k*********g
发帖数: 791 | 1 世界上目前已有的相关软件，主要建在“有限元法”和“有限体积法”两种数值方法上
。有限元法以拉格朗日函数为基函数，方程的加权积分形式在一个区域内满足，产生的
矩阵有很大的带宽，方程迭代求解过程非常慢。有限元使用了强大的高斯积分，但只是
局部过程中用来计算积分而已，高斯积分的潜力远远没有充分发挥出来。有限体积采用
泰勒多项式（和拉格朗日函数的效率大致相仿），方程最终在一些离散点上满足，就矩
阵带宽来说性很好，但不够优化、从而效率不够高，并且对复杂几何处理能力不如有限
元，升级为高精度版本很不容易（效果也大大降低，后面详述）。差分法在复杂几何处
理上必须采用功能很局限的结构化网格；边界元法只能应对线性微分方程（零阶导数项
也必须线性），而且其“稠密影响矩阵”造成的效率上的降低远远大于在处理3维问题
时的“降维”带来的效率上的提升；这两种方法都无法胜任通用软件业。本软件将是谱
元法的世界首次使用。谱元法采用正交、完备的契比雪夫多项式，方程的加权积分形式
在高斯积分点上满足，高斯数值积分贯穿整个数值过程，与契比雪夫多项式的正交性实
现完美的结合，两者的潜力都得到了充分发挥。谱元法形成的离散方程系统带宽很小，
这是契比雪夫多项式的正交性和高斯积分的功劳；离散系统非常优化，这是契比雪夫多
项式的完备性的功劳；因此离散系统可以被高效求解。单处理器上数值实验表明，谱元
法比有限元法快50倍左右，比有限体积法快5倍左右。这样的速度优势使得原本需要执
行几天甚至几个星期的程序可以在一天之内完成。
很多物理、工程过程需要高精度求解，否则无法捕捉基本特征，如激波、湍流、燃烧、
高频电磁场、等离子体、粒子物理。有限元法和有限体积法由于采用的基函数不是完备
函数，其高阶多项式版本效率大大降低，因为新增添的基函数没有带来新鲜的信息（等
价地说，非完备高阶多项式的基函数之间几乎线性相关），于是高阶版本产生的离散系
统是病态的（即矩阵最大本征值和最小本征值之间的比值趋向无穷）；从而高阶（拉格
朗日）有限元法和高阶（泰勒）有限体积法经常无法迭代收敛、找不到解。所以，高阶
有限元法和有限体积法几乎毫无实用价值，而基于这两种方法的现有软件无法成功扩展
到高精度计算。另外，高阶有限体积法的实施、编程非常繁琐，并且牺牲了低阶有限体
积法原有的当地守恒特点。所以在解决很多专门问题的时候，高精度谱元法是唯一的可
以胜任的方法。
谱元法比有限元还要方便灵活，因为2维、3维的基函数是1维基函数的张量乘积，高精
度版本谱元法和低阶版本在处理上没有任何区别（有限元法无法完全做到这点，有限体
积法高精度版本和低精度版本处理上的差别巨大）。采用契比雪夫多项式的谱元法可以
处理所有的边界条件，其通用性是只能局限于周期性边界条件的“傅立叶谱元法”不能
比的（如果不是因为边界条件方面的局限性，那么傅立叶谱元法最简单、最高效的方法
）。契比雪夫谱元法可以充分利用快速傅立叶变换，在处理特别需要高精度的问题中，
比采用勒让德函数的谱元法快。
有限元方法源于1950s，几十年来有了巨大发展，但是其最核心部分却从来并没有改变
，还是同样的数学、同样的内核计算速度。有限体积源于1960s，几十年来有了巨大发
展，复杂情形下的效率得到了提高，所以有限体积法大致代表了1980年代的数值计算水
平。谱方法起源1960年代末1970年代初，1980年代出现（连续）谱元法，1990年代出现
“间断谱元法”。间断谱元法是非常先进前沿的数值方法，是“当地保守”和高精度之
间的平衡，在处理激波、材料断裂、航空发动机燃烧、计算物理时，优势特别大，而且
并行性能特别好，目前仍是最热门的数值研究方向之一。
本软件将采用一项最新的技术，本文称之“Chebyshev Lagrangian基函数”（相应的谱
元法可以称为Chebyshev Lagrangian Spectral Element Method，缩写为CLSEM），这
项技术这几年才出现，但即便其发明者也远远尚未意识到它的意义。CLSEM跟经典的最
灵活的谱元法一样灵活，在非线性和时间步长（即数值稳定性）处理方面却能呈现明显
的优势。因为大致代表2010年数值技术的CLSEM，就凭此一项，就足于宣称本软件比现
有软件先进20年（实际上这样的宣称是非常保守的）。
需要再次强调的是，谱元法不是高阶有限元法，前者采用正交完备函数（如傅立叶、勒
让德、契比雪夫），后者采用高阶的拉格朗日函数（非正交完备函数），两种方法性能
上有数量级的差别。谱元法特别适合并行计算，这个在以下紧接着详述。 |
k*********g
发帖数: 791 | 2 其实是综述，一种最高级的行内学术期刊的综述。
本人研究兴趣：
数值计算：谱元法（连续谱元法、间断谱元法、谱边界元法）；
数值计算：动边界问题；
计算燃烧湍流；
计算量子场论、计算粒子物理、计算核物理，尤其quark gluton plasmas；
计算广义相对论、计算宇宙学；
计算统计力学、计算kinetics，（用于宇宙学、condensed matter physics、
chemistry等）；
计算凝聚态物理、计算材料化学。
数值计算威力巨大！
btw，美国的大牛教授们能把数值计算的分类搞清楚我就不会小看他们了，美国之外的
更不值一提。他们有听说“谱边界元法”么？ |
j**u
发帖数: 6059 | 3 “本软件”？这是从什么软件说明里面copy过来的？
【在 k*********g 的大作中提到】
: 世界上目前已有的相关软件，主要建在“有限元法”和“有限体积法”两种数值方法上
: 。有限元法以拉格朗日函数为基函数，方程的加权积分形式在一个区域内满足，产生的
: 矩阵有很大的带宽，方程迭代求解过程非常慢。有限元使用了强大的高斯积分，但只是
: 局部过程中用来计算积分而已，高斯积分的潜力远远没有充分发挥出来。有限体积采用
: 泰勒多项式（和拉格朗日函数的效率大致相仿），方程最终在一些离散点上满足，就矩
: 阵带宽来说性很好，但不够优化、从而效率不够高，并且对复杂几何处理能力不如有限
: 元，升级为高精度版本很不容易（效果也大大降低，后面详述）。差分法在复杂几何处
: 理上必须采用功能很局限的结构化网格；边界元法只能应对线性微分方程（零阶导数项
: 也必须线性），而且其“稠密影响矩阵”造成的效率上的降低远远大于在处理3维问题
: 时的“降维”带来的效率上的提升；这两种方法都无法胜任通用软件业。本软件将是谱
|
c***r
发帖数: 1570 | 4 说的很好，不过有几点疑问在这里，
1. 谱元法不仅仅限于契比雪夫多项式，也可以是gauss,gauss-lobatto.
2. 所谓的“间断谱元法”无外呼是discontinnus Galerkin method, 基本思想就是弱
解+reimman solver。
3. 谱元法特别适合并行计算 -- 未必，还要看具体的方法，可能“间断谱元法”适合
，但“连续谱元法”的并行难度是和有限元一样的。
4. “谱边界元法” -- 没听说过，但从名字表达上无外呼 采用高阶正交函数作为插值
的边界元法，理论上完全行的通，边界元的核心就是用降维来增加计算能力，随着计算
能力的提升，这种方法终将淘汰。
5. 还有所谓的有限元法是烂数值方法本人不认同，有限元是30年前的产物，是何当时
的计算机能力相关连的，低阶的连续的插值方程有效的减少计算量，在宏观固体领域应
用极大。
6. “计算燃烧湍流；计算量子场论、计算粒子物理、计算核物理，尤其quark gluton
plasmas；计算广义相对论、计算宇宙学；计算统计力学、计算kinetics，（用于宇宙
学、condensed matter physics、chemistry等）；计算凝聚态物理、计算材料化学。
“ -- 似乎 一个 possion equation 和一个 L-J potential 可以解决里面的很多问题
，别吓唬小朋友们。
7. 正真的科学计算，不仅仅只限于 PDE的数值方法，谱方法提供了一个好的基本数值
环境，但这并不意味着可以解决任何问题，实际应用中的很多非线性问题还是需要具体
的细节考虑，有限元中包含了很多这样的精华，当然这些精华在我看来完全可以被谱方
法所使用。
8. 随便说说，下次继续。。。 |
k*********g
发帖数: 791 | 5 你搞得很类似“物理民科”。
1 gauss,gauss-lobatto 是数值积分numerical integration。 跟基函数 是2嘛事，
你混淆起来了。
2 discontinnus Galerkin method 不是指“间断谱元法的一种”---比较差的一种、
collocation比她强， 就是指 discontinuous galerkin finite element method --
那当然还是一坨shit。
3 为啥适合 parallel computing，我另贴详述。
4 我没仔细看我写的，说了那么明白了：目前的边界元 解决3维问题时候，比有限元还
要慢，因为 dense matrix
5 不相信有限元是兰方法的原因是 a 从来没有做face off的数值实验对比，应用数学
不够好（我也是学了10偏微分方程课程后才慢慢领悟的）。
6 、7、8、。。。
下次再说~~~
【在 c***r 的大作中提到】
: 说的很好，不过有几点疑问在这里，
: 1. 谱元法不仅仅限于契比雪夫多项式，也可以是gauss,gauss-lobatto.
: 2. 所谓的“间断谱元法”无外呼是discontinnus Galerkin method, 基本思想就是弱
: 解+reimman solver。
: 3. 谱元法特别适合并行计算 -- 未必，还要看具体的方法，可能“间断谱元法”适合
: ，但“连续谱元法”的并行难度是和有限元一样的。
: 4. “谱边界元法” -- 没听说过，但从名字表达上无外呼 采用高阶正交函数作为插值
: 的边界元法，理论上完全行的通，边界元的核心就是用降维来增加计算能力，随着计算
: 能力的提升，这种方法终将淘汰。
: 5. 还有所谓的有限元法是烂数值方法本人不认同，有限元是30年前的产物，是何当时
|
c***r
发帖数: 1570 | 6 1 你对的，我没表达清楚，chebychev和legendre都是指基函数，其作用只是确定定积
分点/导数点和权重而已。
2 discontinnus Galerkin method 不是指“间断谱元法的一种”---比较差的一种、
collocation比她强， 就是指 discontinuous galerkin finite element method --那
当然还是一坨shit。 |
j***o
发帖数: 5096 | |
j****x
发帖数: 943 | 8 计算数学还是挺难的，要不你问问NYU Curant的人？
那
【在 c***r 的大作中提到】
: 1 你对的，我没表达清楚，chebychev和legendre都是指基函数，其作用只是确定定积
: 分点/导数点和权重而已。
: 2 discontinnus Galerkin method 不是指“间断谱元法的一种”---比较差的一种、
: collocation比她强， 就是指 discontinuous galerkin finite element method --那
: 当然还是一坨shit。
|
k*********g
发帖数: 791 | |
c***r
发帖数: 1570 | 10 看了几遍所谓的"第一手实践资料"，
无外呼是一些基于 “不超过100个单元的2d线性问题“ 的结论。 |
|
|
j***o
发帖数: 5096 | 11 kao，你交大哪一年什么戏的？我看看我们辈分怎么论
【在 k*********g 的大作中提到】
: 没时间，忙着这种东西了：
: http://www.mitbbs.com/article_t/Computation/31164387.html
|
C**********B
发帖数: 24 | 12 回帖给有限元defend一下。。。。。
站在你们的角度上和你们涉及的项目的角度上看，谱方法可能的确优于有限元。在很多
项目里，综合考虑效果和代价，差分法也优于有限元，至少我和合作者做的一个项目就
是，所以我们放弃有限元改用差分法。我在有限体和边界元里的一点点研究经验也在告
诉我他们在很多情况下优于有限元。但是，我也看到了很多有限元优于其他方法的项目
。包括前面提到的使用差分法项目的一个后续项目。我有几个项目都是工程的人在尝
试了其他方法效果不佳后，才转而找我们用有限元的。当然，可能是他们没有真正搞懂
其他方法，没有能够发挥出其他方法的长处，才会出现效果不如有限元的情况。但那些
有限元不如其他方法的项目里怕也有类似情况出现。作为主要搞有限元的人，我的项目
自然多数是适合有限元，能发挥有限元长处的，所以我的视角恐怕也是有偏颇。加之我
的确有其他方法优于有限元的项目经验，所以我不敢说有限元比其他方法好。我可能比
较愚钝^-^，不知如何判断那个方法绝对比哪个方法好，哪个方法一定会被淘汰，只知道尽力而为，基于自己的经验选用我觉得适当的方法，尽量发挥其长处。。。。。 |
j****x
发帖数: 943 | 13 要不牛牛们总结一下什么条件或情况下什么数值方法好使？ |
k*********g
发帖数: 791 | 14 你指的是哪一篇牛文？针对我啥时候说过的话？我想写的牛文很多，数值计算有3篇，
理论物理有好几篇。现在没有时间，忙着开公司的事情。
【在 j***o 的大作中提到】
: 你的牛文发了没？
|
D*******r
发帖数: 155 | |
k*********g
发帖数: 791 | 16 这几天我一直忙着做网站。就你关于sem的评论说一下。
Discontinuous的目的好处：
1 flux control，这样有利于local conservation
2 有利于并行计算
DG, discontinuous galerkin, 在计算固体力学领域经常成为 DG FEM 的代名词，但是
，有限元做成 discontinuous 是没有太多意义的，性能提高很少，却麻烦了很多。为
啥，我有点忘了为啥，但这是我几年前下的结论。如果真的要用有限元，还是
classical的continuous finite element method性价比高。
在scientific computing领域，galerkin的定义比较混乱，经常这一波人说的galerkin
和那一波人说的galerkin不是同一个意思。我认为，galerkin这么定义比较canonical
：用best fitting方式、主体在transform space计算的称之为galerkin。
这个定义是照顾了spectral method community的习惯，有点anti有限元的，因为在有
限元，galerkin指的是：用best fitting方式、主体在physical space计算，而且test
function和trial function相同的数值方法。
根据以上的那种照顾spectral community的定义习惯，collocation是指：用exact
fitting的方式，主体在physical space计算的方法。
这个定义跟有限查分法是完全consistent的；区别是，有限查分使用的是taylor展开，
即一种polynomial，但不是正交、完备函数，而collocation spectral method用的是
orthogonal、complete polynomials such as fourier、chebyshev、legendre。。。
按照上面的定义，galerkin spectral methods是真正的spectral方法：用了spectral
polynomials，而且主体在transform space完成，即整个time marching process在
transform space完成，完成后返回物理空间，非常优美。在处理linear systems的时
候galerkin比collocation要好。
不幸的是，在处理nonlinear systems的时候，galerkin成了花架子。因为，每一步，
它都要寻求物理空间的帮助，那个非线性项在transform空间是无法完成的。
所以，总的来说，按照上面定义的DG（discontinuous galerkin spectral element
method)和DC (discontinuous collocation spectral element method), DC edges
out DG without any doubts, so your comment was incorrect.
【在 c***r 的大作中提到】
: 1 你对的，我没表达清楚，chebychev和legendre都是指基函数，其作用只是确定定积
: 分点/导数点和权重而已。
: 2 discontinnus Galerkin method 不是指“间断谱元法的一种”---比较差的一种、
: collocation比她强， 就是指 discontinuous galerkin finite element method --那
: 当然还是一坨shit。
|
