h*****0
发帖数: 4889 | 1 来自主题: BrainTeaser版 - 被9整除. 首先证明：给定任意5个整数，至少存在一个3个整数组成的子集，其和被3整除。
按被3除余0、1、2分类，如果三类齐全，则取各类各一个即可；如缺某一类，按抽屉原
理则另两类中必有一类有至少三个整数，全取之即可。
现在在17整数中任取5个，则由前述可知，可以得到一个三数组，其和被3整除。同法，
可得一共5个三数组。每个三数组之和被3除为整数，这5个三数组所产生的5个整数，由
前述可知必存在3个，其和被3整除。则此3数所对应的3个三数组中的9个数之和被9整除。
证毕。 |
|
发帖数: 1 | 2 2000以内能被3 或者4 整除， 却不能被 5 整除的整数有多少个 |
|
l**z
发帖数: 63 | 3 来自主题: BrainTeaser版 - 被9整除. 这个证明很明显是错的
因为三个被三整除的数的和未必能被9整除，如3，6，6
另外一个反例是如果你的证明是对的，那题设是16个数也成立(也能抽出三组)
但实际上 8个被9整除的数加上8个被9除余1的数的集合肯定是不能满足题设的。
这个题目的结论很明显，
但我还没想出严格的证明来
除。 |
|
h*****0
发帖数: 4889 | 4 来自主题: BrainTeaser版 - 被9整除. 我FT！你没认真看我的证明。三个都能被三整除的数，在除以3之后的各还能被三整除
，则原来的和能被9整除。
要从17个数里抽出5个三数组，每次抽时必须有5个数，17－4×3＝5,即最后一次恰剩5
个数，如果只有16个数，则最后一次不成立。
我的证明很严密。 |
|
|
d**u
发帖数: 412 | 6 来自主题: BrainTeaser版 - 被9整除. 给定任意17个整数.
证明至少存在一个由9个整数组成的子集, 这9个整数的和被9整除. |
|
d**u
发帖数: 412 | 7 任何13个整数.
证明存在一个7个整数的子集, 它们的和被7整除. |
|
h*****0
发帖数: 4889 | 8 wo kao!
难道任意2n+1个整数，必有一个n个整数的子集，和被n整除？ |
|
|
t******n
发帖数: 2939 | 10 ☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东) 提到:
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:37:03 2013, 美东) 提到:
在承认素数的这个等价定义 (即 a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除) 的前提下, 居然有人会认为这个证明是错的, 或者是不完备的.
我实在不能理解.
求问一下大家, 是不是有的人的脑子天生有缺陷, 根本怎么教都不会明白... 阅读全帖 |
|
t******n
发帖数: 2939 | 11 ☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:08:51 2013, 美东) 提到:
我不是认为命题1是真.
我是根据逻辑和公理推导出了 "如果假设成立, 则命题1为真"
看不懂别乱给人扣帽子. 你倒是给论证论证, 我怎么就 "认为命题1为真" 了?
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Fri May 24 02:13:43 2013, 美东) 提到:
那你得指出错在哪, 是不是?
你不能说 "我已经根据假设推导出命题1为真, 所以就不考虑命题2" 是错的吧?
☆─────────────────────────────────────☆
cyw (口令) 于 (Fri May 24 02:24:23 2013, 美东) 提到:
看你id怎么隐约看见了孙维？
☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Fr... 阅读全帖 |
|
t******n
发帖数: 2939 | 12 ☆─────────────────────────────────────☆
firearasi (firearasi) 于 (Thu May 23 18:10:13 2013, 美东) 提到:
1. 假设p1=2,p2=3,...,pn 是全部的素数...
2. 令 N=p1*p2*...*pn+1, 显然 N比 p1,p2,...,pn都大,因此不再p1,p2,..,pn,中, 所
以根据1, N是一个合数.
3. N是合数,那么必然能够被一个素数整除, 根据1, 所有的素数是p1,..., pn, 所以必
然有其中之一, 比如pj, 能整除N, 特别的, N 除以pj余数为0
4. N= pj*(p2*...*pn 括号内排除pj)+1=pj*something+1, 因此, N除以pj余数为1
5. 3 和 4 矛盾,N不能同时除以pj余0,而且余1.
现在有几种推理方法
6(I), 3和4矛盾, 矛盾的根源在于 假设1 是完全错误的, 于是 证毕,素数无穷 Q.E.D
或者走下列路线(l63路线)
6(II), 3和4矛盾的一个最近的根源来自于第3部的N是合数, ... 阅读全帖 |
|
t******n
发帖数: 2939 | 13 ☆─────────────────────────────────────☆
dangran (当当当) 于 (Thu May 23 16:51:52 2013, 美东) 提到:
怪不得现在科学院的人见到民科都躲起来了
------------------------------------------------------------
素数就是 除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数。
当然你可以说，
素数不能被其他所有素数整除。
素数不能被其他所有合数整除。
素数不能被除0和自身以外的所有自然数的子集整除
.
.
.
但是这些推论都不能当作素数的定义。
-------------------------------------------------------
"163"假设只有P1....Pn是质数，
然后就说N=P1*...*Pn + 1 也是质数，
因为N不能被P1....Pn整除。
其实N完全是可以被其他某个数整除的，
至于这个其他的数是不是质数并没有关系，
重要的是只要N能被其他数整除，
那么N就不是质数了。
-------------------... 阅读全帖 |
|
发帖数: 1 | 14 偶数能被2（抽象意义下自然）整除，奇数不能被2（抽象意义下自然）整除、奇数（包
括素数）却能被2（抽象意义下）相对整除，…，在数值逻辑公理体系中，派生子集合
，有理数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，......从系统的发展变化的过程中产生分化
出来占据整数的位置充分的十足的体现相对整性质，为什么会拥有相对整性质，因为有
理数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-
6.5，......绝对值的小数单位均为最大的小数单位0.5，最大的小数单位0.5决定着有
理数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，6.5，-
6.5，......的绝对值拥有相对整性质，相对整性质又为奇数能被2相对整除提供科学的
理论依据，因此，1+1=2或者说2是数学首要公理，…。
关键词：分数单位、最大的分数单位是1/2、分数单位的个数、小数单位、最大的小数
单位是0.5、小数单位的个数、相对整性质、为什么1+1=2等等。
开门见山，直击数学矛盾：
一、重... 阅读全帖 |
|
T*******x
发帖数: 8565 | 15 现在证Gauss Lemma. 这是一个beautiful的小lemma。
这里r1(x),r2(x)属于Z[x]，我们证明逆否命题，如果r1(x)*r2(x)如果有系数公约数p
，一个素数，那么r1(x),r2(x)至少一个多项式里面，系数有这个公约数。
假设
r1(x)=a_0 + a_1 x + a_2x^2 + ...+a_nx^n
r2(x)=b_0 + b_1 x + b_2x^2 + ...+b_mx^m
把这两个多项式相乘的全部项写出来，写成阵列，就是一个m*n的矩阵，横坐标为a_0,a
_1,...,纵坐标为b_0,b_1,...
x^k项为反45度对角线上所有项相加，系数c_k=sum_{i+j=k} of a_i*b_j
根据假设，反对角线上所有项相加的系数可以整除p。
从矩阵的左下角开始，推几步就发现，矩阵中的每一项系数都必须整除p。这个结果是
有点惊人的，因为不仅是反对角线上所有项加起来整除p，而且是每一项本身就整除p。
但是推几步就相信了。但是怎么能说清楚呢？挺巧妙的。数学归纳法。假设小于等于k
阶的反对角线内的每一项都整除p，证明k+1阶反对角线上的每一项... 阅读全帖 |
|
t******n
发帖数: 2939 | 16 ☆─────────────────────────────────────☆
xiongyp (dreamrain) 于 (Fri May 24 08:41:56 2013, 美东) 提到:
我们假设不知道什么叫素数，我们对正整数集合进行如下的定义来定义素数。（这是从
链接上取下来的，也是I63的定义）
(1) 1不是素数 (base case)
(2) a是素数当且仅当a不能被任何小于它的素数整除。
我曾经多次指出，这个定义在用素数定义素数，是不正确的。但看到很多的反驳如下。
1不是素数, 我们考察2，发现小于2的素数集合为空集，于是2为素数。以此再往下递归
，得出所有素数的定义。我想昨天深入讨论此内容的人，都不会反对我的总结吧。关于
"小于2的素数集合为空集"推出"2为素数"，因我的不慎，还做出过郑重道歉。
好，我们仿造这种递归定义，来定义偶数。
我们假设不知道什么叫偶数，我们对非负整数集合进行如下的定义来定义偶数。
(1) 0不是偶数 (base case)
(2) a是偶数当且仅当a与任何小于它的偶数之差为2的倍数。
我从base case开始。0不是偶数。我们考察... 阅读全帖 |
|
t******n
发帖数: 2939 | 17 ☆─────────────────────────────────────☆
mdmx (没大没小) 于 (Fri May 24 12:06:50 2013, 美东) 提到:
文史类ID: dangran, daigaku, czjn, carbon, susuw, bostontennis, bluemonkeyz,
luobo(self-requested), bigjoker(self-requested)
理工类ID: I63, devilphoenix, powerforward, jesseq, firearasi, ZZidane, Alife
, logic98, thinkhard, nikeman, mdmx
学艺不精之理工类ID: xiongpy
发帖不多的我没有统计，因为至少说明他们不关心此话题或对自己的结论不够确定。
其余的可对号入座。欢迎补充。如有错误，可以拍砖。
☆─────────────────────────────────────☆
CleverBeaver (我不是Otter) 于 (Fri May 24 12:09:49 2... 阅读全帖 |
|
t******n
发帖数: 2939 | 18 ☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Sun May 26 04:25:00 2013, 美东) 提到:
A 素数 := 大于1，且只能被1和本身整除的自然数
/\
|
|B 素数有无穷多个（已证明）
|
\/
C 素数没有本身之外的质因数
现在我们无聊，想证明素数有无穷多个
lz的思路是：先否决B（反证假设）
然后发现在此前提下C不成立了
然后说B假设必然不成立，证毕
看出问题了吗
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Sun May 26 04:28:50 2013, 美东) 提到:
你太笨了.
我证明C并不需要用到B, 你自己用了只能说你笨, 不要拖我下水, 谢谢!
☆─────────────────────────────────────☆
daigaku (๑۩۞۩๑) 于 (Su... 阅读全帖 |
|
c********t
发帖数: 1649 | 19 即使不是最简解答，不过靠手算完全可以算出来，申请包子！
第一步， 把90阶乘转化成90内所有质数的n次方的乘积
如1-90内 能被2整除的45个，除过2后还能再被2整除的（就是能被4整除的）22个
，被8整除的11个，被16整除的5个。。。。。， 整个加起来， 45+22+11+5+2+1=86
即2^86
被3整除的30个，被9整除的10个，27整除的3个，81整除的1个，共44，即3^44
以此类推，最终结果为：
90!=2^86*3^44*5^21*7^13.......83*89
然后分出2^21与5^21相乘，得到10^21,等同于1 ，消掉。 这一步是消除5的干扰，
也就是去掉乘积后面所有的0。 这一步后 剩下的数可以只取最后两位计算，倒数第三
位之前对最后两位无影响。
注意到6在乘法中的独特性，即6*6相乘，个位不变，还是6(事实上6与任一偶数相乘，乘积结尾还是原偶数） 。 并且十位数，如果两
乘数的十位数奇偶相同，如36*56， 46*86， 结果为两十位数相加再加3后取个位。
如36*56， 乘积的十位为 3+5+3-1 |
|
n****g
发帖数: 14743 | 20 【 以下文字转载自 Joke 讨论区 】
发信人: xiaopo (小坡), 信区: Joke
标 题: 学习数学, 要温故而知新
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Jan 21 10:13:02 2016, 美东)
小学数学儿歌汇总
1.乘法口诀儿歌
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。
两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。
四只青蛙四张嘴，扑嗵扑嗵跳下水。
2.一个数除几位数儿歌
先看被除数最高位，高位不够多一位
除到被除数哪一位，商就写在哪一位，
不够商1就写0，商中头尾算数位，
余数要比除数小，这样运算才算对。
3.小数加减法儿歌
计算小数加减法，关键对齐小数点，
用0补齐末位，便可进行加减。
4.四则混合运算儿歌
通览全题定方案，细看是否能简便；
从左到右脱式算，先乘除来后加减；
括号依次小中大，先算里面后外面；
横式计算竖检验，一步一查是关键
5.解应用题儿歌
题目读几遍，从中找关键；
先看求什么，再去找条件；
合理列算式，仔细来计算；
一题求多解，单位莫遗忘；
结果要验算，最后写答案。
长度、面积、体积、容积的认识
长度一条线，面积一... 阅读全帖 |
|
b*********z
发帖数: 26 | 21 就是因为你没考虑，所以反证出错了。
好，你的问题是：请问其中哪一处用到了和假设有关的性质?
重申下假设：素数是有限的，只有**这些素数**
那你这句话用到了和假设有关的性质
“a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除”
我们将这句话代入你的反证法。
你在你的证明里其实用了该命题的这个逻辑：
“a不被任何小于a的素数整除 => a是素数”
但是，前半句是在反证法的假设下，所以前半句中的素数指的是你假设中的素数。
后半句是结论，是要和假设归谬的，所以后半句中的素数指的是素数的定义：除了自己
和1不能整除
所以，这句话其实是
“a不被**这些素数**整除 => a是除了自己和1不能整除的数”
这句话是错的。
你假设**这些素数**只到pn，a会不会被pn+1到a-1之间的数整除呢？你没有证明。
所以我给了例子：
这些素数：2，3，5
14=2*7
7不是**这些素数**。
而你构造了31，你还要证明6到30之间没有数可以整除31，才能说31是素数，才能和假
设归谬。
或者说，”a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除“这句话在素数是有
限的情... 阅读全帖 |
|
d*****n
发帖数: 3033 | 22 怪不得现在科学院的人见到民科都躲起来了
------------------------------------------------------------
素数就是 除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数。
当然你可以说，
素数不能被其他所有素数整除。
素数不能被其他所有合数整除。
素数不能被除0和自身以外的所有自然数的子集整除
.
.
.
但是这些推论都不能当作素数的定义。
-------------------------------------------------------
"163"假设只有P1....Pn是质数，
然后就说N=P1*...*Pn + 1 也是质数，
因为N不能被P1....Pn整除。
其实N完全是可以被其他某个数整除的，
至于这个其他的数是不是质数并没有关系，
重要的是只要N能被其他数整除，
那么N就不是质数了。
--------------------------------------
看一下反例:
2*3*5*7*11*13+1=30031 不是素数，因为30031=59*509。
注意，这里30031不是素数的原因并不是因为59和5... 阅读全帖 |
|
x****o
发帖数: 21566 | 23 小学数学儿歌汇总
1.乘法口诀儿歌
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。
两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。
四只青蛙四张嘴，扑嗵扑嗵跳下水。
2.一个数除几位数儿歌
先看被除数最高位，高位不够多一位
除到被除数哪一位，商就写在哪一位，
不够商1就写0，商中头尾算数位，
余数要比除数小，这样运算才算对。
3.小数加减法儿歌
计算小数加减法，关键对齐小数点，
用0补齐末位，便可进行加减。
4.四则混合运算儿歌
通览全题定方案，细看是否能简便；
从左到右脱式算，先乘除来后加减；
括号依次小中大，先算里面后外面；
横式计算竖检验，一步一查是关键
5.解应用题儿歌
题目读几遍，从中找关键；
先看求什么，再去找条件；
合理列算式，仔细来计算；
一题求多解，单位莫遗忘；
结果要验算，最后写答案。
长度、面积、体积、容积的认识
长度一条线，面积一大片；
体积占空间，容积算里面。
6.四舍五入法儿歌
四舍五入方法好，近似数来有法找；
取到哪位看下位，再同５字作比较；
是５大５前进１，小于５的全舍掉；
等号换成约等号，使人一看就明白。
7.鸡兔同笼问题的解法
鸡有两只脚，兔... 阅读全帖 |
|
r*g
发帖数: 186 | 24 来自主题: JobHunting版 - 一道电面题 这样行不?
将数组排序为 a[0] <= a[1] <= ... <= a[K]
然后对第k步, 得到count[k], 这里count[k]是对于
1~N个数当中无法被a[0]~a[k]整除的数的个数
然后第k+1步: 需要扣掉count[k]中能被a[k+1]整除的数
的个数:
1. 如果a[k+1]是a[i](0<=i<=k)的倍数:不需要扣除:
因为不能被a[i]整除就一定不能被a[k+1]整除.
2. a[k+1]不是任何之前的数的倍数:
则变为寻找:
"能被a[k+1]整除的数, 但不能被a[0~k]整除"
这相当于寻找 1~N/a[k+1]中无法被a[0~k]整除的元素的个数
(也许可以利用count[k]来得到这个值, 而不用再算一次, 因为
这些元素分布是均匀的, 估计可以简单的乘除得到) |
|
b*********z
发帖数: 26 | 25 哇，memorial day长假出去玩回来想起这个帖子，楼又高了许多，代码都出来了，我等
码工真欢乐！
以前上mitbbs，我只潜水。不过，我承认这次我也灌了许多水，试图引起LZ思考哪里错
了。
好吧，楼很高了，我就总结一下我的发言吧。
首先说，素数的定义是大于1除了自己和1不能被其他自然数整除的自然数。
我把一楼的证明拷贝过来，并在下面一步一步举个简单的例子说明哪步错了。
－－－－－－－－－－
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
（假设素数只有有限个，为2，3，5，7，11，13.这些都是符合定义的素数，而且在13
以下没有遗漏，p_k就是13）
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
（考察N＝2*3*5*7*11*13＋1=30031）
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
（2，3，5，7，11，13都不能整除N。这句话是对的）
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
（这是错的。30031=59*509，N不是素数）
这与素数只有p_1,p_... 阅读全帖 |
|
c****n
发帖数: 1646 | 26 我说的证明，那个按假设我每步反驳你的，
你的结论N是素数，我认为同理可以得到N是合数。
和网上随处可构，包括欧大牛的现代形式，最大的不同是，那些证明并没有确定N是什
么。
你我的证明多了一步，对N的判定，问题就在这里。
素数的标准定义： 大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除
的数
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。
根据这个定义，确定一个N是不是素数，从2开始的整数除到N,就可以了。
你对素数的定义： a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
我可以提一个合数定义 a是合数，a是大于1的自然数, 且a不同于任何素数
这两个新定义是否严谨，我不能判断，因为看上去递归了，但性质上不会错了。可问题
在如何利用新定义去判定N是不是素数。
按新定义N是否是素数，先看小于N且最接近N的素数a1,如果不能整除N,那接着看a2,直
到2为止.反过来从2先开始也一样。
这个判定，和根据标准定义的，有一个区别，标准定义只需要整数，而我们需要其他素
数，我们还不知道最接近N的素数a1，a2.......到2是不是素数。没关系，... 阅读全帖 |
|
c****n
发帖数: 1646 | 27 你没明白我的意思，
无论是素数的标准定义： 大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然
数整除的数， 还是你对素数的定义： a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何
小于a的素数整除。都可以独立用于对一个数N是否是素数进行判定，这个判定不依赖什
么其他的假设条件，也不需要知道N之前都有什么素数。
但是，使用这两个定义判定N是否是素数，你需要遍历从２开始到N-１所有的整数，才
能得出结论。就说你这个定义，首先素数２，然后，判断３是否为素数，如果是，是否
能整除N。。。。。。。，一直到N-１，是否为素数，如果是，是否能整除N。。。。这
样，你才能通过定义，得到不被任何小于N的素数整除的N为素数。举个简单的例子，判
定４３是否为素数，
标准定义从２开始，除到４２，如果都不能整除，４３为素数，你的定义，要从２开始
，先挨步发现所有从２到４３之间的素数，３，５，７...........41,都不能整除，４
３为素数。
通过这两个定义，工作量实际上是一样的，而且不依赖于其他假设。回过来看你的证明
，你说a是素数是通过你的定义得来的。实际上你没有，如果要通过你的定义，你需要
... 阅读全帖 |
|
t******n
发帖数: 2939 | 28 ☆─────────────────────────────────────☆
sate (blah) 于 (Thu May 23 13:51:36 2013, 美东) 提到:
我把讨论的内容放一楼
N=2*3*5*7*11*13+1=30031
30031=509*59
这个Ｎ不是质数。有了这个反例，Ｉ63的证明出错了一条
（虽然这个证法本身是能证出来的，但“ 可知: N是素数”是错的）
附Ｉ63的证明：
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊错误
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
☆─────────────────────────────────────☆
nvbs (水波淼淼) 于... 阅读全帖 |
|
m**d
发帖数: 21441 | 29 某天收到一条短信：
“大叔你好！工作忙吗？我是北京XX大学的女学生，农村出身，家里种地的，弟弟还在
上学，下学期的生活费没有着落，能拜托大叔援助一下吗？我品学兼优，五官端正，身
高1米63，一定让你满意！”
我想了想，顺手回了一条：
“请证明：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解。”
果然几天没有动静了……
突然有天手机响了，打开一看……
证明：
j表示“奇数”，k=2^（m+1）*j表示“偶数”，m>=0,
按奇数与偶数的加法形式讨论费马方程：
1）奇数+奇数：
j1^n + j2^n = k^n
j1^n + j2^n =2^n 2^mn j3^n,
A 当j1=j2=j3时，由1）得：
1=2^(n+mn-1)
n>2，1=k不成立
推知1）式不成立。
B 当j3是j1,j2的j4,j5倍，由1）得：
1/j4 + 1/j5 = 2^(n+mn)
由(j4+j5)<(j4*j5)
推知1）式不成立。
C 当j1,j2是j3的j4,j5倍，由1）得：
j... 阅读全帖 |
|
r******o
发帖数: 122 | 30
这是 Pell 方程, (3,2) 是最小正整数解, 通解 (p_n, q_n) 满足
p_n+q_n√2=(3+2√2)^n, 则 p_n 以及 q_n 交替为3的倍数, 具体数值如下:
p_1=3, q_2=12... 不用 Pell 方程知识也可以证明 p, q 必有一可被3整除.
所以有惟一质数解 (3,2).
以10为底, log 3^20=20*0.4771..=9.5...
所以3^20的10进数表示有10位.
若满足题设, 刚好0到9各用一次, 数字和为45...
嗯, 似乎无法简单判断, 数字不大, 直接用算的比较快.
t=p^2-q^2=(p-q)(p+q)
p,q 皆为 6k±1 型质数, p+q, p-q 必有一可被6整除, 故6整除t;
p,q 皆为 4k±1 型质数, p+q, p-q 有一可被4整除, 另一被2整除, 故8整除t;
则 [6,8]=24 整除 t. |
|
l*****8
发帖数: 16949 | 31 想起一个笑话：
逻辑学家说：
“你看那个数学家，他发现1小于100，2小于100，
3小于100，4小于100，……，连99都小于100！于
是他就猜想：所有的自然数都小于100。”
数学家说：
“你看那个物理学家，他发现1整除60，2整除60，
3整除60，接着4、5、6也都整除60。然后比如10、
12、15、20、30也都整除60（据他说这几个数字
都是随意选取的），于是他断定所有的自然数都
整除60。”
物理学家说：
“你看那个工程师，他认为所有的奇数都是素数。
首先他毫不犹豫地把1当作素数，然后3是素数，
5是素数，7是素数，9是……哎呀，这个我们暂时
不管它，接下去，11是素数，13是素数，回头看
看9，这一定是一个实验错误。” |
|
A***e
发帖数: 130 | 32 从假设出发（2，3为所有的质数），再加上定义和other well-known facts, 是可以得
出7是质数的结论的，同7是否被5整除无关。
稍微详细一点说，根据2，3为所有质数的假定，7为合数的＊必要条件＊是7被2或3整除。
如果你一定要考虑7是否被5整除的问题，也可以。那么根据2，3为所有质数的假定，5
一定是合数且5一定会被2或3整除，那么，again，在2，3为所有质数的假定下，7就不
可能被5整除。这个逻辑可以扩展到任何2，3和7之间的数。
那么，l63的证明是否不完整呢？不是的，因为他的证明是根据以下定义：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
根据这个定义，7是质数与否同2，3与7之间的任何其它数是没有关系的（比如5）。 |
|
l*3
发帖数: 2279 | 33 你的代码似乎有点问题.
我的定义 (这里指最开始的小于a版本) 里只要求 "不被任何小于a的素数整除" 并没有
要求你的那个 "// 判断 仅能整除"
按照你的代码, 如果我做 if_an_only_if_divisor (2,3,5)
那拿出5以后, 在 "// 判断 仅能整除" 这一步, 4不能整除5, 不是就要返回错误值了
吗?
(另, 按照你原先写的 else if (this_number 不能整除 a_number), 似乎是笔误, 否
则5不整除1,2,3,4都是显然的, 这样就直接在a_number=1的时候返回错误值了) |
|
c****n
发帖数: 1646 | 34 那你是如何只考虑N就可以呢？
63的那个定义"a是素数" 等价于 "a是大于1的自然数, 且a不能被任何小于a的素数整除"
这个我认为没错，但也说了无数次了，这个判断是不需要任何素数有限无限的假设，能
必须遍历从2到a-1的所有数，和利用素数的常规定义所需要的工作量一样。
你也看到了，从63的定义，是不能保证pk与N之间无其他素数，我们已经构造出足够多
的例子了，如果你要从63的定义出发，那是判断不出的。
可63说了，这是反证法，我们要利用假设有限个素数p1
和假设，我们发现说N1,N2,N3,......N都是素数。那这个定义事实上是如何用在判定N
是素数呢。
63实际上是用的另一个定义来做的。
"N是素数" 等价于 "N是大于1的自然数, 且N不能被任何小于pk的素数整除".因为在63
的推理中，从它的定义，只能停止到pk,之后，是假设没有大于pk的素数。得到N是素数
的结论。
这里的逻辑，一步步推如下
1.N不能被任何小于pk的素数整除,
2.假设没有大于pk的素数
3.N是大于1的自然数, 且N不能被任何小于N的素数整除
4.N是素数
注意... 阅读全帖 |
|
发帖数: 1 | 35 据说这是美国中学生竞赛题目。或许人家有数学天赋的小孩子三下五除二，即刻便做了
出来；但对我这个老头儿却想了很久。此题用不了多少计算，但需要逻辑推理。题目如
下：
小明考了7次测验。每次成绩不同，都在91到100之间（包含）。都是整数。他每次考
后都计算平均分，也都是整数。他的第7次测验是95分。求他的第六次的测验成绩。
根据题的条件，七次考试的分数都是整数，在91到100之间，每次都不重复；每次考
试后计算出的平均分也都是整数。我首先想到的是，前五次测验的平均分的个位数应该
是0；五个数相加后的平均数如果是整数，个位只能是5或0，因为第七次已经95分。前
五次考试分数之和在466和490（91+92+93+94+96和96+97+98+99+100）之间，由此推出
，前五次分数之和是470、480和490。先这样推理好像有点没头没脑哈。放一放，先算
七次测验的分数累计吧。
现在已知七次测验的三个分数91、95和100，相加286。另外四个未知数都大于91，小
于100，也就是92至99之间（扣除95），四个未知数相加之和在375（92+93+94+96）到
390（96+9... 阅读全帖 |
|
r*********n
发帖数: 4553 | 36 来自主题: JobHunting版 - 请教一道题 这就是不同numeral之间的转换吧
你可以用长除法把十进制转换成二进制，同理你可以用长除法把十进制转换成26进制，
然后再把0~25 map 到 'A' ~ 'Z'
比较tricky的地方是最高位的判定方法
1. 如果次高位是整除没有余数，则最高位要减一之后再map
2. 如果此高位不是整除，则最高位直接map
E.x
0 ~ 25, 不能被26整除，最高位由0~25直接map得到
52， 长除法的余数是[2, 0]，但是此高位是整除，所以应该用[1, 0]map得到BA
26^2-1， 长除法余数是[25, 25]，但是此高位不是整除，所以直接用[25, 25]map得到
ZZ |
|
s******1
发帖数: 969 | 37 来自主题: BrainTeaser版 - 填数策略 我来瞎试一试。
1：
没有这样的n。
原因：假设乙先填，最后一个数是甲填。甲总能找到一个数在0－9之间，使ABCDEF不能
整除任何n。假设ABCDE（f）可以整除n，则ABCDE(f+1)，ABCDE(f－1) 不能整除n.因此
乙失败。
所以没有这样的n,谁先填谁必胜；
2:
n=2,3....9，10.
原因：ABCDEF 除以 n 的余数在2——9 之间。最后填的人总可以找到一个数字，让
ABCDEF 整除或不整除n.
3：
n=1. |
|
s***e
发帖数: 5242 | 38 11月2日。四年前，雷版诞生的这天，我过生日。
我们是幸运的。
为了证明这个命题，让我们先来看看11这个数。
首先，它是个素数。
素数就是那些只能被1和自己整除的正整数。比如2，3，5，7，11，等等。
为什么又不包括1呢？
因为我们经常遇到要把一个自然数表示成素数的幂的乘积。比如
400=2^4*5^2
这样的表示是唯一的。
而1乘以任意数都等于那数；更糟的是，1的指数是任意的实数时也是如此。
一句话，1帮不上忙啊。
而且，很多有关素数的定理当1也算是素数时变得很不简洁。
作为补偿，我们许诺，把两个1做为素数，无论是1＋1还是11。
于是我出生于11月2日。。
素数，就是乘法上最简单的数。而11明显又是不简单的。
因为，它是对称的。
对称就是在某变换下保持不变的性质。
把11的个位数和十位数换了，还是11。
把11翻了个来看，还是11。
能保持自己无论如何得需要勇气，11明显不是简单的。
再让我们定义“左右对称的数”，即S数。它们的中轴线两边对折完全一样。
77是，1991是。
但1818不是。它不过是有“平移对称”罢了。
505也不是。请尽量不要把一个数用物理手段分开。好么？
现在... 阅读全帖 |
|
Z*****e
发帖数: 369 | 39 这太简单了啊。首先一个质数不会被比它大的数整除。然后考虑比它小的数，要么是质
数，要么是合数，如果一个数不能被比任何一个比它小的质数整除那么必然不能被比它
小的合数整除，因为合数根据定义会被至少１个比它小的质数整除，所以这质数的定义
也可以说成不能比它小的质数整除的数。看懂了没？ |
|
b*********z
发帖数: 26 | 40 楼太高，没看完。不知道是不是有人和我表达过相同的意思。反正试试看这种说法大家
觉得有没有道理。
1. 素数的定义只有一个，就是只能被它自己和1整除的数。
2. 反证法一定要给个假设然后证到底的结论和假设矛盾才算数。这一点非常重要。假
设条件在推理中要用，而且不能违背，知道推到和假设条件矛盾的结论为止。
LZ的假设是素数是有限的，我们称为已知素数，那么
LZ说：“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除”
在反证法的前提下，这句话的意义是
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***已知素数***整除
因为你已经说了，素数就这些。但是，这是错误的。
假设已知素数是2，3，5。49就是变成了素数，而根据素数的定义，49能被7*7整除，49
不是素数。
也就是说，你没有证明N=p1*p2*...pn+1不能被大于pn而小于N的整数整除。
LZ在推论中就有错误，而不是在正确的推理后得出的结论和前提假设错误，不符合反证
法。 |
|
Z*****e
发帖数: 369 | 41 这太简单了啊。首先一个质数不会被比它大的数整除。然后考虑比它小的数，要么是质
数，要么是合数，如果一个数不能被比任何一个比它小的质数整除那么必然不能被比它
小的合数整除，因为合数根据定义会被至少１个比它小的质数整除，所以这质数的定义
也可以说成不能比它小的质数整除的数。 |
|
s***w
发帖数: 161 | 42 既然都这样了我来给你逐条批阅一下
*****************
你如果有逻辑, 就说出以下哪个地方 "在逻辑上是错的" (而不是自己对别人的话先刻
意曲解一番, 然后再说明曲解后的话是错的) :
<1>. "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除" 是对的.
---- OK.
<2>. 如果 "素数只有p_1,...p_n这些", 那么考虑 N = p1*...*p_n + 1, 可知任意一
个p_i都不整除 N, 且N是大于1的自然数.
---- 根据<1>，你的假设"素数只有p_1,...p_n这些"完整的表述应当是 “假设存在p1<
p2<...
A. pi不被任何pj where j
B. 对于不等于任何pi的非1自然数m，存在pk where 1<=k<=n, 能够整除m
那么你构造的N根据假设part B，应当能够被某pk整除。而N的形式决定了这不可能。矛
盾。证毕。
<3>. 如果 "素数只有p_1,...,p_n这些", 那么所有小于N的素数一定也只可能是p_1,..
.,p_n中的数. 那么由 <1> 和 <2>... 阅读全帖 |
|
s***e
发帖数: 5242 | 43 【 以下文字转载自 LeisureTime 讨论区 】
发信人: sukye (勤奋的小苏●书鱼), 信区: LeisureTime
标 题: 【版庆】雷版小苏庆生
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Nov 7 21:20:30 2013, 美东)
11月2日。四年前，雷版诞生的这天，我过生日。
我们是幸运的。
为了证明这个命题，让我们先来看看11这个数。
首先，它是个素数。
素数就是那些只能被1和自己整除的正整数。比如2，3，5，7，11，等等。
为什么又不包括1呢？
因为我们经常遇到要把一个自然数表示成素数的幂的乘积。比如
400=2^4*5^2
这样的表示是唯一的。
而1乘以任意数都等于那数；更糟的是，1的指数是任意的实数时也是如此。
一句话，1帮不上忙啊。
而且，很多有关素数的定理当1也算是素数时变得很不简洁。
作为补偿，我们许诺，把两个1做为素数，无论是1＋1还是11。
于是我出生于11月2日。。
素数，就是乘法上最简单的数。而11明显又是不简单的。
因为，它是对称的。
对称就是在某变换下保持不变的性质。
把11的个位数和十位数换了，还是11。
把11翻了个来看，还... 阅读全帖 |
|
B****n
发帖数: 11290 | 44 可以考慮用數學歸納法 假設n=k時成立 也就是有一個k位數的x可以整除2^k
那只有兩種情況一種是x可以整除2^(k+1) 那就2*10^k+x可以整除2^(k+1)
或是x不能整除 那10^k+x可以整除2^(k+1)
that |
|
b*****e
发帖数: 474 | 45 既然大家都公布了答案, 我也把我的公开了吧.
按照 duz 的思路, 引理证明 任何 p-1 个不被 p 整除的数必有其中几个的和
可以和任何不被 p 整除的数同余. (见我前面关于此题的帖子).
那么, 下一步的关键就是怎么从任意 2p-1 个数中分出 p-1 对 (两个数一组)
来, 使得每对数里两个数的差不被 p 整除. 如果存在这样的 p-1 对,
不妨记作 (x1, x2), (x3, x4), ... (x_[2p-3], x_[2p-2]). 那么,
考虑 x1, x3, x_[2p-3], x_[2p-1] 这 p 个数. 如果它们的和被 p 整除,
问题得证. 否则, 由于(x2-x1), (x4-x3), ..., (x_[2p-2]-x_[2p-3])
中可以选出其中几个的和与 -sum(x1, x3, ..., x_[2p-3], x_[2p-1]) 同余,
选出的几个数加上x1, x3, ..., x_[2p-3], x_[2p-1] 就被 p 整除.
这个和其实就是用选出的几个数代替他们各自在同一个组(对)里的另一个数
的结果, 当然就是这 2p-1 个数 |
|
i***s
发帖数: 39120 | 46 2017国家公务员行测和申论两科公共科目笔试于今日结束，记者从现场考生以及北京中公、华图等教育机构获悉，今年行测考试紧跟热点，人工智能、航天飞行等出现在考卷上。有考生“吐槽”，认为题目有点刁钻;还有考生表示，数量关系题和奥数难度相当，认为机关工作应该减少数学题的难度。究竟哪些考题难倒了考生，记者摘选了下列考题，您试试看?
最“神奇”考题
物理学研究与艺术创作有异曲同工之处，若是不能，就只能千锤百炼，通过成年累月的辛苦工作来解开暗物质的谜团了。【本题来源于网络，中公教育不对此真题的准确性和真实性负责】
填入画横线部分最恰当的一项是：
A.守株待兔 B.一蹴而就 C.妙手偶得 D.灵机一动
【参考答案】C。解析：由材料可知，空缺处所填词语应与“只能千锤百炼，通过成年累月的辛苦工作……”构成反对关系，故“妙手偶得”恰当。本题答案为C。
最“深奥”考题
柏拉图认为处于变化之中的事物不是真正的存在，持这种观点的人会认为以下哪项最真实?
A. 关于马的概念 B. 人的照片
C. 一棵树 D. 勾股定理
【参考答案】 D。解析：柏拉图的观点体现了否认绝对运动，那么可以认定他承认相对静止，在四个选项中... 阅读全帖 |
|
b****a
发帖数: 4465 | 47 一九五六年年底，陈景润再次从南方海滨来到了首都北京。
一九五七年夏天，数学大师熊庆来也从国外重返祖国首都。
这时少长咸集，群贤毕至。当时著名的数学家有熊庆来、华罗庚、张宗燧、闵嗣鹤、吴
文俊等等许多明星灿灿；还有新起的一代俊彦，陆启铿、万哲先、王元、越民义、吴方
等等，如朝霞烂熳；还有后起之秀，陆汝钤、杨乐、张广厚等等已入北京大学求学。在
解析数论、代数数论、涵数论、泛涵分析、几何拓扑学等等的学科之中，已是人才济济
，又加上了一个陈景润。人人握灵蛇之珠，家家抱荆山之玉。风靡云蒸，阵容齐整。条
件具备了，华罗庚作出了部署。侧重于应用数学，但也要向那皇冠上的明珠，哥德巴赫
猜想挺进！
五
要懂得哥德巴赫猜想是怎么一回事？只需把早先在小学三年级里就学到过的数学再来温
习一下。那些1 2 3 4 5，个十百千万的数字，叫做正整数。那些可以被2整除的数，叫
做偶数。剩下的那些数，叫做奇数。还有一种数，如2，3，5，7，11，13等等，只能被
1和它本数，而不能被别的整数整除的，叫做素数。除了1和它本数以外，还能被别的整
数整除的，这种数如4，6，8，9，10，12等等就叫做合数。一个整数，如能被... 阅读全帖 |
|
P**l
发帖数: 3722 | 48 三个数里至少有个能被2整除
三个数里一定有个能被3整除
两个大于6的素数肯定不能被6整除
2，3互素
所以中间那个能被6整除
这是小学奥数之类的题吧。。。 |
|
G*********t
发帖数: 71 | 49 本人背景：无名学校CS小硕，工作一年在一家无名微型公司, 三低三无人物：资历低，
工资低，水平低、无绿壳，无淫脉，无老婆
中年白淫，语速清晰
面经：
1. 上来要coding 写一个很简单的函数 如果能被5整除输出buzz，能被3整除输出fizz
，同时能被这两个数整除输出舒服fizzbuzz，如果都不能被这两个数整除输出这个数。
2. 给你两个string 是否是anagram，我说两个hastable，然后减少到了一个，面试官
最后提出一个比较有价值的问题。如果想检验这个hastable所有value是否都为0，除了
挨个查之外用C或者C++有没有更快的办法
3. 如何实现priority queue。
三个问题，但是问了很多时间空间效率的问题，同时也问了特别特别多怎么写test
cases，木经验啊，test不咋熟，就在那冥思苦想胡说八道。
从板上的大牛牛们学了很多，所以小的尽微薄之力分享一下下。 |
|
G*********t
发帖数: 71 | 50 本人背景：无名学校CS小硕，工作一年在一家无名微型公司, 三低三无人物：资历低，
工资低，水平低、无绿壳，无淫脉，无老婆
中年白淫，语速清晰
面经：
1. 上来要coding 写一个很简单的函数 如果能被5整除输出buzz，能被3整除输出fizz
，同时能被这两个数整除输出舒服fizzbuzz，如果都不能被这两个数整除输出这个数。
2. 给你两个string 是否是anagram，我说两个hastable，然后减少到了一个，面试官
最后提出一个比较有价值的问题。如果想检验这个hastable所有value是否都为0，除了
挨个查之外用C或者C++有没有更快的办法
3. 如何实现priority queue。
三个问题，但是问了很多时间空间效率的问题，同时也问了特别特别多怎么写test
cases，木经验啊，test不咋熟，就在那冥思苦想胡说八道。
从板上的大牛牛们学了很多，所以小的尽微薄之力分享一下下。 |
|
