c***r
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对于任何正数a, a如果不是正整数, 则可以找到一条曲线, 它的起点为A(0,0),
终点为B(1,0), 并且在该曲线上没有这样的两点X,Y, 满足:
|XY| = 1/a, 且XY平行于x轴.
正如前面有人指出的, 对于不同的a, 需要构造不同的曲线. 下面的曲线是对于1/4 < 1/a
< 1/3的. http://www.pbase.com/a6768/inbox
对于一般的情况, 如果1/(n+1) < 1/a < 1/n, 那么这个曲线是这样构造的:
* 将x轴平分为n+1份, 每一份内部是一个类似符号函数的曲线, 第k份中左半部分的长度
为k/n/(n+1), 或者说左半部分的比例为k/n ( k=0, 1, 2, …n )
* 不同份的"符号函数"的正的部分和负的部分分别减小.
实际上, 每个"符号函数"中间的上升沿在k/n的位置.
严格的证明挺麻烦的, 写个思路吧. (大写的XY表示点, 小写的xy表示坐标轴)
1. 每一段的水平线都不够长, 不同的水平线不一样高. 所以如果存在XY, 它们中间至少
有一点在竖直线上.
2. 证明竖直线和它右边的点不能构成X |
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