上。。。因为我 treat math symbol
literally。。。当我想到零粘滞的理想液体的时候，我确实是真的用零粘滞的 F=ma
图景在思考，而判定不可能进入准稳态，并没有意识到实际上是在思考超级流动性液体
的图景（只可能在量子力学中出现，因为液体不是无限可分，需要海森堡的波粒二象性
出场）。。。而因此认为只能指望达西，而忽略了中间路线的博努力。。。最终导致建
模错误。
其实我觉得这可能是我们中学物理教育的问题。。。老师不一定意识到对于某些
mathematical thinker，他们常常会 treat math symbol literally。。。在这个例子
里，微小粘滞和绝对零粘滞的区别。。。如果不把理想液体的“霸王性条款”给明示出
来，对他们可能会造成概念混淆，以致对他们中学牛顿力学和中学流体力学脱节。

：任何流体都有viscosity, 只是有大有小而已，根据实际情况来决定什么时候需要考虑
：viscosity，什么时候不需要考虑，三桶问题就可以忽略，因为不是毛细血管流

t******l
发帖数: 10908

198

而后来跟 fakestory 争论鸭璞搅屎棍的问题的时候，因为前面博努力成功的解释试验
，所造成的先验知识的干扰（认知心理学上的 schema），没有意识到 fakestory 的零
粘滞是在指超级流动性液体。。。也就是说，应用光滑小球模型，要无限可分到极限，
包括容许的 the set of moving ball is an uncountable set 的情况发生（也就是存
在一些 moving ball 的 set，但都是些 uncountable set，所以那些 set 对
geometrical quantity 是 unmeasurable，导致整个水的 set 里没有任何运动或者能
量起伏，但是水跑到鸭璞的背面去了）。。。（或者数学上不严格的瞎扯，就是实数连
续性完备性，以及 axiom of choice 搞出 uncountable subset）。。。或者就是量子
力学，整个桶里的水呼唤海森堡的波粒二象性而形成某种独特的量子态。。。

：你的第一句话很重要。。。（当然量子力学方程有可能产生真正的超级流动性液体，
这个不属于宏观物理范畴）。

r*s
发帖数: 2555

199

任何科学理论都是对实际的近似，没有绝对的理论

【在 t******l 的大作中提到】

: 你的第一句话很重要。。。（当然量子力学方程有可能产生真正的超级流动性液体，这
: 个不属于宏观物理范畴）。
: 但我第一次解这道题目确实就是栽在你这句话上。。。因为我 treat math symbol
: literally。。。当我想到零粘滞的理想液体的时候，我确实是真的用零粘滞的 F=ma
: 图景在思考，而判定不可能进入准稳态，并没有意识到实际上是在思考超级流动性液体
: 的图景（只可能在量子力学中出现，因为液体不是无限可分，需要海森堡的波粒二象性
: 出场）。。。而因此认为只能指望达西，而忽略了中间路线的博努力。。。最终导致建
: 模错误。
: 其实我觉得这可能是我们中学物理教育的问题。。。老师不一定意识到对于某些
: mathematical thinker，他们常常会 treat math symbol literally。。。在这个例子

t******l
发帖数: 10908

200

当然 uncountable set 也不能用太狠，否则水的物质不灭都不能保证。。。不过反正
都是霸王条款不是？。。。

：而后来跟 fakestory 争论鸭璞搅屎棍的问题的时候，因为前面博努力成功的解释试验
：，所造成的先验知识的干扰（认知心理学上的 schema），没有意识到 fakestory 的
零粘滞是在指超级流动性液体。。。也就是说，应用光滑小球模型，要无限可分到极限
，包括容许的 the set of moving ball is an uncountable set 的情况发生（也就是
存在一些 moving ball 的 set，但都是些 uncountable set，所以那些 set 对

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t******l
发帖数: 10908

201

属实

：任何科学理论都是对实际的近似，没有绝对的理论
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

f*******y
发帖数: 8358

202

我一直反对用白努力方程，因为白努力方程是从欧拉方程来的。欧拉方程的推导要用到
质量守恒。对于不可压缩流体，质量守恒等价于速度散度为零。你这里速度散度都不为
零了，还用白努力方程难道不是搞笑?

: 小孔上方的速度，以及速度的旋度，对能量守恒的影响很小，忽略不计，所以近
似成白

: 努力。。。一般物理里面物质不灭不去违反的。

: 当然理论数学家的 Banach–Tarski paradox 连物质不灭都无所谓了其实。

: ：我说的是不存在粘滞力的情况下，你也要有物质守恒啊。。。

: ：所以白努力方程根本没法用。

【在 t******l 的大作中提到】

: 属实
:
: ：任何科学理论都是对实际的近似，没有绝对的理论
: ：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

r*s
发帖数: 2555

203

你就这么肯定从Euler's 方程推导出Bernoulli's 方程需要用到质量守恒？那就请你给
大伙儿从Euler's 方程推导出Bernoulli's 方程看看什么地方用到了质量守恒。
Bernoulli 方程可以从F=ma（动量守恒）推出，与质量守恒没有关系，通常这两个方程
同时用，在三桶问题上就是：
Bernoulli 方程： U^2/(2g)+h=v^2/(2g)
质量守恒： pi*R^2*U=pi*r^2*v

【在 f*******y 的大作中提到】

: 我一直反对用白努力方程，因为白努力方程是从欧拉方程来的。欧拉方程的推导要用到
: 质量守恒。对于不可压缩流体，质量守恒等价于速度散度为零。你这里速度散度都不为
: 零了，还用白努力方程难道不是搞笑?
:
:
: 小孔上方的速度，以及速度的旋度，对能量守恒的影响很小，忽略不计，所以近
: 似成白
:
: 努力。。。一般物理里面物质不灭不去违反的。
:
: 当然理论数学家的 Banach–Tarski paradox 连物质不灭都无所谓了其实。
:
: ：我说的是不存在粘滞力的情况下，你也要有物质守恒啊。。。
:
: ：所以白努力方程根本没法用。

f*******y
发帖数: 8358

204

做功要用到熵守恒，不然就会有热产生。熵流散度为零，可以推导出速度散度为零。
建议不要用wiki，光看wiki没用的。

【在 r*s 的大作中提到】

: 你就这么肯定从Euler's 方程推导出Bernoulli's 方程需要用到质量守恒？那就请你给
: 大伙儿从Euler's 方程推导出Bernoulli's 方程看看什么地方用到了质量守恒。
: Bernoulli 方程可以从F=ma（动量守恒）推出，与质量守恒没有关系，通常这两个方程
: 同时用，在三桶问题上就是：
: Bernoulli 方程： U^2/(2g)+h=v^2/(2g)
: 质量守恒： pi*R^2*U=pi*r^2*v

r*s
发帖数: 2555

205

别扯别的，请推导Bernoulli方程并显示在推导过程中用到质量守恒，你不是自称是大
学老师吗？

【在 f*******y 的大作中提到】

: 做功要用到熵守恒，不然就会有热产生。熵流散度为零，可以推导出速度散度为零。
: 建议不要用wiki，光看wiki没用的。

r*s
发帖数: 2555

206

哦这个牛X的“大学老师“还没回答我的这个问题，你肯定用了Darcy's Law来计算这题
，请问在Darcy's Law中的permeability你如何确定
你的回答：
”算啊。用navier stokes公式很容易算出来“
http://www.mitbbs.com/article/Joke/33798717_0.html
尼玛别误人子弟！

f*******y
发帖数: 8358

207

欧拉公式
(delt)v/(delt)t+(vdotgrad)v=-gradw
白努力公式
(vdotgrad)v=-grad (p/rou)
这里用到了
dw=Tds+Vdp=Vdp
ds/dt = 0
delt (rou s) / delt t + div (rou s v) = 0
绝热过程
delt (rou s) / delt t = 0
可得
div v = 0

【在 r*s 的大作中提到】

: 别扯别的，请推导Bernoulli方程并显示在推导过程中用到质量守恒，你不是自称是大
: 学老师吗？

l*******s
发帖数: 7316

208

推导Bernoulli用到质量守恒方程也是可能的。
比如我从保守形式的动量方程推非保守形式的动量方程就用到质量守恒方程。
然后从非保守形式的动量方程推Bernoulli水到渠成

【在 r*s 的大作中提到】

: 别扯别的，请推导Bernoulli方程并显示在推导过程中用到质量守恒，你不是自称是大
: 学老师吗？

t******l
发帖数: 10908

209

熵守恒是正确的，否则会转热能。。。但这题里熵流散度为零，无法推出速度散度为零
。。。这是因为重力场的存在，造成动能的源头，也就是速度源，而造成速度场的散度。
当然这个速度场的散度均匀分布，不是一个点源就是了。。。对于暂态问题，比如超级
流动性。小孔上方可能有麻烦的不是速度场的散度，而是速度场的旋度。。。对于通常
的水的准稳态过程，速度场的旋度接近于零。

：做功要用到熵守恒，不然就会有热产生。熵流散度为零，可以推导出速度散度为零。
：建议不要用wiki，光看wiki没用的。

f*******y
发帖数: 8358

210

自己google poiseuille's equation的推到过程
懒得理你。

【在 r*s 的大作中提到】

: 哦这个牛X的“大学老师“还没回答我的这个问题，你肯定用了Darcy's Law来计算这题
: ，请问在Darcy's Law中的permeability你如何确定
: 你的回答：
: ”算啊。用navier stokes公式很容易算出来“
: http://www.mitbbs.com/article/Joke/33798717_0.html
: 尼玛别误人子弟！

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t******l
发帖数: 10908

211

确切的说，应该是动能沿速度矢量方向的场。。。速度本身不守恒。。。

：熵守恒是正确的，否则会转热能。。。但这题里熵流散度为零，无法推出速度散度为
零。。。这是因为重力场的存在，造成动能的源头，也就是速度源，而造成速度场的散
度。
：

f*******y
发帖数: 8358

212

这个poiseuille's equation是某一种形式的dacy law。我怕学生记不住，就统称darcy
law。其实本质都是一回事。
不懂这些的都是文盲。呵呵
妈的，教育你们这些文盲我可没收学费啊。亏死了

【在 f*******y 的大作中提到】

: 自己google poiseuille's equation的推到过程
: 懒得理你。

r*s
发帖数: 2555

213

你不是说用"算啊。用navier stokes公式很容易算出来", 你是怎么用“navier stokes
” 算Darcy's Law 中的permeability?

【在 f*******y 的大作中提到】

: 自己google poiseuille's equation的推到过程
: 懒得理你。

t******l
发帖数: 10908

214

或者进一步说，简单的说法，不管是普通水，还是超级流动性液体，速度场的散度都是
均匀分布的，也就是重力场提供了均匀分布的速度源。
但普通水和超级流动性液体不同的是在于速度场的旋度。。。普通水由于很小的粘滞性
的存在，速度场的旋度被大幅度阻止在萌芽状态，而形成博努力式稳态流动。。。而超
级流动性液体，其粘滞性为数学的零（绝对意义上的零，additive identity, always
do nothing in operation of addition），所以没有东西可以阻止旋度类似正反馈式
急剧增加，这样就不会进入博努力的准稳态，而以回旋加速器的姿势从中心急剧塌陷（
当然不是要真的转一圈，而是说旋度大到不能忽略）。

：确切的说，应该是动能沿速度矢量方向的场。。。速度本身不守恒。。。

r*s
发帖数: 2555

215

你的学生看样子都有健忘症

darcy

【在 f*******y 的大作中提到】

: 这个poiseuille's equation是某一种形式的dacy law。我怕学生记不住，就统称darcy
: law。其实本质都是一回事。
: 不懂这些的都是文盲。呵呵
: 妈的，教育你们这些文盲我可没收学费啊。亏死了

f*******y
发帖数: 8358

216

对比poiseuille's equation和darcy law很容易得出小孔的permeability。有什么问题
吗？

stokes

【在 r*s 的大作中提到】

: 你不是说用"算啊。用navier stokes公式很容易算出来", 你是怎么用“navier stokes
: ” 算Darcy's Law 中的permeability?

r*s
发帖数: 2555

217

请问那是用你随口就吹的“算啊。用navier stokes公式很容易算出来”，还是由小孔
的尺度决定的？

【在 f*******y 的大作中提到】

: 对比poiseuille's equation和darcy law很容易得出小孔的permeability。有什么问题
: 吗？
:
: stokes

t******l
发帖数: 10908

218

我来和稀泥一下。。。对于粘滞性为数学意义上的零的超级流动性液体，通常意义的
simulation 不一定管用，因为隐含的假设常常已经在模型里了。
要解决理论争论的一个办法，就是直接用二维/三维场方程解一个理论的简单情况。不
一定是解析解，抛去所有假设的，并且正确处理 computational round off error 的
数值解/仿真也可以。
但这样的话，二维/三维方杯加一个洞，还不一定解起来方便，因为杯子角上和洞洞角
上的一阶导数不连续。。。很容易出 round off error 而不知道。。。一个解决方法
比如把杯子变成 tan(abs(x + pi/2)) 这样的连续光滑边界约束，计算超级流动性液体
是如何暂态过程掉下去的。。。当然也不限于那个具体函数，就是个意思。

r*s
发帖数: 2555

219

你让那个自称是大学老师的用Darcy's Law 给你算个高端大气的

【在 t******l 的大作中提到】

: 我来和稀泥一下。。。对于粘滞性为数学意义上的零的超级流动性液体，通常意义的
: simulation 不一定管用，因为隐含的假设常常已经在模型里了。
: 要解决理论争论的一个办法，就是直接用二维/三维场方程解一个理论的简单情况。不
: 一定是解析解，抛去所有假设的，并且正确处理 computational round off error 的
: 数值解/仿真也可以。
: 但这样的话，二维/三维方杯加一个洞，还不一定解起来方便，因为杯子角上和洞洞角
: 上的一阶导数不连续。。。很容易出 round off error 而不知道。。。一个解决方法
: 比如把杯子变成 tan(abs(x + pi/2)) 这样的连续光滑边界约束，计算超级流动性液体
: 是如何暂态过程掉下去的。。。当然也不限于那个具体函数，就是个意思。

t******l
发帖数: 10908

220

我搬真皮三人大沙发坐等 fakestory 的计算机仿真超级流动性液体的结果。。。

：你让那个自称是大学老师的用Darcy's Law 给你算个高端大气的

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f*******y
发帖数: 8358

221

permeability当然跟孔的尺度有关了。不管是一个小孔还是多孔介质。
你又说傻话了。

【在 r*s 的大作中提到】

: 请问那是用你随口就吹的“算啊。用navier stokes公式很容易算出来”，还是由小孔
: 的尺度决定的？

r*s
发帖数: 2555

222

不是你吹的吗“算啊。用navier stokes公式很容易算出来”，

【在 f*******y 的大作中提到】

: permeability当然跟孔的尺度有关了。不管是一个小孔还是多孔介质。
: 你又说傻话了。

f*******y
发帖数: 8358

223

是很容易算啊。有什么问题吗?

: 不是你吹的吗“算啊。用navier stokes公式很容易算出来”，

【在 r*s 的大作中提到】

: 不是你吹的吗“算啊。用navier stokes公式很容易算出来”，

r*s
发帖数: 2555

224

那就请你给三桶问题"用navier stokes公式”算一个Darcy's Law中用到的
permeability
圆柱桶R=10cm, 初时水柱高10cm, 小空r=1cm, 水温20摄氏度,
请用“navier stokes公式”算，用其他方法得零分

【在 f*******y 的大作中提到】

: 是很容易算啊。有什么问题吗?
:
:
: 不是你吹的吗“算啊。用navier stokes公式很容易算出来”，
:

t******l
发帖数: 10908

225

此题甚佳，坐等 fakestory 解题。。。

：那就请你给三桶问题"用navier stokes公式”算一个Darcy's Law中用到的
：permeability

l*******s
发帖数: 7316

226

我也不明白，一个孔的问题为什么要和porous medium 扯到一起。

【在 r*s 的大作中提到】

: 那就请你给三桶问题"用navier stokes公式”算一个Darcy's Law中用到的
: permeability
: 圆柱桶R=10cm, 初时水柱高10cm, 小空r=1cm, 水温20摄氏度,
: 请用“navier stokes公式”算，用其他方法得零分

r*s
发帖数: 2555

227

把水桶当成毛细血管了呗

【在 l*******s 的大作中提到】

: 我也不明白，一个孔的问题为什么要和porous medium 扯到一起。

r****z
发帖数: 12020

228

你不要不服，Darcy's law 现在已经成为本版新经典，只要一说做题就有人会想到
Darcy's law。

【在 r*s 的大作中提到】

: 把水桶当成毛细血管了呗

l*******s
发帖数: 7316

229

白努力方程对这个题还是相当适用的。
白努力方程中的三个近似1. 稳态，2不可压，3无粘滞。这三个近似在桶内基本不产生
误差。在小孔附近也只有第三项稍有影响。
在动量方程(或白努力方程)中忽略小孔上方流速并不表示在质量守恒方程(或称连续方程
中也忽略。所以并没有违反速度散度为零。
我也不喜欢用白努力方程来解这个题，因为不能考虑小孔附近的粘滞压陨。所以在首贴
里有个K因子。K=1就是无粘滞的白努力结果。
考虑入口形状系数0.5，K=1.5应该是更符合实际的结果。
不管K是多少，结论都是一样的。
所以求大家别吵了。

【在 f*******y 的大作中提到】

r*s
发帖数: 2555

230

真是，不是搞地下水，水文，石油，土壤，毛细管流的估计很少有人知道这个Darcy's
Law

【在 r****z 的大作中提到】

: 你不要不服，Darcy's law 现在已经成为本版新经典，只要一说做题就有人会想到
: Darcy's law。

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r*s
发帖数: 2555

231

是的，在工程水力应用中通常需要乘个经验系数

白努力方程对这个题还是相当适用的。
方程

【在 l*******s 的大作中提到】

: 白努力方程对这个题还是相当适用的。
: 白努力方程中的三个近似1. 稳态，2不可压，3无粘滞。这三个近似在桶内基本不产生
: 误差。在小孔附近也只有第三项稍有影响。
: 在动量方程(或白努力方程)中忽略小孔上方流速并不表示在质量守恒方程(或称连续方程
: 中也忽略。所以并没有违反速度散度为零。
: 我也不喜欢用白努力方程来解这个题，因为不能考虑小孔附近的粘滞压陨。所以在首贴
: 里有个K因子。K=1就是无粘滞的白努力结果。
: 考虑入口形状系数0.5，K=1.5应该是更符合实际的结果。
: 不管K是多少，结论都是一样的。
: 所以求大家别吵了。

l*******s
发帖数: 7316

232

说实在的，我也没工程经验。这个0.5是从突缩管道形状压陨系数k=0.5*(1-A2/A1)推广
到小孔入口的。

【在 r*s 的大作中提到】

: 是的，在工程水力应用中通常需要乘个经验系数
:
: 白努力方程对这个题还是相当适用的。
: 方程

f*******y
发帖数: 8358

233

呵呵。说的好像你能知道用poiseuille's law算水管里的水流一样。

: 真是，不是搞地下水，水文，石油，土壤，毛细管流的估计很少有人知道这个
Darcy's

: Law

【在 r*s 的大作中提到】

: 是的，在工程水力应用中通常需要乘个经验系数
:
: 白努力方程对这个题还是相当适用的。
: 方程

r*s
发帖数: 2555

234

: 呵呵。说的好像你能知道用poiseuille's law算水管里的水流一样。
:
:
: 真是，不是搞地下水，水文，石油，土壤，毛细管流的估计很少有人知道这个
: Darcy's
:
: Law
:

f*******y
发帖数: 8358

235

这有什么难的。。。精神不正常。

: 那就请你给三桶问题"用navier stokes公式”算一个Darcy's Law中用到的

: permeability

: 圆柱桶R=10cm, 初时水柱高10cm, 小空r=1cm, 水温20摄氏度,

: 请用“navier stokes公式”算，用其他方法得零分

【在 r*s 的大作中提到】

t******l
发帖数: 10908

236

属实

：你不要不服，Darcy's law 现在已经成为本版新经典，只要一说做题就有人会想
到
：Darcy's law。

x***1
发帖数: 999

237

标准答案出来了。就是楼主的结果。
任何一本流体力学，或流体力学简介，都有关于水在垂直圆台自由落体的描述。
用伯努利方程，用二阶近似，用横截面积算高度变化，用二阶近似证明是稳态的，略去
粘性，热耗。
看来大家的专业都不是搞流体力学的。

白努力方程对这个题还是相当适用的。
方程

【在 l*******s 的大作中提到】

r****z
发帖数: 12020

238

引入的这个系数是小孔水流速度的函数吗？除非该系数是水流速度的函数并且能够神奇
地改变小孔水流速度相对快慢，比如原来C孔流速大，乘了系数变A孔流速大，否则这系
数完全不影响结果呀。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 说实在的，我也没工程经验。这个0.5是从突缩管道形状压陨系数k=0.5*(1-A2/A1)推广
: 到小孔入口的。

r****z
发帖数: 12020

239

怎么才出来？我几天前就找出这题的出处了，你没看见？
http://www.mitbbs.com/article/Joke/33795931_0.html

【在 x***1 的大作中提到】

: 标准答案出来了。就是楼主的结果。
: 任何一本流体力学，或流体力学简介，都有关于水在垂直圆台自由落体的描述。
: 用伯努利方程，用二阶近似，用横截面积算高度变化，用二阶近似证明是稳态的，略去
: 粘性，热耗。
: 看来大家的专业都不是搞流体力学的。
:
: 白努力方程对这个题还是相当适用的。
: 方程

t******l
发帖数: 10908

240

我觉得争论的焦点，是这题用博努力的假设 “稳态” 和 “无粘滞”（或者说，粘滞
越小模型越精确），在这题里，是理论上相互矛盾的假设/近似（不是误差大小，而是
逻辑矛盾）。。。一个思想实验，就是用 superfluid helium-4（真正的无粘滞）来替
代水（微小粘滞，基本不影响能量守恒），结果会如何？。。。（当然对实际用水的
实验而言，博努力模型符合得很好。但这并不限制 superfluid helium-4 的思想实验
来检查逻辑矛盾。）
当然讨论上面这个矛盾，其实是反映了酱油理论物理下室索男 vs 酱油工程物理下室索
男，在感兴趣的方面的不同。。。//run

：
白努力方程对这个题还是相当适用的。
：白努力方程中的三个近似1. 稳态，2不可压，3无粘滞。这三个近似在桶内基本不产生

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t******l
发帖数: 10908

241

流体力学书里面有没有 superfluid helium-4 在垂直圆台自由落体的描述？

：标准答案出来了。就是楼主的结果。

l*******s
发帖数: 7316

242

形状压力损失是 kdvv/2.
形状压损系数与流速无关，只与形状相关。比如突缩：k2=.5( 1-a2/a1)
突放 :
deltP_form= k1*d*v1*v1/2 = k2*d*v2*v2/2
k1=(1-a1/a2)^2
k2=(a2/a1 -1)^2
突放系数有理论证明。
其它的都是经验值。比如弯管，阀门等，还有渐缩，渐放等等，都有系数。

【在 r****z 的大作中提到】

: 引入的这个系数是小孔水流速度的函数吗？除非该系数是水流速度的函数并且能够神奇
: 地改变小孔水流速度相对快慢，比如原来C孔流速大，乘了系数变A孔流速大，否则这系
: 数完全不影响结果呀。

l*******s
发帖数: 7316

243

就算是出题方给的答案，也只能称为参考答案。

【在 x***1 的大作中提到】

r*s
发帖数: 2555

244

争论的关键在于有那么一个自称是大学老师的喊着要用Darcy's Law来解这个三桶问题
，但到现在连个具体的计算结果的影子也没看见，尼玛要是这个自称是大学老师的用
Navier–Stokes方程为这个三桶问题建个三维模型，把模拟结果往买买提上一放，估计
还能把我等索南们唬住，尼玛到现在我听到的就是“我怕我的学生记不住，我统称达西
law",尼玛你的学生全是傻逼，全是健忘症患者，要是我的娃上这个自称是大学老师的
课，老子宁愿让娃在家自学。

白努力方程对这个题还是相当适用的。
产生

【在 t******l 的大作中提到】

: 我觉得争论的焦点，是这题用博努力的假设 “稳态” 和 “无粘滞”（或者说，粘滞
: 越小模型越精确），在这题里，是理论上相互矛盾的假设/近似（不是误差大小，而是
: 逻辑矛盾）。。。一个思想实验，就是用 superfluid helium-4（真正的无粘滞）来替
: 代水（微小粘滞，基本不影响能量守恒），结果会如何？。。。（当然对实际用水的
: 实验而言，博努力模型符合得很好。但这并不限制 superfluid helium-4 的思想实验
: 来检查逻辑矛盾。）
: 当然讨论上面这个矛盾，其实是反映了酱油理论物理下室索男 vs 酱油工程物理下室索
: 男，在感兴趣的方面的不同。。。//run
:
: ：

l*******s
发帖数: 7316

245

白努力是用来科普的。
因为公式简单，容易懂，容易记。
欧拉公式也不实用。poiseuille's law和Darcy's Law都是管中窥豹。
只有Navier-Stokes Equation才能一桶江湖。
以后本版出现流体问题，大家一律口诵NSE （Navier-Stokes Equation）。

白努力方程对这个题还是相当适用的。
产生

【在 t******l 的大作中提到】

l*******s
发帖数: 7316

246

fluent是现成的免费code，建个模型也就分分钟的事。

【在 r*s 的大作中提到】

: 争论的关键在于有那么一个自称是大学老师的喊着要用Darcy's Law来解这个三桶问题
: ，但到现在连个具体的计算结果的影子也没看见，尼玛要是这个自称是大学老师的用
: Navier–Stokes方程为这个三桶问题建个三维模型，把模拟结果往买买提上一放，估计
: 还能把我等索南们唬住，尼玛到现在我听到的就是“我怕我的学生记不住，我统称达西
: law",尼玛你的学生全是傻逼，全是健忘症患者，要是我的娃上这个自称是大学老师的
: 课，老子宁愿让娃在家自学。
:
: 白努力方程对这个题还是相当适用的。
: 产生

t******l
发帖数: 10908

247

自称是大学老师那位应该是搅屎棍，BBS 搅屎棍娱乐有时也会 open mind 一下。。。
但上他的课学生属于遭遇天灾。。。// run

：争论的关键在于有那么一个自称是大学老师的喊着要用Darcy's Law来解这个三
桶问题
：，但到现在连个具体的计算结果的影子也没看见，尼玛要是这个自称是大学老师的用

t******l
发帖数: 10908

248

我不是这个意思。。。白努力方程不仅仅是科普的。我做了实验，白努力对这个 10 cm
/ 1 cm 的例子符合得很好。。。小孔水速正比于液面高度的根号，也符合日常经验物
理图景。
但是白努力这个无粘滞稳态模型，对 mathematical thinker 而言，存在一个 “无粘
滞” 和 “稳态” paradox。。。我现在有一个更简单的阐述这个 paradox 的描述。
。。就是用稳态无粘滞白努力方程的结果，杯中水的质心下降的加速度是减速下降的。
。。但是如果用白努力稳态加无粘滞，对杯底进行 F=ma 受力分析，会得出杯中水的质
心是以 g/100 的加速度加速下降的。。。也就是同样用无粘滞稳态，得出杯中水的质
心加速度的 paradoxical 的结果。。。这个对经验主义思考型可能没啥，但对
mathematical thinker 总之是一个需要解开的结。

：白努力是用来科普的。
：因为公式简单，容易懂，容易记。

t******l
发帖数: 10908

249

对于经验主义思考的，我觉得是把水归类于 newtonian fluid，跟 superfluid helium
-4 本质上不同。。。但 mathematical thinker 不会满意这个，mathmematical
thinker 会追问这个粘滞度到底是不是零，如果是小量忽略，在哪一个物理效应里被忽
略。。。虽然旁人看起来确实是在钻牛角尖。

：我不是这个意思。。。白努力方程不仅仅是科普的。我做了实验，白努力对这个 10
cm / 1 cm 的例子符合得很好。。。小孔水速正比于液面高度的根号，也符合日常经验
物理图景。
：

t******l
发帖数: 10908

250

而检查这个物理模型的 mathematical 部分，看到的是：
1. 这个稳态假设不仅在白努力方程之中，更重要的是在画草图的时候，把杯中的液面
画成平面，已经做了看不见的稳态假设。
2. 水的微小粘滞度，对能量守恒的影响很小，这使得基于能量守恒的白努力方程，得
出符合实验的结果。
3. 但水的微小粘滞力，对阻止小孔上方速度场旋度产生的贡献很大，这导致用 F=ma
估计时，对杯底总受力的误差很大。。。因为在无粘滞的情况下估计杯底受力，是重力
的 99%。。。而一点点粘滞力，就会产生足够的误差，导致基于杯底受力的 F=ma 分析
不符合实验结果。
4. 但作为思想实验，如果用粘滞度真正为零的 superfluid helium-4 来代替粘滞度
微小的 newtonian fluid water，那上面的分析可能要反过来。

：对于经验主义思考的，我觉得是把水归类于 newtonian fluid，跟 superfluid
helium-4 本质上不同。。。但 mathematical thinker 不会满意这个，mathmematical
：thinker 会追问这个粘滞度到底是不是零，如果是小量忽略，在哪一个物理效应里被
忽略。。。虽然旁人看起来确实是在钻牛角尖。

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l*******s
发帖数: 7316

251

听我的没错。 NSE一桶浆糊。
其他都是民科。

helium
10

【在 t******l 的大作中提到】

: 对于经验主义思考的，我觉得是把水归类于 newtonian fluid，跟 superfluid helium
: -4 本质上不同。。。但 mathematical thinker 不会满意这个，mathmematical
: thinker 会追问这个粘滞度到底是不是零，如果是小量忽略，在哪一个物理效应里被忽
: 略。。。虽然旁人看起来确实是在钻牛角尖。
:
: ：我不是这个意思。。。白努力方程不仅仅是科普的。我做了实验，白努力对这个 10
: cm / 1 cm 的例子符合得很好。。。小孔水速正比于液面高度的根号，也符合日常经验
: 物理图景。
: ：

t******l
发帖数: 10908

252

这个 paradox 不是特例。这个 paradox 在我们过去的中学物理，有一般性的意义。。
。这个 paradox 直接造成，在中学物理里的 ideal fluid 中学流体力学里，能量守恒
分析和 F=ma 直接分析，总是得出 paradoxical 的结果。。。这种 paradox 在中学牛
顿力学里不会出现。。。这导致某些 mathematical thinker 对中学物理的流体力学觉
得 incomprehensible，从而在人肉计算器依葫芦画瓢做完题后就不再有任何兴趣。。
。其根源我觉得是中学物理的 ideal fluid，其实是指 ideal newtonian fluid，导致
在对其数学建模上本质成为一堆霸王条款，mathless modelling。。。

：而检查这个物理模型的 mathematical 部分，看到的是：
：

t******l
发帖数: 10908

253

人与人的思考习惯不一样，mathematical thinker 就是在钻牛角尖，有点像 autism
自闭症，也是事实。

：听我的没错。 NSE一桶浆糊。
：其他都是民科。

f*******y
发帖数: 8358

254

你别瞎bb了，你先想清楚，在理想流体的情况下，垂直下流的水流，忽略任何粘滞力和
能量损失。是什么力把水流捏细的？洋洋撒撒写了一大堆暴露自己的无知罢了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 这个 paradox 不是特例。这个 paradox 在我们过去的中学物理，有一般性的意义。。
: 。这个 paradox 直接造成，在中学物理里的 ideal fluid 中学流体力学里，能量守恒
: 分析和 F=ma 直接分析，总是得出 paradoxical 的结果。。。这种 paradox 在中学牛
: 顿力学里不会出现。。。这导致某些 mathematical thinker 对中学物理的流体力学觉
: 得 incomprehensible，从而在人肉计算器依葫芦画瓢做完题后就不再有任何兴趣。。
: 。其根源我觉得是中学物理的 ideal fluid，其实是指 ideal newtonian fluid，导致
: 在对其数学建模上本质成为一堆霸王条款，mathless modelling。。。
:
: ：而检查这个物理模型的 mathematical 部分，看到的是：
: ：

f*******y
发帖数: 8358

255

这跟粘滞力有狗屁关系。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 你别瞎bb了，你先想清楚，在理想流体的情况下，垂直下流的水流，忽略任何粘滞力和
: 能量损失。是什么力把水流捏细的？洋洋撒撒写了一大堆暴露自己的无知罢了。

t******l
发帖数: 10908

256

中学物理的学生其实不会去学 NSE，连白努力都不会去学，不需要这个精度的结果。。
。中学物理的学生，也就是希望在基本概念模型的层次，能够 consistent 和 self-
telling，预测结果符合简单中学物理试验。

：听我的没错。 NSE一桶浆糊。
：其他都是民科。

t******l
发帖数: 10908

257

这个不需要粘滞力，这个只需要 “内聚力” 就可以了。。。无粘滞的 ideal fluid
是在从一个形状到另一个形状，不产生切变等等应力，也不需要能量，但还是 “内聚
” 成一坨。。。所以 superfluid helium-4 应该也一样会被捏细。

：你别瞎bb了，你先想清楚，在理想流体的情况下，垂直下流的水流，忽略任何粘滞力
和能量损失。是什么力把水流捏细的？洋洋撒撒写了一大堆暴露自己的无知罢了。
：

t******l
发帖数: 10908

258

哥们左右互勃的时候拿错器具了？@@

：这跟粘滞力有狗屁关系。
：

t******l
发帖数: 10908

259

另外这个 “捏细“ 的过程里，速度场好像不产生旋度。。。当然重力场给速度场提供
散度。。。

：这个不需要粘滞力，这个只需要 “内聚力” 就可以了。。。无粘滞的 ideal fluid
：是在从一个形状到另一个形状，不产生切变等等应力，也不需要能量，但还是 “内聚

f*******y
发帖数: 8358

260

内聚力是什么力？

【在 t******l 的大作中提到】

: 这个不需要粘滞力，这个只需要 “内聚力” 就可以了。。。无粘滞的 ideal fluid
: 是在从一个形状到另一个形状，不产生切变等等应力，也不需要能量，但还是 “内聚
: ” 成一坨。。。所以 superfluid helium-4 应该也一样会被捏细。
:
: ：你别瞎bb了，你先想清楚，在理想流体的情况下，垂直下流的水流，忽略任何粘滞力
: 和能量损失。是什么力把水流捏细的？洋洋撒撒写了一大堆暴露自己的无知罢了。
: ：

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l*******s
发帖数: 7316

261

现在任何老师讲流体力学不从NSE下手都是误人子弟。

【在 t******l 的大作中提到】

: 中学物理的学生其实不会去学 NSE，连白努力都不会去学，不需要这个精度的结果。。
: 。中学物理的学生，也就是希望在基本概念模型的层次，能够 consistent 和 self-
: telling，预测结果符合简单中学物理试验。
:
: ：听我的没错。 NSE一桶浆糊。
: ：其他都是民科。

t******l
发帖数: 10908

262

保持容积守恒约束的力，区别于液态和气态（指 ideal fluid vs ideal gas）

：内聚力是什么力？
：

t******l
发帖数: 10908

263

那个是 BBS 行为艺术部分。。。其实我没去看 NSE，一般中学物理而不是流体专业的
，了解基本概念更有意思。具体公式忒繁琐了，杀兴趣。

：现在任何老师讲流体力学不重NSE下手都是误人子弟。
：【在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】

f*******y
发帖数: 8358

264

这个力有多大？怎么算？
你就瞎bb吧。哈哈哈

【在 t******l 的大作中提到】

: 保持容积守恒约束的力，区别于液态和气态（指 ideal fluid vs ideal gas）
:
: ：内聚力是什么力？
: ：

t******l
发帖数: 10908

265

很多维持约束的力，在中学物理数学的范畴，很难计算。
在 superfluid helium-4 这种 ideal fluid 的情况，牛顿力学不一定能算这个内部的
力（区别于表面上的力）。。。因为 superfluid 用牛逼顿的光滑小球建模，可能要到
实数集层次的无限可分，如果出现 uncountable subset（不一定是 volume，因为容积
守恒要求 measurable，必须 countable。但 uncountable subset of surface 是可能
允许的，因为 ideal fluid 不要求表面积守恒），这样有导致在过程之中数学上都无
法计算这个力的可能。
当然真正的 ideal fluid superfluid helium-4，用薛定谔的猫，不需要无限可分的实
数集。但也不一定有通常的宏观牛顿力学的 “力” 的概念。

：这个力有多大？怎么算？
：你就瞎bb吧。哈哈哈

t******l
发帖数: 10908

266

但对捏细这个例子而不是鸭璞搅屎棍的例子，superfluid 的只要允许速度场有旋度，
这个
力也是可以算的（不出现 uncountable subset of surface）。。。这么说
superfluid helium-4 下坠时不一定会均匀捏细，不排除出现小范围涡流的可能？

：这个力有多大？怎么算？
：你就瞎bb吧。哈哈哈

f*******y
发帖数: 8358

267

你又开始扯了，这其实是白努力效应。中间的流速比边上的大，水流就会压向中间。这
个和速度散度为零是统一的。navier-stokes 方程和欧拉方程是统一的，只是多了粘滞
力一项而已。白努力方程其实是navier-stokes方程的一个特殊情况。所以navier-
stokes方程没有什么神秘的。而且还是个比较低阶偏微分方程。非常容易解。

【在 t******l 的大作中提到】

: 很多维持约束的力，在中学物理数学的范畴，很难计算。
: 在 superfluid helium-4 这种 ideal fluid 的情况，牛顿力学不一定能算这个内部的
: 力（区别于表面上的力）。。。因为 superfluid 用牛逼顿的光滑小球建模，可能要到
: 实数集层次的无限可分，如果出现 uncountable subset（不一定是 volume，因为容积
: 守恒要求 measurable，必须 countable。但 uncountable subset of surface 是可能
: 允许的，因为 ideal fluid 不要求表面积守恒），这样有导致在过程之中数学上都无
: 法计算这个力的可能。
: 当然真正的 ideal fluid superfluid helium-4，用薛定谔的猫，不需要无限可分的实
: 数集。但也不一定有通常的宏观牛顿力学的 “力” 的概念。
:

l*******s
发帖数: 7316

268

我不是说白努力不能讲，不能用。实际上用在这个题就很好。
只是必须从NSE讲起。然后引入近似。
比如，引入无粘滞，不导热，得到欧拉方程
再引入不可压，稳态，得到白努力。
这样使用者就知道，当使用白努力方程是有那些近似。
其实还可以仔细讲这些近似在不同场合的影响有多大。
所以我说不从NSE讲起的都是误人子弟。

cm

【在 t******l 的大作中提到】

: 我不是这个意思。。。白努力方程不仅仅是科普的。我做了实验，白努力对这个 10 cm
: / 1 cm 的例子符合得很好。。。小孔水速正比于液面高度的根号，也符合日常经验物
: 理图景。
: 但是白努力这个无粘滞稳态模型，对 mathematical thinker 而言，存在一个 “无粘
: 滞” 和 “稳态” paradox。。。我现在有一个更简单的阐述这个 paradox 的描述。
: 。。就是用稳态无粘滞白努力方程的结果，杯中水的质心下降的加速度是减速下降的。
: 。。但是如果用白努力稳态加无粘滞，对杯底进行 F=ma 受力分析，会得出杯中水的质
: 心是以 g/100 的加速度加速下降的。。。也就是同样用无粘滞稳态，得出杯中水的质
: 心加速度的 paradoxical 的结果。。。这个对经验主义思考型可能没啥，但对
: mathematical thinker 总之是一个需要解开的结。

f*******y
发帖数: 8358

269

扯淡。流体力学都是从欧拉方程开始的。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 我不是说白努力不能讲，不能用。实际上用在这个题就很好。
: 只是必须从NSE讲起。然后引入近似。
: 比如，引入无粘滞，不导热，得到欧拉方程
: 再引入不可压，稳态，得到白努力。
: 这样使用者就知道，当使用白努力方程是有那些近似。
: 其实还可以仔细讲这些近似在不同场合的影响有多大。
: 所以我说不从NSE讲起的都是误人子弟。
:
: cm

l*******s
发帖数: 7316

270

我说了，那些不从NSE讲起的，都是误人子弟。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 扯淡。流体力学都是从欧拉方程开始的。

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f*******y
发帖数: 8358

271

扯淡。朗道的流体力学第一章就是欧拉方程。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 我说了，那些不从NSE讲起的，都是误人子弟。

t******l
发帖数: 10908

272

我上面确实是扯。。。如果你能用同样的方式解释一下 superfluid helium-4 的
creep out container 的效应，你就能解答我的疑惑。。。虽然 superfluid helium-4
在物理上是用量子力学描述的，但既然在宏观特征上是一个 zero viscosity 的
ideal fluid，那么用 continuum physics 应该也能描述其 creep out container 的
效应是不是？

：你又开始扯了，这其实是白努力效应。中间的流速比边上的大，水流就会压向中间。
这个和速度散度为零是统一的。navier-stokes 方程和欧拉方程是统一的，只是多了粘
滞力一项而已。白努力方程其实是navier-stokes方程的一个特殊情况。所以navier-
：stokes方程没有什么神秘的。而且还是个比较低阶偏微分方程。非常容易解。

f*******y
发帖数: 8358

273

朗道的《流体力学》的目录

【在 f*******y 的大作中提到】

: 扯淡。朗道的流体力学第一章就是欧拉方程。

t******l
发帖数: 10908

274

为啥中间流速会比边上大，而不是反过来？

：你又开始扯了，这其实是白努力效应。中间的流速比边上的大，水流就会压向中间。
这个和速度散度为零是统一的。navier-stokes 方程和欧拉方程是统一的，只是多了粘
滞力一项而已。白努力方程其实是navier-stokes方程的一个特殊情况。所以navier-
：stokes方程没有什么神秘的。而且还是个比较低阶偏微分方程。非常容易解。

l*******s
发帖数: 7316

275

你可以找100本流体力学第一章就是欧拉方程。
并不表示，这是最好的方式。
很多都是因为早期作者知识的局限，后来的作者照抄早期的。
最好的方式是从NSE讲起。知识系统，学生容易接受。
所以说，任何人现在不从NSE讲起，都是误人子弟。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 扯淡。朗道的流体力学第一章就是欧拉方程。

f*******y
发帖数: 8358

276

反过来水流就会变胖。

【在 t******l 的大作中提到】

: 为啥中间流速会比边上大，而不是反过来？
:
: ：你又开始扯了，这其实是白努力效应。中间的流速比边上的大，水流就会压向中间。
: 这个和速度散度为零是统一的。navier-stokes 方程和欧拉方程是统一的，只是多了粘
: 滞力一项而已。白努力方程其实是navier-stokes方程的一个特殊情况。所以navier-
: ：stokes方程没有什么神秘的。而且还是个比较低阶偏微分方程。非常容易解。

f*******y
发帖数: 8358

277

你还真行。。。。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 你可以找100本流体力学第一章就是欧拉方程。
: 并不表示，这是最好的方式。
: 很多都是因为早期作者知识的局限，后来的作者照抄早期的。
: 最好的方式是从NSE讲起。知识系统，学生容易接受。
: 所以说，任何人现在不从NSE讲起，都是误人子弟。

t******l
发帖数: 10908

278

另外如果中间速度比边上大，那这个速度场存在旋度是不是？
这个说明了我前面猜测 superfluid helium-4 捏细过程中不产生旋度是错误的。。。
旋度会产生。

：你又开始扯了，这其实是白努力效应。中间的流速比边上的大，水流就会压向中间。
这个和速度散度为零是统一的。navier-stokes 方程和欧拉方程是统一的，只是多了粘
滞力一项而已。白努力方程其实是navier-stokes方程的一个特殊情况。所以navier-
：stokes方程没有什么神秘的。而且还是个比较低阶偏微分方程。非常容易解。

f*******y
发帖数: 8358

279

是的。。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 另外如果中间速度比边上大，那这个速度场存在旋度是不是？
: 这个说明了我前面猜测 superfluid helium-4 捏细过程中不产生旋度是错误的。。。
: 旋度会产生。
:
: ：你又开始扯了，这其实是白努力效应。中间的流速比边上的大，水流就会压向中间。
: 这个和速度散度为零是统一的。navier-stokes 方程和欧拉方程是统一的，只是多了粘
: 滞力一项而已。白努力方程其实是navier-stokes方程的一个特殊情况。所以navier-
: ：stokes方程没有什么神秘的。而且还是个比较低阶偏微分方程。非常容易解。

l*******s
发帖数: 7316

280

本人有幸上博士的时候上了一位两相流超级大牛的课。很多公式以他的名字命名的。
我不能透露更多了，不然容易被人肉。
他给我们讲课就是从general transport equation讲起，然后导出NSE。
我是终身受益。
虽然我主业不是流体，但还是非常相关的专业。
我在大学课堂讲这部分内容时一定是从NSE讲起。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 你还真行。。。。

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t******l
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281

别人问你美女为啥吃多了就长胖，你居然回答说吃少了就廋。。。// run

：反过来水流就会变胖。
：

t******l
发帖数: 10908

282

我觉得从概念上说，这样讲是对的，在简化时至少要展望一下。
我觉得中学物理不必引入 NSE 的具体方程，但是引入 ideal newtonian fluid vs
ideal superfluid 的概念，没啥不好，而且也增加兴趣。。。中学没有条件做
superfluid helium-4的实验，但现在 internet 时代放个视频也不贵。。。

：本人有幸上博士的时候上了以为两相流超级大牛的科。很多公式以他的名字命名的。
：我不能透露更多了，不然容易被人肉。

f*******y
发帖数: 8358

283

那只是你一些偏见罢了。流体力学的大牛不代表什么。跟我一起合带学生的就有顶级的
流体大师。我不是教流体力学的。我只是教传导。我本身也不是学流体出生的，也没上
过流体的课。我只是对流体略知一二罢了。至少朗道的书读下来，没有什么晦涩不好懂
的地方，很清楚。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 本人有幸上博士的时候上了一位两相流超级大牛的课。很多公式以他的名字命名的。
: 我不能透露更多了，不然容易被人肉。
: 他给我们讲课就是从general transport equation讲起，然后导出NSE。
: 我是终身受益。
: 虽然我主业不是流体，但还是非常相关的专业。
: 我在大学课堂讲这部分内容时一定是从NSE讲起。

t******l
发帖数: 10908

284

不同的人的思考偏好不同我觉得。。。我支持大牛们撕逼，学生们观战。。。// run

：那只是你一些偏见罢了。流体力学的大牛不代表什么。跟我一起合带学生的就有顶级
的流体大师。我不是教流体力学的。我只是教传导。我本身也不是学流体出生的，也没
上过流体的课。我只是对流体略知一二罢了。至少朗道的书读下来，没有什么晦涩不好
懂的地方，很清楚。
：

l*******s
发帖数: 7316

285

这不是难懂不难懂的问题。
有些东西容易先入为主。从一个近似的方程讲起，往往容易让学生忽略的它的近似条件。
有些人可能认为应该由浅入深，但就NSE和欧拉方程来说，本来也不存在哪个浅哪个深
的问题。
NSE求解更难一些，但建立NSE更自然。
所以先引入NS方程，然后讲简化的方程，简化过程中引入的近似，已经这些近似在各
种情况下的影响的两季，近似求解方法。最后再讲NS方程求解。
这觉得是最佳讲法。
其他都容易引起误解或者浪费时间。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 那只是你一些偏见罢了。流体力学的大牛不代表什么。跟我一起合带学生的就有顶级的
: 流体大师。我不是教流体力学的。我只是教传导。我本身也不是学流体出生的，也没上
: 过流体的课。我只是对流体略知一二罢了。至少朗道的书读下来，没有什么晦涩不好懂
: 的地方，很清楚。

t******l
发帖数: 10908

286

我猜测一下这个问题。。。我猜这个 ideal fluid vs ideal gas 的区别，是 ideal
fluid 需要保持容积约束。。。这样的话，在受力分析的时候，取决于具体情况，在需
要的时候，ideal fluid 需要一个微小 “内聚力”，以提供容积约束。。。否则小孔
下去的就不是捏细的水流，而是天女散花的 ideal gas 了。
但是 paradoxical 的是，我猜这个内部的微小内聚力，不一定在任何情况下任何地方
都 mathematical measurable，否则有可能会跟 ideal fluid 的 zero viscosity 产
生 paradox（跟守恒冲突）。。。我猜这是数学模型上的 non-measurable。

：反过来水流就会变胖。

f*******y
发帖数: 8358

287

你在说什么?引入欧拉方程的方法难道不是和引入NS方程一模一样的?这两个方程本来就
是一回事。难度上没有区别。区别就是欧拉方程对应理想流体，NS方程对应粘性流体。
难道你是先讲viscous fluid 再讲ideal fluid ?这么诡异的讲法我还是第一次听说。

: 这不是难懂不难懂的问题。

: 有些东西容易先入为主。从一个近似的方程讲起，往往容易让学生忽略的它的近
似条件。

: 有些人可能认为应该由浅入深，但就NSE和欧拉方程来说，本来也不存在哪个浅
哪个深

: 的问题。

: NSE求解更难一些，但建立NSE更自然。

: 所以先引入NS方程，然后讲简化的方程，简化过程中引入的近似，已经这些近
似在各

: 种情况下的影响的两季，近似求解方法。最后再讲NS方程求解。

: 这觉得是最佳讲法。

: 其他都容易引起误解或者浪费时间。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 这不是难懂不难懂的问题。
: 有些东西容易先入为主。从一个近似的方程讲起，往往容易让学生忽略的它的近似条件。
: 有些人可能认为应该由浅入深，但就NSE和欧拉方程来说，本来也不存在哪个浅哪个深
: 的问题。
: NSE求解更难一些，但建立NSE更自然。
: 所以先引入NS方程，然后讲简化的方程，简化过程中引入的近似，已经这些近似在各
: 种情况下的影响的两季，近似求解方法。最后再讲NS方程求解。
: 这觉得是最佳讲法。
: 其他都容易引起误解或者浪费时间。

t******l
发帖数: 10908

288

但祥林嫂以前一直以为房子前面夏天小溪里的水是 ideal fluid，不知道其实是要把
helium-4 差点冻成冰棍才算 ideal fluid。。。

：你在说什么?引入欧拉方程的方法难道不是和引入NS方程一模一样的?这两个方程本来
就是一回事。难度上没有区别。区别就是欧拉方程对应理想流体，NS方程对应粘性流体
。难道你是先讲viscous fluid 再讲ideal fluid ?这么诡异的讲法我还是第一次听说。

l*******s
发帖数: 7316

289

这就是我说的容易误解。
N-S方程是针对一般流体，不仅仅是粘性流体。
欧拉是它的近似。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 你在说什么?引入欧拉方程的方法难道不是和引入NS方程一模一样的?这两个方程本来就
: 是一回事。难度上没有区别。区别就是欧拉方程对应理想流体，NS方程对应粘性流体。
: 难道你是先讲viscous fluid 再讲ideal fluid ?这么诡异的讲法我还是第一次听说。
:
:
: 这不是难懂不难懂的问题。
:
: 有些东西容易先入为主。从一个近似的方程讲起，往往容易让学生忽略的它的近
: 似条件。
:
: 有些人可能认为应该由浅入深，但就NSE和欧拉方程来说，本来也不存在哪个浅
: 哪个深
:
: 的问题。

f*******y
发帖数: 8358

290

什么叫一般流体? 定义你的"一般流体"

: 这就是我说的容物误解。

: N-S方程是针对一般流体，不仅仅是粘性流体。

: 欧拉是它的近似。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 这就是我说的容易误解。
: N-S方程是针对一般流体，不仅仅是粘性流体。
: 欧拉是它的近似。

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l*******s
发帖数: 7316

291

所有流体

【在 f*******y 的大作中提到】

: 什么叫一般流体? 定义你的"一般流体"
:
:
: 这就是我说的容物误解。
:
: N-S方程是针对一般流体，不仅仅是粘性流体。
:
: 欧拉是它的近似。
:

t******l
发帖数: 10908

292

我觉得我们过去高中物理的 ideal liquid 的概念是有理论自洽性方面的漏洞的。。。
应该说成 ideal newtonian liquid 才能在高中物理里自洽。。。也就是说想象成一群
刚体小球，这些小球之间，只有微小的内聚力使其抱成一团容积守恒。而在稳态分析的
时候，那些刚体小球之间有着微小的摩擦力是其保持稳态。。。这些微小的内聚力摩擦
力极其微小，但不为零，只是用于保持液态和保持稳态最小的要求，通常情况下对总能
量和总动量的影响忽略不计。
上面这么说虽然稍微啰嗦一点，但能保持自洽。。。一个类比的例子，高中力学里的单
摆小角度摆动，其近似就阐述的很严格自洽。

：什么叫一般流体? 定义你的"一般流体"

f*******y
发帖数: 8358

293

我没法理解。欧拉方程不是近似方程。本身也是严格推导出来的。你说欧拉方程是近似
。近似在什么地方。

: 所有流体

【在 l*******s 的大作中提到】

: 所有流体

t******l
发帖数: 10908

294

近似在建模我觉得。。。欧拉不会给 BMW 3 系列换机油。

：我没法理解。欧拉方程不是近似方程。本身也是严格推导出来的。你说欧拉方程是近
似。近似在什么地方。

l*******s
发帖数: 7316

295

近似在无粘性和不导热。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 我没法理解。欧拉方程不是近似方程。本身也是严格推导出来的。你说欧拉方程是近似
: 。近似在什么地方。
:
:
: 所有流体
:

f*******y
发帖数: 8358

296

NS方程也没法计算伴随化学反应的流体，按你的说法只能算近似方程。

: 所有流体

【在 l*******s 的大作中提到】

: 近似在无粘性和不导热。

f*******y
发帖数: 8358

297

这是适用范围。不是近似。而且欧拉方程适用于可压流体。参见朗道的流体力学。

: 近似在无粘性和不可压。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 近似在无粘性和不导热。

t******l
发帖数: 10908

298

我猜是数学上的自洽性要求。。。祥林嫂门口的小溪里没啥化学反应（ideal
newtonian liquid）。。。但是流着超低温 superfluid helium-4 的小溪不常见。

：NS方程也没法计算伴随化学反应的流体，按你的说法只能算近似方程。

f*******y
发帖数: 8358

299

这个理解是对的。我同意。

: 近似在建模我觉得。。。欧拉不会给 BMW 3 系列换机油。

: ：我没法理解。欧拉方程不是近似方程。本身也是严格推导出来的。你说欧拉方
程是近

: 似。近似在什么地方。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我猜是数学上的自洽性要求。。。祥林嫂门口的小溪里没啥化学反应（ideal
: newtonian liquid）。。。但是流着超低温 superfluid helium-4 的小溪不常见。
:
: ：NS方程也没法计算伴随化学反应的流体，按你的说法只能算近似方程。

t******l
发帖数: 10908

300

除了 superfluid helium-4，没有无粘性的流体。。。而粘性对是否能保持稳态过程影
响很大。。。所以笼统一刀切的无粘性，在宏观力学上的适用范围为空集（对于
mathematical thinker 而言）。。。必须附带说明无粘性的 context，才有实用中的
适用范围的意义。

：这是适用范围。不是近似。而且欧拉方程适用于可压流体。参见朗道的流体力学。

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f*******y
发帖数: 8358

301

伴随化学反应的流体也可以建立数学上自洽的方程。稍微修改一下就可以了。

: 我猜是数学上的自洽性要求。。。祥林嫂门口的小溪里没啥化学反应（ideal

: newtonian liquid）。。。但是流着超低温 superfluid helium-4 的小溪不常
见。

: ：NS方程也没法计算伴随化学反应的流体，按你的说法只能算近似方程。

【在 t******l 的大作中提到】

: 除了 superfluid helium-4，没有无粘性的流体。。。而粘性对是否能保持稳态过程影
: 响很大。。。所以笼统一刀切的无粘性，在宏观力学上的适用范围为空集（对于
: mathematical thinker 而言）。。。必须附带说明无粘性的 context，才有实用中的
: 适用范围的意义。
:
: ：这是适用范围。不是近似。而且欧拉方程适用于可压流体。参见朗道的流体力学。

f*******y
发帖数: 8358

302

理论可以不关心实际。

: 除了 superfluid helium-4，没有无粘性的流体。。。而粘性对是否能保持稳态
过程影

: 响很大。。。所以笼统的无粘性，在宏观力学上的适用范围为空集。。。必须附
带说明

: 无粘性的 context，才有实用中的适用范围的意义。

: ：这是适用范围。不是近似。而且欧拉方程适用于可压流体。参见朗道的流体力
学。

【在 t******l 的大作中提到】

l*******s
发帖数: 7316

303

好吧. 就算不要求不可压。有多少欧拉方稳的后用是用在完全无粘性流体？你说这不是
近似。
近似并不可怕。可怕的是有近似而不知道，盲目近似，就容易出错。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 这是适用范围。不是近似。而且欧拉方程适用于可压流体。参见朗道的流体力学。
:
:
: 近似在无粘性和不可压。
:

t******l
发帖数: 10908

304

我没说化学反应流体不能自洽，我是说笼统一刀切无粘性的流体，在博努力方程上下文
（稳态过程）无法自洽。。。因为许多例子里，一做表面受压对质心加速度分析，就
paradox 了。。。无粘性 vs 稳态，在许多题目里，是逻辑上矛盾的东西。

：伴随化学反应的流体也可以建立数学上自洽的方程。稍微修改一下就可以了。

f*******y
发帖数: 8358

305

这个我同意。我一开始就反对用白努力方程算题。但是对于理想流体，欧拉方程就是严
格方程，不存在近似的说法。

: 好吧. 就算不要求不可压。有多少欧拉方稳的后用是用在完全无粘性流体？你说
这不是

: 近似。

: 近似并不可怕。可怕的是有近似而不知道，盲目近似，就容易出错。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 好吧. 就算不要求不可压。有多少欧拉方稳的后用是用在完全无粘性流体？你说这不是
: 近似。
: 近似并不可怕。可怕的是有近似而不知道，盲目近似，就容易出错。

t******l
发帖数: 10908

306

以前搞实际的可以不关心理论，或者数学理论。。。但现在是 computational 的年代
，mathless physician 不顾函数的 computational condition 乱按数值积分器，那好
像也不行。
而在 computational 的范畴里，你说是零，还是微微小量，是完全不同的。。。如果
是零，additive identify，那就是在加法器上直接不做。。。但你要说微微小量，即
使没有具体数值，计算算法也可以根据需求自适应产生小量。。。比如小量要求是抵抗
旋度，那设计的时候也可以在旋度上放上数字自阻尼，避免计算结果不稳定，并且符合
实际。

：理论可以不关心实际。

t******l
发帖数: 10908

307

近似的问题不在于欧拉方程本身，数学本身无所谓近似一说。问题在于理想流体。

：这个我同意。我一开始就反对用白努力方程算题。但是对于理想流体，欧拉方程就是
严格方程，不存在近似的说法。
：

t******l
发帖数: 10908

308

可以不关心实际，但 mathematical science 要求数学上自洽，否则 computational
buggable 。。。当然 mathless science 不用这么严格就是了。。。

：理论可以不关心实际。

r*s
发帖数: 2555

309

“理论可以不关心实际”，那叫狗屁理论。

f*******y
发帖数: 8358

310

白努力方程当然是自洽的。你觉得不自洽那是你用错了。

: 我没说化学反应流体不能自洽，我是说笼统一刀切无粘性的流体，在博努力方程
上下文

: （稳态过程）无法自洽。。。因为许多例子里，一做表面受压对质心加速度分析
，就

: paradox 了。。。无粘性 vs 稳态，在许多题目里，是逻辑上矛盾的东西。

: ：伴随化学反应的流体也可以建立数学上自洽的方程。稍微修改一下就可以了。

【在 t******l 的大作中提到】

: 可以不关心实际，但 mathematical science 要求数学上自洽，否则 computational
: buggable 。。。当然 mathless science 不用这么严格就是了。。。
:
: ：理论可以不关心实际。

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f*******y
发帖数: 8358

311

这里讨论的所有流体理论数学上都是自洽的

: 可以不关心实际，但 mathematical science 要求数学上自洽，否则
computational

: buggable 。。。当然 mathless science 不用这么严格就是了。。。

: ：理论可以不关心实际。

【在 t******l 的大作中提到】

t******l
发帖数: 10908

312

类比通用算法上不自洽。至于专用算法，上霸王条款足够一堆变量不看，想自洽都是可
以的。
好比类比马工的，如果在通用算法上不自洽，你未必能用 x86 math coprocessor。。
。因为 complier 的 optimizer 和 x86 的超级标量流水线，会优化实际的操作。。。
所以大家需要 IEEE float pointer 标准，在这个标准上自洽。

：白努力方程当然是自洽的。你觉得不自洽那是你用错了。

t******l
发帖数: 10908

313

对于马工而言，这个得看你能不能 formally 定义用对 vs 用错，否则就是罗素的理发
师。

：白努力方程当然是自洽的。你觉得不自洽那是你用错了。

l*******s
发帖数: 7316

314

对于理想流体，欧拉方程就是严格方程.
可是什么是“理想”流体？谁在用欧拉方程研究“理想”流体？
强调欧拉方程方程应用于接近“理想”流体是NS方程的近似，
是绝对有必要，并且不费功夫的。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 这个我同意。我一开始就反对用白努力方程算题。但是对于理想流体，欧拉方程就是严
: 格方程，不存在近似的说法。
:
:
: 好吧. 就算不要求不可压。有多少欧拉方稳的后用是用在完全无粘性流体？你说
: 这不是
:
: 近似。
:
: 近似并不可怕。可怕的是有近似而不知道，盲目近似，就容易出错。
:

t******l
发帖数: 10908

315

对于马工的实际 implementation 而言，这个 formally 的比方就是，如果给定可用东
东的集合，你有没有一个无二义的 rule set，在给出任何一个可选的 choice 的时候
，该 rule set 能够给出一个 yes / no 的 answer，并且该 rule set 里，所有不同
的 proof path 都给出同样的 yes / no answer。
否则的话，就是不自洽，一般导致 implementation buggable，如果不是 core-
dumpable。。。

：对于马工而言，这个得看你能不能 formally 定义用对 vs 用错，否则就是罗素的理
发师。

r*s
发帖数: 2555

316

Bernoulli's 方程用到三桶问题上的硬伤是稳态问题，三桶问题不是稳态，但
Bernoulli's方程是，这里的假设就是把连续的过程分割成n个时间段，在每个时间段里
把三桶问题近似成稳态，这个肯定带来误差，如果桶横截面足够大，那么桶里的水面下
降速度U<<水流通过小孔的速度v, 误差就不那么大。

t******l
发帖数: 10908

317

其实 IEEE float pointer 标准很难数学意义上做到不论机器都自洽，特别是对于
iterative solver。。。因为换台机器 round off error 就不一样，IEEE float
pointer 标准没法管那个。。。所以算法还是有 computational more stable 和
computational less
stable 之分。。。也可以认为是一种广义上的自洽性。

：类比通用算法上不自洽。至于专用算法，上霸王条款足够一堆变量不看，想自洽都是
可以的。

t******l
发帖数: 10908

318

如果再考虑三维，如果不是稳态的话，水面不能保证是平面。。。对于 10 cm 桶，对
我穷鳖三而言，是浪费了资本家的两个杯子四个回形针看了一下是不是平面。。。当然
你们可以用数字风洞这种高级货，做 computational 实验。。。

：Bernoulli's 方程用到三桶问题上的硬伤是稳态问题，三桶问题不是稳态，但
：Bernoulli's方程是，这里的假设就是把连续的过程分割成n个时间段，在每个时
间段里把三桶问题近似成稳态，这个肯定带来误差，如果桶横截面足够大，那么桶里的
水面下降速度U<<水流通过小孔的速度v, 误差就不那么大。

l*******s
发帖数: 7316

319

你说的没错。
general transport equation 并不排斥化学反应引起的源项和消失项。
所以用户要知道所用的方程有没有缺项。
在我讲NSE的时候都会强调，还有其他可能的源项和消失项，
在我们的应用这些项不重要，所以不讨论。

【在 f*******y 的大作中提到】

: NS方程也没法计算伴随化学反应的流体，按你的说法只能算近似方程。
:
:
: 所有流体
:

t******l
发帖数: 10908

320

所以人类的希望就在于数字风洞小型化高速化，每个航空发动机上装仨，每个机翼尾翼
上来五套。。。这样啥飞控计算机近似算法，都是屎，板砖上天都毫无压力。。。//
run

：如果再考虑三维，如果不是稳态的话，水面不能保证是平面。。。对于 10 cm 桶，对
：我穷鳖三而言，是浪费了资本家的两个杯子四个回形针看了一下是不是平面。。。当
然你们可以用数字风洞这种高级货，做 computational 实验。。。

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f*******y
发帖数: 8358

321

错。博努力方程从来都是用来算速度分布的。流速是速度分布在一个轴向投影的积分。
这就是为什么你们的算法漏洞百出。速度散度也没法为零。所以整个概念都错了。博努
力方程这么用，博努力估计能才坟墓里面气活过来。

: Bernoulli's 方程用到三桶问题上的硬伤是稳态问题，三桶问题不是稳态，但

: Bernoulli's方程是，这里的假设就是把连续的过程分割成n个时间段，在每个时
间段里

: 把三桶问题近似成稳态，这个肯定带来误差，如果桶横截面足够大，那么桶里的
水面下

: 降速度U

【在 r*s 的大作中提到】

: Bernoulli's 方程用到三桶问题上的硬伤是稳态问题，三桶问题不是稳态，但
: Bernoulli's方程是，这里的假设就是把连续的过程分割成n个时间段，在每个时间段里
: 把三桶问题近似成稳态，这个肯定带来误差，如果桶横截面足够大，那么桶里的水面下
: 降速度U<<水流通过小孔的速度v, 误差就不那么大。

r*s
发帖数: 2555

322

我指的稳态是桶里水面高度不变，对于三桶问题这是不可能的。
严格的讲就用NSE建个模型，看看NSE模拟出来的结果和用Bernoulli's 方程计算的有多
大区别。

【在 t******l 的大作中提到】

: 如果再考虑三维，如果不是稳态的话，水面不能保证是平面。。。对于 10 cm 桶，对
: 我穷鳖三而言，是浪费了资本家的两个杯子四个回形针看了一下是不是平面。。。当然
: 你们可以用数字风洞这种高级货，做 computational 实验。。。
:
: ：Bernoulli's 方程用到三桶问题上的硬伤是稳态问题，三桶问题不是稳态，但
: ：Bernoulli's方程是，这里的假设就是把连续的过程分割成n个时间段，在每个时
: 间段里把三桶问题近似成稳态，这个肯定带来误差，如果桶横截面足够大，那么桶里的
: 水面下降速度U<<水流通过小孔的速度v, 误差就不那么大。

t******l
发帖数: 10908

323

我觉得最感兴趣的是，如果粘度为真正零，NSE 导致啥结果？跟水相差多少？。。。还
有 NSE 模拟出来的速度场的 plot 图，在小孔附近的敌我战略形式一览图。。。

：我指的稳态是桶里水面高度不变，对于三桶问题这是不可能的。
：

r*s
发帖数: 2555

324

"流速是速度分布在一个轴向投影的积分。"
难怪你的学生记不住。

r*s
发帖数: 2555

325

我不搞CFD，就请那位大拿搞个呗
任何流体都有viscosity （除非是超级流体）, 用NSE只是把动态过程考虑进去，

【在 t******l 的大作中提到】

: 我觉得最感兴趣的是，如果粘度为真正零，NSE 导致啥结果？跟水相差多少？。。。还
: 有 NSE 模拟出来的速度场的 plot 图，在小孔附近的敌我战略形式一览图。。。
:
: ：我指的稳态是桶里水面高度不变，对于三桶问题这是不可能的。
: ：

t******l
发帖数: 10908

326

我开始时的问题，就是错在认为水这种流体当成高中理想流体，没有 viscosity。
Sigh，你应该在我读高中的时候告诉我这句话的。。。而今木已成舟，青山依旧在，几
度夕阳红啊啊啊。。。

：我不搞CFD，就请那位大拿搞个呗

l*******s
发帖数: 7316

327

借timefall一句话（我做了点小修改，可能更准确一点）：
目前除了 superfluid helium-4，没发现其他无粘性的流体
问题是欧拉拿他的方程研究superfluid helium-4吗？
欧拉知道有superfluid helium-4吗？
有多少人用欧拉方程研究superfluid helium-4？
大部分研究者都是用欧拉方程研究有粘性的流体，
只是粘性在他们研究的问题中不会产生可觉察到的影响。
所以从NS方程开始，然后比较粘滞项和其他项，
比如压力，动量，加速，引力等项的量级。
在粘滞项远小于其他项的情况下，假设粘滞系数为零。从而得到欧拉方程。
这样，研究者就知道所用的方程有近似，并且知道近似所带来的影响的量级。
这才是正确的方法。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 我没法理解。欧拉方程不是近似方程。本身也是严格推导出来的。你说欧拉方程是近似
: 。近似在什么地方。
:
:
: 所有流体
:

r*s
发帖数: 2555

328

有些流体力学的教课书是从F=ma推导Bernoulli's 方程，在推导过程中假设由于流体的
粘性造成的流体和流体壁的摩擦力远小于其他力：重力，流体内部的压力，这样就可以
不考虑流体的粘性，但并不代表这流体的viscosity=0.

【在 t******l 的大作中提到】

: 我开始时的问题，就是错在认为水这种流体当成高中理想流体，没有 viscosity。
: Sigh，你应该在我读高中的时候告诉我这句话的。。。而今木已成舟，青山依旧在，几
: 度夕阳红啊啊啊。。。
:
: ：我不搞CFD，就请那位大拿搞个呗

t******l
发帖数: 10908

329

属实。。。而我高中的问题就是，老师告诉我们，水的粘性是可以忽略的。。。于是我
忽略了水的粘性后，对杯底压力和杯中水的质心加速度做了一个受力加速度分析，悲剧
了。。。然后就法兰西是培根了 N 多年。
结果后来有人告诉我，我的那个叫 superfluid helium-4，不是水。。。没人敢在那里
面游泳，啥 breast stroke / butterfly stroke 都不照。

：借timefall一句话：
：目前除了 superfluid helium-4，没发现其他无粘性的流体

t******l
发帖数: 10908

330

不早说啊。。。现在黄花菜都已经凉了几茬了。。。
不过古人云：中午闻道，遂长命百岁。。。互勉。

：有些流体力学的教课书是从F=ma推导Bernoulli's 方程，在推导过程中假设由于
流体的粘性造成的流体和流体壁的摩擦力远小于其他力：重力，流体内部的压力，这样
就可以不考虑流体的粘性，但并不代表这流体的viscosity=0.
：

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l*******s
发帖数: 7316

331

就是。
问题是这些高中老师自己接受的教育就是水都可以应用白努力方程，没有近似。
所以我说不从NSE讲起就是误人子弟。至少在大学课堂上要教清楚这些近似，
那些高中老师才能明白该怎么讲。

【在 t******l 的大作中提到】

: 属实。。。而我高中的问题就是，老师告诉我们，水的粘性是可以忽略的。。。于是我
: 忽略了水的粘性后，对杯底压力和杯中水的质心加速度做了一个受力加速度分析，悲剧
: 了。。。然后就法兰西是培根了 N 多年。
: 结果后来有人告诉我，我的那个叫 superfluid helium-4，不是水。。。没人敢在那里
: 面游泳，啥 breast stroke / butterfly stroke 都不照。
:
: ：借timefall一句话：
: ：目前除了 superfluid helium-4，没发现其他无粘性的流体

t******l
发帖数: 10908

332

其实我觉得有一个有趣的 open end question。。。如果 viscosity = 0 和微小的
viscosity 的液体的行为差别迥异。。。而 superfluid helium-4 (或者helium-3) 是
目前唯一已知有 superfluidity 的液体。。。再加上 helium-4 是宇宙中可能是第二
丰富的元素了。。。这个问题是 Why? Why helium-4? Why not for hydrogen? 。。。
superfluidity 对 forming and evolving the universe 有没有影响。。。Why
superfluidity could actually happen at all?。。。 Could there be anything
connect to the (mysterious) arrow of time?。。。

：就是。
：问题是这些高中老师自己接受的教育就是水都可以应用白努力方程，没有近似。

l*******s
发帖数: 7316

333

水的粘滞系数：0.00179Pa*s
所以粘滞项要跟重力项相当的话，速度梯度要达到5.47E6 m/s/m
也就是在轴向速度在径向上的变化是每米 5百万m/s。
如果实际速度梯度是5m/s/m的话，粘滞项是重力项的百万分之一。
在流体模拟计算中，精度能达到千分之一，你就烧高香了。
像这些基本概念都应该讲的。

【在 t******l 的大作中提到】

t******l
发帖数: 10908

334

如果觉得这个不是个问题的话。。。那我们现在已经发现了许许多多种
superconductor 了（在电磁相互作用方面）。。。当去掉电磁相互作用以后，在类似
的 superfluidity 的属性方面，我们目前只却发现了一种，还碰巧是嘎丰富 helium-4
，但更丰富的 hydrogen 却不照？。。。

：其实我觉得有一个有趣的 open end question。。。如果 viscosity = 0 和微小的
：viscosity 的液体的行为差别迥异。。。而 superfluid helium-4 (或者helium-3)
是目前唯一已知有 superfluidity 的液体。。。再加上 helium-4 是宇宙中可能是第二

t******l
发帖数: 10908

335

但我觉得很不可思议的是，这个粘滞这么小，但一旦去掉变成零，这个液体就变成了特
性迥异的超流体了？
任何物质冻到足够冷，都可以有量子效应，或多或少。。。但只有超流体才有 creep
out 的能力是不是？

：水的粘滞系数：0.00179Pa*s
：所以粘滞项要跟重力项相当的话，速度梯度要达到5.47E6 m/s/m

r*s
发帖数: 2555

336

关键现在有些滥竽充数的自称是大学老师死抠课本，不从实际出发，口口声声理论概念
一套一套的，感觉比谁都牛，宣称别人都是文盲，一让他解决实际问题就满口胡言

【在 l*******s 的大作中提到】

: 水的粘滞系数：0.00179Pa*s
: 所以粘滞项要跟重力项相当的话，速度梯度要达到5.47E6 m/s/m
: 也就是在轴向速度在径向上的变化是每米 5百万m/s。
: 如果实际速度梯度是5m/s/m的话，粘滞项是重力项的百万分之一。
: 在流体模拟计算中，精度能达到千分之一，你就烧高香了。
: 像这些基本概念都应该讲的。

t******l
发帖数: 10908

337

我刚才查了一下，superfluid 的 creep out 还借助于表面张力 surface tension，这
样比较容易理解了。

：但我觉得很不可思议的是，这个粘滞这么小，但一旦去掉变成零，这个液体就变成了
特性迥异的超流体了？
：

l*******s
发帖数: 7316

338

怎么估计速度梯度呢？
对于圆管内层流来说，径向上最大的轴向速度是平均速度的两倍。
也就是用平均速度加倍然后除以半径就行了。
假设桶的半径0.1m，桶内平均流速0.01m/s，那么流速梯度约为 0.2m/s/m。
也就是桶内粘滞力约为重力的两千万分之一。所以忽略桶内粘滞力完全没有问题。
同样的方式可以分析加速项，也就是稳态近似的影响。
只需要比较流体加速度，和重力加速度的量级就行了。

【在 l*******s 的大作中提到】

t******l
发帖数: 10908

339

但如果忽略桶内水的粘滞力的话，那因为桶内水的质心并不加速下降，那桶底的压力总
和必须等于或略大于桶内水的重量。。。这样光考虑静压力是不够的，必须考虑桶内水
往下流动的动量桶底水的附加压力。。。我觉得这个可能是我高中时忽略的项，而不是
superfluid。。。得算一下。

：怎么估计速度梯度呢？
：对于圆管内层流来说，径向上最大的轴向速度是平均速度的两倍。

l*******s
发帖数: 7316

340

只考虑静压没有问题的。

【在 t******l 的大作中提到】

: 但如果忽略桶内水的粘滞力的话，那因为桶内水的质心并不加速下降，那桶底的压力总
: 和必须等于或略大于桶内水的重量。。。这样光考虑静压力是不够的，必须考虑桶内水
: 往下流动的动量桶底水的附加压力。。。我觉得这个可能是我高中时忽略的项，而不是
: superfluid。。。得算一下。
:
: ：怎么估计速度梯度呢？
: ：对于圆管内层流来说，径向上最大的轴向速度是平均速度的两倍。

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l*******s
发帖数: 7316

341

刚才说桶内的粘滞可以忽略不计。那么小孔附近呢？
假设小孔的半径是0.005m，也就是流道面积是桶底的400分之一。
孔内的平均流速4m/s，流速梯度是1600m/s/m。
这里的梯度就接近该考虑的范围了。
但更重要的还不是在小孔内，而是进入小孔时因为流道变化引起的阻力。
要比小孔内的沿程阻力大很多。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 怎么估计速度梯度呢？
: 对于圆管内层流来说，径向上最大的轴向速度是平均速度的两倍。
: 也就是用平均速度加倍然后除以半径就行了。
: 假设桶的半径0.1m，桶内平均流速0.01m/s，那么流速梯度约为 0.2m/s/m。
: 也就是桶内粘滞力约为重力的两千万分之一。所以忽略桶内粘滞力完全没有问题。
: 同样的方式可以分析加速项，也就是稳态近似的影响。
: 只需要比较流体加速度，和重力加速度的量级就行了。

t******l
发帖数: 10908

342

只考虑静压有问题。。。这个就是我高中犯的错。。。我这么解释。
在 t 到 t + delta-t，杯底一薄层水以液面下降的速度撞向杯底，而杯底提供额外的
冲量使得这一薄层水的动量变成零。。。这个杯底提供的冲量的力加上去，正好能跟重
力平衡，而导致杯中的水的质心加速度为零。。。但是，这并不是证明，这是画图时做
的稳态假设加一维假设。。。请听下贴分解。。。

：只考虑静压没有问题的。
：

t******l
发帖数: 10908

343

问题在于这杯底一薄层水撞到杯底，失去垂直往下的动量之后，立即调头 90 度，以超
光速水平飞向小孔，然后超级刹车片突然刹住，再调头 90 度乖乖地按照博努力老先生
能量守恒要求的速度，听话地垂直下落。。。下贴继续分解。

：只考虑静压有问题。。。这个就是我高中犯的错。。。我这么解释。

t******l
发帖数: 10908

344

但这个水平方向超光速运动，并不违反爱因斯坦的相对论。。。因为这个模型不仅是博
努力模型，而且是博努力一维（垂直方向）简化模型。。。所以水平方向的维度实际上
不存在。。。该维度的空间不存在，光速随便超不动气。。。下贴继续分解。。。

：问题在于这杯底一薄层水撞到杯底，失去垂直往下的动量之后，立即调头 90 度，以
超光速水平飞向小孔，然后超级刹车片突然刹住，再调头 90 度乖乖地按照博努力老先
生能量守恒要求的速度，听话地垂直下落。。。下贴继续分解。
：

t******l
发帖数: 10908

345

那有人估计要骂高中物理老师是沙比一维稳态模型了。。。但这个模型确实符合实验。
。。其原因是一维模型的成立条件，并不是要那一薄层水一定要在杯底 90 度转向后超
光速横行。。。水可以在其上面任何地方缓缓转向，只要最终沿着竖直免积分的总和效
果，跟在杯底 90 度转向超光速横行的效果一样，就可以了。。。所以该博努力一维稳
态模型，在（1）稳态假设，（2）水面保持平面假设（或者说，一维近似假设），双双
都成立的时候，该模型符合实验，并且不违反动量守恒（稳态认为杯中水的质心无加速
度）。

：但这个水平方向超光速运动，并不违反爱因斯坦的相对论。。。因为这个模型不仅是
博努力模型，而且是博努力一维（垂直方向）简化模型。。。所以水平方向的维度实际
上不存在。。。该维度的空间不存在，光速随便超不动气。。。下贴继续分解。。。

t******l
发帖数: 10908

346

但这个还是不解决我高中时对 superfluid helium-4 的困惑。。。因为不管是稳态假
设，还是一维假设，这些都是假设，无法用博努力公式去证明，否则就是循环论证。。
。而我证实的办法，是浪费万恶的资本家两个纸杯四个回形针，做了俩实验。。。下贴
分解。。。

：那有人估计要骂高中物理老师是沙比一维稳态模型了。。。但这个模型确实符合实验
。。。其原因是一维模型的成立条件，并不是要那一薄层水一定要在杯底 90 度转向后
超光速横行。。。水可以在其上面任何地方缓缓转向，只要最终沿着竖直免积分的总和
效果，跟在杯底 90 度转向超光速横行的效果一样，就可以了。。。所以该博努力一维
稳态模型，在（1）稳态假设，（2）水面保持平面假设（或者说，一维近似假设），双
双都成立的时候，该模型符合实验，并且不违反动量守恒（稳态认为杯中水的质心无加
速度）。
：

f*******y
发帖数: 8358

347

说了多少遍了。。。白努力方程是算速度分布的。不是算流速的。不存在所谓一维白努
力方程。

: 那有人估计要骂高中物理老师是沙比一维稳态模型了。。。但这个模型确实符合
实验。

: 。。其原因是一维模型的成立条件，并不是要那一薄层水一定要在杯底 90 度转
向后超

: 光速横行。。。水可以在其上面任何地方缓缓转向，只要最终沿着竖直免积分的
总和效

: 果，跟在杯底 90 度转向超光速横行的效果一样，就可以了。。。所以该博努力
一维稳

: 态模型，在（1）稳态假设，（2）水面保持平面假设（或者说，一维近似假设）
，双双

: 都成立的时候，该模型符合实验，并且不违反动量守恒（稳态认为杯中水的质心
无加速

: 度）。

: ：但这个水平方向超光速运动，并不违反爱因斯坦的相对论。。。因为这个模型
不仅是

: 博努力模型，而且是博努力一维（垂直方向）简化模型。。。所以水平方向的维
度实际

: 上不存在。。。该维度的空间不存在，光速随便超不动气。。。下贴继续分解。
。。

【在 t******l 的大作中提到】

: 但这个还是不解决我高中时对 superfluid helium-4 的困惑。。。因为不管是稳态假
: 设，还是一维假设，这些都是假设，无法用博努力公式去证明，否则就是循环论证。。
: 。而我证实的办法，是浪费万恶的资本家两个纸杯四个回形针，做了俩实验。。。下贴
: 分解。。。
:
: ：那有人估计要骂高中物理老师是沙比一维稳态模型了。。。但这个模型确实符合实验
: 。。。其原因是一维模型的成立条件，并不是要那一薄层水一定要在杯底 90 度转向后
: 超光速横行。。。水可以在其上面任何地方缓缓转向，只要最终沿着竖直免积分的总和
: 效果，跟在杯底 90 度转向超光速横行的效果一样，就可以了。。。所以该博努力一维
: 稳态模型，在（1）稳态假设，（2）水面保持平面假设（或者说，一维近似假设），双

t******l
发帖数: 10908

348

虽然这个博努力的稳态假设一维假设，无法去证明，但我们可以看一下博努力假设成立
的物理图景。。。也就是液面的水是垂直往下慢慢走，当中兵分几路慢慢转向。。。总
之速度场的旋度都不大，上面的水在转向前，把垂直方向的动量，以击鼓传花的节奏，
一棒一棒最后交到杯底，完成这个一维稳态模型。
但现在的问题是。。。那个异想天开的毫无粘滞的 superfluid helium-4，会不会这么
听博努力的话？

：但这个还是不解决我高中时对 superfluid helium-4 的困惑。。。因为不管是稳态假
：设，还是一维假设，这些都是假设，无法用博努力公式去证明，否则就是循环论证。
。。而我证实的办法，是浪费万恶的资本家两个纸杯四个回形针，做了俩实验。。。下
贴分解。。。

t******l
发帖数: 10908

349

高中版一维近似嘛。。。人高中生也不能不上物理课不是？

：说了多少遍了。。。白努力方程是算速度分布的。不是算流速的。不存在所谓一维白
努力方程。
：

r****z
发帖数: 12020

350

哈哈，速度梯度要能达到5.47E6 m/s/m，吼一嗓子的功夫就该考虑相对论效应了。

【在 l*******s 的大作中提到】

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f*******y
发帖数: 8358

351

有人教过一维白努力方程吗?我很怀疑。

: 高中版一维近似嘛。。。人高中生也不能不上物理课不是？

: ：说了多少遍了。。。白努力方程是算速度分布的。不是算流速的。不存在所谓
一维白

: 努力方程。

: ：

【在 t******l 的大作中提到】

: 高中版一维近似嘛。。。人高中生也不能不上物理课不是？
:
: ：说了多少遍了。。。白努力方程是算速度分布的。不是算流速的。不存在所谓一维白
: 努力方程。
: ：

t******l
发帖数: 10908

352

当然我们高中比较落后，既没有 superfluid helium-4，也没有超级巨型机数字风洞。
。。那也就是只能理论探讨，也就是说，理论上是不是存在另一个极端的情况的可能。
我们回过头来看这个稳态一维模型，其最重要的假设之一，是液面首先是保持平面，整
体垂直往下运动（dh/dt），然后再慢慢转向，击鼓传花把动量交给杯底。
那另一个极端就是，what if 小孔正上方的整个水柱以哐当一声直接往下自由落体（反
正 superfluid 没有任何粘滞的需求不是？）。。。然后周围的液体一看大事不妙，直
接就横向运动过来堵枪眼。。。然后第二批炮灰又在小孔正上方形成一个水柱直接又哐
当一声自由落体（我为啥说 “又” 涅）。。。如此重复死循环。。。也就是说，除了
小孔上方以外，其他的液体一开始就是水平运动去堵枪眼的，并没有发生垂直往下运动
然后转向，更谈不上把往下的动量击鼓传花送到杯底。。。而是直接在水面形成一个大
尺度不旋转的漩涡的样子。。。如果这个情况发生，那么杯底就没有收到附加动量冲击
，也不会有超过静态水压的更多的力。。。这个整个模型既不会进入稳态，也不会符合
一维近似，最终以 1/100 g 的质心加速度的姿势，一秒钟内流完。。。当然模型有些
extreme，但可以当 lower bound estimate 以及 educated guess 来 brain storming
一下。。。没有数字风洞没法证实或证伪。。。

：虽然博努力的稳态一维无法去证明，但我们可以看一下博努力假设成立的物理图景。
。。也就是液面的水是垂直往下慢慢走，当中兵分几路慢慢转向。。。总之速度场的旋
度都不大，上面的水在转向前，把垂直方向的动量，以击鼓传花的节奏，一棒一棒最后
交到杯底，完成这个一维稳态模型。

t******l
发帖数: 10908

353

高中能量守恒解流体问题，我觉得跟一维猴版白努力差不多。。。

：有人教过一维白努力方程吗?我很怀疑。
：

l*******s
发帖数: 7316

354

这只是对这种开放的垂直流动而言，重力项dominant.
对于水平流动，重力项为零，粘滞力就不轻易忽略了。
另外在回路中重力往往互相抵消。
所以粘滞项相对变大。

【在 r****z 的大作中提到】

: 哈哈，速度梯度要能达到5.47E6 m/s/m，吼一嗓子的功夫就该考虑相对论效应了。

f*******y
发帖数: 8358

355

高中什么时候讲过流体啊。安排这种教材的应该打屁股。流体理解就是用矢量场，高中
无论怎么讲都是灌输错误概念。

: 高中能量守恒解流体问题，我觉得跟一维猴版白努力差不多。。。

: ：有人教过一维白努力方程吗?我很怀疑。

: ：

【在 t******l 的大作中提到】

: 高中能量守恒解流体问题，我觉得跟一维猴版白努力差不多。。。
:
: ：有人教过一维白努力方程吗?我很怀疑。
: ：

t******l
发帖数: 10908

356

我觉得这个是关键，水有微小的粘滞力。即使这个再小，但在水平方向其他力为零的情
况，矮子里拔长子，这个微小的粘滞力就 dominant，也就是表现为试图保持水平方向
原来的形状（保持水面是平面），不同的液体就是或多或少的程度差别。
但 superfluid helium-4 完全没有一点粘滞力，完全没有保持任何方向的形状的冲动
。。。所以对于没超级冰箱或者数字风洞的普通高中，傻眼了。。。

：这只是对这种开放的垂直流动而言，重力项dominant.
：对于水平流动，重力项为零，粘滞力就不轻易忽略了。

t******l
发帖数: 10908

357

但也不会有水柱往下掉这么极端，因为当小孔上产生空洞以后，有因为侧面压力大于上
面压力，侧面补过来会占优势，但侧面有动量转向过程，而被上面一锤子敲下去。。。
最终两股力量折中。。。具体情况猜测可能在两个极端（极端稳态 vs 极端暂态）之间
的折中。

：我觉得这个是关键，水有微小的粘滞力。即使这个再小，但在水平方向其他力为零的
情况，矮子里拔长子，这个微小的粘滞力就 dominant，也就是表现为试图保持水平方向
：原来的形状（保持水面是平面），不同的液体就是或多或少的程度差别。

l*******s
发帖数: 7316

358

既然说到这里，就多说几句。省得有人拿这个5.47E6 m/s/m当是否忽略水的粘性的依据。
基本上如果粘滞力大到动量变化的千分之一就应该考虑。
对于很慢的流动，比如1cm/s，基本可以不考虑，当然非常小的孔，比如毛细血管另说
。如果速度达到1m/s，最好考虑。其实比较合理的准则还是算雷诺数。
当流速增大时，出现紊流（湍流），则粘滞力大大增加，这是因为流团交混造成的。
这个就不再展开了。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 这只是对这种开放的垂直流动而言，重力项dominant.
: 对于水平流动，重力项为零，粘滞力就不轻易忽略了。
: 另外在回路中重力往往互相抵消。
: 所以粘滞项相对变大。

t******l
发帖数: 10908

359

我改变了看法，我觉得这题里 superfluid 的结果应该跟水差不多。。。因为维持水面
平面的主要力量并不是粘滞力，而是重力。。。粘滞力实际上是阻止平面。
所以就算是 superfluid，也不会出现水柱式下落，而是因为重力的作用，等速面从小
孔开始是一个球，然后慢慢展平成平面。。。无论是水还是 superfluid，在这个例子
里面，结果都差不多。
我觉得这个可以接近高中物理 QED.

：但也不会有水柱往下掉这么极端，因为当小孔上产生空洞以后，有因为侧面压力大于
上面压力，侧面补过来会占优势，但侧面有动量转向过程，而被上面一锤子敲下去。。
。最终两股力量折中。。。具体情况猜测可能在两个极端（极端稳态 vs 极端暂态）之
间的折中。

t******l
发帖数: 10908

360

所以我高中物理时的错误并不在于 viscosity，而是一维模型和两维模型之间的对应，
以及各种近似假设具体做在哪里没有搞清楚。
在这题里面，水确实可以看成 ideal fluid 的。

：我改变了看法，我觉得这题里 superfluid 的结果应该跟水差不多。。。因为维持水
面平面的主要力量并不是粘滞力，而是重力。。。粘滞力实际上是阻止平面。
：

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l*******s
发帖数: 7316

361

这个题里重力是驱动力，粘滞阻力跟重力反方向，但桶内的可以忽略。

【在 t******l 的大作中提到】

: 我改变了看法，我觉得这题里 superfluid 的结果应该跟水差不多。。。因为维持水面
: 平面的主要力量并不是粘滞力，而是重力。。。粘滞力实际上是阻止平面。
: 所以就算是 superfluid，也不会出现水柱式下落，而是因为重力的作用，等速面从小
: 孔开始是一个球，然后慢慢展平成平面。。。无论是水还是 superfluid，在这个例子
: 里面，结果都差不多。
: 我觉得这个可以接近高中物理 QED.
:
: ：但也不会有水柱往下掉这么极端，因为当小孔上产生空洞以后，有因为侧面压力大于
: 上面压力，侧面补过来会占优势，但侧面有动量转向过程，而被上面一锤子敲下去。。
: 。最终两股力量折中。。。具体情况猜测可能在两个极端（极端稳态 vs 极端暂态）之

t******l
发帖数: 10908

362

我现在转为这个看法。。。我当年误算了杯底的压力（漏了动量部分），也没有做好一
维模型和两维模型之间的联系区别，导致法兰西是培根。

：这个题里重力是驱动力，粘滞阻力跟重力反方向，但桶内的可以忽略。
：

f*******y
发帖数: 8358

363

这道题的重点是用darcy law。其他都不用考虑。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 这个题里重力是驱动力，粘滞阻力跟重力反方向，但桶内的可以忽略。

t******l
发帖数: 10908

364

你两好好辩一辩。。。我观战。。。

：这道题的重点是用darcy law。其他都不用考虑。
：

f*******y
发帖数: 8358

365

darcy law是算流速的利器，什么情况什么流体都可以用。

【在 t******l 的大作中提到】

: 你两好好辩一辩。。。我观战。。。
:
: ：这道题的重点是用darcy law。其他都不用考虑。
: ：

l*******s
发帖数: 7316

366

这有什么好辩的。
我早就给出定论了。
Darcy law 是管中窥豹。NSE一桶浆糊

【在 t******l 的大作中提到】

: 你两好好辩一辩。。。我观战。。。
:
: ：这道题的重点是用darcy law。其他都不用考虑。
: ：

f*******y
发帖数: 8358

367

错了，darcy law可以用在turbulent flow。NS公式解不出turbulent flow。
darcy law比ns公式要强大很多。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 这有什么好辩的。
: 我早就给出定论了。
: Darcy law 是管中窥豹。NSE一桶浆糊

l*******s
发帖数: 7316

368

别贻笑大方了。
不过我发现我这几天回了太多这个帖子了。决定不再回这个贴了。
再见！

【在 f*******y 的大作中提到】

: 错了，darcy law可以用在turbulent flow。NS公式解不出turbulent flow。
: darcy law比ns公式要强大很多。

r*s
发帖数: 2555

369

这就对了！

【在 l*******s 的大作中提到】

: 别贻笑大方了。
: 不过我发现我这几天回了太多这个帖子了。决定不再回这个贴了。
: 再见！

f*******y
发帖数: 8358

370

好吧。看来你真的不知道darcy law。。。。
看看wiki吧，或许有帮助。不过好多人连wiki都不会用。哎。。。
https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae#Turbulent_flow_
in_smooth_conduits

【在 l*******s 的大作中提到】

: 别贻笑大方了。
: 不过我发现我这几天回了太多这个帖子了。决定不再回这个贴了。
: 再见！

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f*******y
发帖数: 8358

371

google
Darcy–Weisbach equation
学点东西吧

flow_

【在 f*******y 的大作中提到】

: 好吧。看来你真的不知道darcy law。。。。
: 看看wiki吧，或许有帮助。不过好多人连wiki都不会用。哎。。。
: https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae#Turbulent_flow_
: in_smooth_conduits

t******l
发帖数: 10908

372

回你前面那个 “鸭璞打 superfluid 一场空“ 的问题。。。我前面说的 uncountable
set 是错的。。。这个 “鸭璞打 superfluid 一场空“ 的原因，是因为你
fakestory 预先把问题假设为稳态问题。。也就是预先假设鸭璞既不加速也不减速，位
置变化还特别慢。。。这样因为 superfluid 的 viscosity 为零，所以鸭璞前面把
superfluid 推出去，然后 superfluid 绕一圈回来以同样的力量打在鸭璞的反面，两
者抵消，导致 “鸭璞打 superfluid 一场空“。
这里的 moral story 是，只要鸭子的 pushy mama 够狠，pushu 小鸭子离开
fakestory 预设的稳态假设，那父母版的小鸭子也是可以在 superfluid 里以 naive
stroke 的姿势拿游泳金牌的。。。

：

t******l
发帖数: 10908

373

你帮我理清了不少中学物理概念，谢谢。

：别贻笑大方了。

f*******y
发帖数: 8358

374

科普darcy law
https://bae.okstate.edu/faculty-sites/Darcy/DarcyWeisbach/Darcy-
WeisbachHistory.htm
Henry Darcy and His Law
The History of the Darcy-Weisbach Equation
Glenn Brown
Oklahoma State University
6/7/00
revised 2/21/02
Back to Henry Darcy Main Page
What we call the Darcy-Weisbach equation has had a long history of
development. It is named after two of the great hydraulic engineers of the
middle 19th century, but others have also played a major role. Julies
Weisbach (1806-1871) a native of Saxony, proposed in 1845 the equation we
now use,
hl = fL/D * V2/2g
where hl is the head loss, L is the pipe length, D is the pipe diameter, V
is the average velocity, g is the acceleration of gravity and f is a
friction factor. However, he did not provide adequate data for the variation
in f with velocity. Thus, his equation performed poorly compared to the
empirical Prony equation (Gaspard Clair Francois Marie Riche de Prony, 1755-
1839) in wide use at the time;
hl = L/D * (aV + bV2)
where a and b are empirical friction factors for the velocity and velocity
squared.
While Weisbach was ahead of most other engineers, his was not the first work
in the area. In about 1770 Antoine Chézy (1718-1798), an early graduate of
l'Ecole des Ponts et Chaussées, published an equation for flow in open
channels that can be reduced to the same form. Unfortunately, Chézy's work
was lost until 1800 when his former student, Prony published an account
describing it. Surprisingly, Prony developed his own equation, but it is
believed that Weisbach was aware of Chézy's work from Prony's publication.
Darcy, (Prony's student) in 1857 published new relations for the Prony
coefficients based on a large number of experiments. His new equation was,
hl = L/D * [(c + d/D2)V + (d + e/D)V2]
where c, d and e are empirical coefficients for a given type of pipe. Darcy
thus introduced the concept of the pipe roughness scaled by the diameter;
what we now state as the relative roughness when applying the Moody diagram.
Therefore, it is traditional to call f, the "Darcy f factor", even though
Darcy never proposed it in that form. Fanning apparently was the first
effectively put together the two concepts in (1877). He published a large
compilation of f values as a function of pipe material, diameter and
velocity. His data came from French, American, English and German
publications, with Darcy being the single biggest source. However, it should
be noted that Fanning used hydraulic radius, instead of D in the friction
equation, thus "Fanning f" values are only 1/4th of "Darcy f" values.
Parallel to the development in hydraulics, viscosity and laminar flow were
defined by Jean Poisseuille (1799-1869) and Gotthilf Hagen (1797-1884),
while Osborne Reynolds (1842-1912) described the transition from laminar to
turbulent flow in 1883. During the early 20th century, Ludwig Prandtl (1875-
1953) and his students Th. von Kármán (1881-1963) Paul Blasius (1883-?)
and Johnann Nikuradse (1894-1979) attempted to provide an analytical
prediction of the friction factor using both theoretical considerations and
data from smooth and uniform sand lined pipes. Their work was complimented
by Colebrook and White's analysis of pipes with non-uniform roughness in
1939. The Darcy-Weisbach equation was not made universally useful until the
development of the Moody diagram (Moody, 1944) which built on the work of
Hunter Rouse. Rouse (1946) gives a good feel for the development of the f
factor, but he doesn't reference Moody. Rouse felt that Moody was given too
much credit for what Rouse himself and others did (Rouse, 1976).
The name of the equation through time is also curious and may be tracked in
hydraulic and fluid mechanics textbooks. Early texts generally do not name
the equation. Starting in the mid 20th century some authors including at
least one German named it "Darcy's Equation", an obvious confusion point
with "Darcy's Law". Rouse in 1946 appears to be the first to call it "Darcy-
Weisbach", but that naming did not become universal until the late 1980's.
It is a good enough name, but as pointed out previously, it leaves out many
important contributions. So if you wanted give full credit and confuse
people, call it the "Chézy-Weisbach-Darcy-Poiseuille-Hagen-Reynolds-Fanning
-Prandtl-Blasius-Kármaán-Nikuradse-Colebrook-White-Rouse-Moody equation".
From a practical standpoint, the Darcy-Weisbach equation has only become
popular since the advent of the electronic calculator. It requires a lot of
number crunching compared to empirical relationships, such as the Hazen-
Williams equation, which are valid over narrow ranges. However, because of
its general accuracy and complete range of application, the Darcy-Weisbach
Equation should be considered the standard and the others should be left for
the historians. A recent interesting discussion on the topic is presented
by Liou (1998), Christensen (2000), Locher (2000) and Swamee (2000).
References
Christensen, B.A., 2000. Discussion of "Limitations and Proper Use of the
Hazen-Williams Equation. Journal of Hydraulic Engineering", ASCE.
Darcy, H. 1857. Recherches Experimentales Relatives au Mouvement de L'Eau
dans les Tuyaux, 2 volumes, Mallet-Bachelier, Paris. 268 pages and atlas. ("
Experimental Research Relating to the Movement of Water in Pipes")
Fanning, 1877. Treatise on Water Supply.
Liou, C.P., 1998. Limitations and Proper Use of the Hazen-Williams Equation.
Journal of Hydraulic Engineering, ASCE. Vol. 124.
Locher, F. A., 2000. Discussion of "Limitations and Proper Use of the Hazen-
Williams Equation. Journal of Hydraulic Engineering", ASCE.
Moody, L. F., 1944. Friction factors for pipe flow. Transactions of the ASME
, Vol. 66.
Poiseuille, J. L., 1841. Recherches expérimentales sur le mouvement des
liquides dans les tubes de très-petits diamètres, Comptes Rendus, Acadé
mie des Sciences, Paris, 1841.
Reynolds, O., 1883. An experimental investigation of the circumstances which
determine whether the motion of water shall be direct or sinuous and of the
law of resistance in parallel channel, Philo. Trans. of the Royal Soc., 174
:935-982.
Rouse, H., 1946. Elementary Mechanics of Fluids. John Wiley and Sons, New
York.
Rouse, H., 1976. History of Hydraulics in America, 1776-1976.
Swamee, P. K., 2000. Discussion of "Limitations and Proper Use of the Hazen-
Williams Equation. Journal of Hydraulic Engineering", ASCE.
Weisbach, J., 1845. Lehrbuch der Ingenieur- und Maschinen-Mechanik,
Braunschwieg.

【在 f*******y 的大作中提到】

: google
: Darcy–Weisbach equation
: 学点东西吧
:
: flow_

f*******y
发帖数: 8358

375

说darcy law是管中窥豹，NS方程一统江湖。
能说出这话来，是多么的傻逼。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 科普darcy law
: https://bae.okstate.edu/faculty-sites/Darcy/DarcyWeisbach/Darcy-
: WeisbachHistory.htm
: Henry Darcy and His Law
: The History of the Darcy-Weisbach Equation
: Glenn Brown
: Oklahoma State University
: 6/7/00
: revised 2/21/02
: Back to Henry Darcy Main Page

f*******y
发帖数: 8358

376

说darcy law只是用在多孔媒体。那都是活在荒岛吃屎的野人啊，没见过文明社会。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 说darcy law是管中窥豹，NS方程一统江湖。
: 能说出这话来，是多么的傻逼。

f*******y
发帖数: 8358

377

这世界上傻逼太多了，跟傻逼讲道理怎么能讲得通。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 说darcy law只是用在多孔媒体。那都是活在荒岛吃屎的野人啊，没见过文明社会。

t******l
发帖数: 10908

378

谢谢科普。。。窃窃的问，我下次爬 crawl space 翻修 copper plumbing 的时候，能
不能用这个公式？

：科普darcy law
：

l*******s
发帖数: 7316

379

本来是不想再回了。看你有发了那么多，我再给你科普一贴。
首先，我认为，这些东西可以讨论，但不值得为它们骂街。
因为不管Darcy's law 也好，NSE也好，既不是你也不是我发现（或发明）的。
没什么好为之骄傲的。
其次，我认为每个人的认识都是有限的。我在流体方面可能也只是半桶水。
肯定还有些在流体方面造诣极深的人在看着我们争论的笑话而不发言。
但是，从我看你发的帖子看，我可以很肯定我对流体的理解比你既深且广。
所以我认为可以给你科普一下。
（顺便说一句，有些完全没基础，又不肯学习的人，我都懒得科普）。
Darcy's law 只用于porous medium不是别人的错，因为行内人士都这样认为。
只有你把Darcy–Weisbach equation 也称为Darcy law。
当然，你有你命名的自由，只是没法跟别人交流。
我恰巧也在大学讲了十几年流体力学的课。
Darcy–Weisbach equation和Darcy's law都讲过，
我不会都把它们称为Darcy law。
我再给你讲讲为什么你所谓的Darcy law
（包括Darcy–Weisbach equation和Darcy's law）都是管中窥豹，
而NSE一桶浆糊。
（如果你仔细看，我是在严肃的搞笑，因为这是笑话版，虽然也称为学术版）
你说NSE不能处理紊流（湍流），需要用Darcy law,
我告诉你，这要让搞流体的人都笑掉大牙。
你知道现在所有的CFD程序，已及其他的流体力学的模拟程序，求解的是什么方程吗？
是NSE。
不管你是单相流，多相流，层流，紊流，都是NSE。
其中多相流是从NSE推导出各相的方程。同样porous medium里的方程，也是从NSE推导
出来的。
对于紊流，只需要增加紊流模型，比如k-epsion模型，
你可以去google一下，稍微增长点见识，
不要抱这个Darcy law以为得到了葵花宝典。
这就是我为什么说NSE一桶浆糊.
再来说说为什么所谓的Darcy law（包括Darcy–Weisbach equation和Darcy's law）
都是管中窥豹。
因为Darcy law（包括Darcy–Weisbach equation和Darcy's law）都是从NSE推到出来
计算沿程压损的。可以算是NSE在一个方面的应用。
相当于NSE推导出一维方程，再做简化的结果。
在回路中应用是往往还需要结合局部压损，也就是流道变形，
导致流体速度变化造成的压损。包括流道缩小，放大，转弯等等。
所以我说Darcy law是管中窥豹，因为它只解决部分问题。
当然，有些人一辈子只遇到这部分问题，也就全部解决了。
好了，口水战真的没意思。我说过了，这些理论再好，也不是你我发明的。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 说darcy law只是用在多孔媒体。那都是活在荒岛吃屎的野人啊，没见过文明社会。

f*******y
发帖数: 8358

380

纠正你几个错误。
Darcy–Weisbach equation不是从Navier Stokes equation 推导出来的。从NS公式没
法推导DW公式。不信你试试。
DW公式和NS公式是19世纪流体发展的独立的两个支系。相互不依靠彼此。
NS公式对于湍流没有解析解。你说的那几个模拟方法是简化后的近似解。搞模拟的人都
知道，简化后的数值解对不对只有天知道。你说NS一统江湖，我只能呵呵了。你说你对
流体理解非常深刻。这个随便你说。反正我也不懂流体。

: 本来是不想再回了。看你有发了那么多，我再给你科普一贴。

: 首先，我认为，这些东西可以讨论，但不值得为它们骂街。

: 因为不管Darcy's law 也好，NSE也好，既不是你也不是我发现（或发明）的。

: 没什么好为之骄傲的。

: 其次，我认为每个人的认识都是有限的。我在流体方面可能也只是半桶水。

: 肯定还有些在流体方面造诣极深的人在看着我们争论的笑话而不发言。

: 但是，从我看你发的帖子看，我可以很肯定我对流体的理解比你既深且广。

: 所以我认为可以给你科普一下。

: （顺便说一句，有些完全没基础，又不肯学习的人，我都懒得科普）。

: Darcy's law 只用于porous medium不是别人的错，因为行内人士都这样认为。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 本来是不想再回了。看你有发了那么多，我再给你科普一贴。
: 首先，我认为，这些东西可以讨论，但不值得为它们骂街。
: 因为不管Darcy's law 也好，NSE也好，既不是你也不是我发现（或发明）的。
: 没什么好为之骄傲的。
: 其次，我认为每个人的认识都是有限的。我在流体方面可能也只是半桶水。
: 肯定还有些在流体方面造诣极深的人在看着我们争论的笑话而不发言。
: 但是，从我看你发的帖子看，我可以很肯定我对流体的理解比你既深且广。
: 所以我认为可以给你科普一下。
: （顺便说一句，有些完全没基础，又不肯学习的人，我都懒得科普）。
: Darcy's law 只用于porous medium不是别人的错，因为行内人士都这样认为。

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l*******s
发帖数: 7316

381

我承认我不清楚DW公式的起源。
但我可以很肯定的告诉你从NSE可以推导DW公式，
因为我每年都在课堂上给学生推一次。
我有课件，但不想再贴出来了。
我已经贴了两张了，贴多了容易被人肉。
我真的不想再讨论这个问题了，浪费太多时间。
如果我的帖子里有冒犯的地方，请原谅。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 纠正你几个错误。
: Darcy–Weisbach equation不是从Navier Stokes equation 推导出来的。从NS公式没
: 法推导DW公式。不信你试试。
: DW公式和NS公式是19世纪流体发展的独立的两个支系。相互不依靠彼此。
: NS公式对于湍流没有解析解。你说的那几个模拟方法是简化后的近似解。搞模拟的人都
: 知道，简化后的数值解对不对只有天知道。你说NS一统江湖，我只能呵呵了。你说你对
: 流体理解非常深刻。这个随便你说。反正我也不懂流体。
:
:
: 本来是不想再回了。看你有发了那么多，我再给你科普一贴。
:
: 首先，我认为，这些东西可以讨论，但不值得为它们骂街。

f*******y
发帖数: 8358

382

你这是在推Poiseuille公式。这个谁不会？
湍流情况没有NS公式解析解，你推个屁。

【在 l*******s 的大作中提到】

: 我承认我不清楚DW公式的起源。
: 但我可以很肯定的告诉你从NSE可以推导DW公式，
: 因为我每年都在课堂上给学生推一次。
: 我有课件，但不想再贴出来了。
: 我已经贴了两张了，贴多了容易被人肉。
: 我真的不想再讨论这个问题了，浪费太多时间。
: 如果我的帖子里有冒犯的地方，请原谅。

f*******y
发帖数: 8358

383

Poiseuille公式是有解析解的。因为边界条件很简单。Navier Stokes 公式转换成而阶
偏微分方程很容易得出解析解。
但是Poiseuille公式只是Darcy–Weisbach公式在层流情况的一个特殊形式。
谁说会推导Darcy–Weisbach公式，肯定是没上过学的。

【在 f*******y 的大作中提到】

: 你这是在推Poiseuille公式。这个谁不会？
: 湍流情况没有NS公式解析解，你推个屁。

r****z
发帖数: 12020

384

你要知道，不是所有人讨论都是为了学术的，有人的目的是为了吹自己牛，还有的人纯
粹就是为了说别人不懂，即使你把教科书的内容原封不动抄过来，一样能说你是臆想出
来的。

【在 l*******s 的大作中提到】

f*******y
发帖数: 8358

385

大婶。。。你还真是蠢啊。。。。
你没看到llaalways 扔下两句狠话就赶紧跑了吗?

: 你要知道，不是所有人讨论都是为了学术的，有人的目的是为了吹自己牛，还有
的人纯

: 粹就是为了说别人不懂，即使你把教科书的内容原封不动抄过来，一样能说你是
臆想出

: 来的。

【在 r****z 的大作中提到】

: 你要知道，不是所有人讨论都是为了学术的，有人的目的是为了吹自己牛，还有的人纯
: 粹就是为了说别人不懂，即使你把教科书的内容原封不动抄过来，一样能说你是臆想出
: 来的。

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