n********g
发帖数: 6504 | 1 不用加减乘除如何描述实数？
From: 哆嗒数学网 哆嗒数学网 Today
本文编译自 @downwardsLST 的推特账号
编译作者，Math001
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有很多定义实数的办法，他们之中很多都是等价的。但是，如果我想放弃所有的代数结
构，只是使用序结构来定义，会怎么样呢？(就是说只考虑大小关系，不考虑加减乘除
之类的运算)。首先，我需要一个全序集——这样的集合里任意两个元素都可以比较大
小。
自然数就是那样的集合，而且每个自然数都有一个后继。但是，我们想让自然没有端点
，于是我们加入“没有最大元素和最小元素”这样的条件。好了，这样整数就诞生了。
但是，这样的集合有太多的缝隙，每两个连续的整数间都有缝隙。
我们需要填补这些缝隙，于是需要打破每个整数都有前驱或后继这样的状态。于是，我
们这样要求，要求任意两个不同元素之间都有另外一个元素：这个性质叫做(序)稠密性。
看吧：有理数就是稠密的。但是，有理数仍然有很多“小洞”。为了填补这些洞我们要
求“完备性”：每一个有界子集都有上确界和下确界。实数就满足这样的性质，填补那
些洞的数叫做无理数。
但是，... 阅读全帖 |
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t******n
发帖数: 2939 | 2 ☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:34:22 2013, 美东) 提到:
假设素数只有有限个, 记为 p_1,p_2,...,p_k
考察 N = p_1*p_2*...*p_k + 1
可知: 对于任意i = 1,2,3,...,k, p_i 不能整除 N
由素数的定义:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
可知: N是素数
这与素数只有p_1,p_2,...,p_k矛盾.
故假设不成立.
所以素数有无穷多个.
☆─────────────────────────────────────☆
l63 (l63) 于 (Thu May 23 00:37:03 2013, 美东) 提到:
在承认素数的这个等价定义 (即 a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a
的素数整除) 的前提下, 居然有人会认为这个证明是错的, 或者是不完备的.
我实在不能理解.
求问一下大家, 是不是有的人的脑子天生有缺陷, 根本怎么教都不会明白... 阅读全帖 |
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b***e
发帖数: 4591 | 3 ☆─────────────────────────────────────☆
zfc (zfc) 于 (Thu Apr 8 23:41:54 2010, 美东) 提到:
不久就要回国了，有些纸箱子需要托运。有谁推荐一家西雅图到中国的海运公司？多谢
了！买过几份周末中文报纸，找不到广告。
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bluebusi1 (丫鬟中的丫鬟) 于 (Fri Apr 9 00:53:19 2010, 美东) 提到:
七海啊
☆─────────────────────────────────────☆
zfc (zfc) 于 (Fri Apr 9 01:00:40 2010, 美东) 提到:
听说七海要用他们的纸箱，可我已经装箱好了，实在是不想再来一遍。
除了七海还有别的公司吗？
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Oregonbeijin (我是Max他爸！) 于 (Fri Apr 9 01:28:39 2010, 美东) 提到: |
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t*******r
发帖数: 22634 | 4 俺去查了一下 ZFC 里面的无穷集，其实 ZFC 里面的把自然数集合
定义为无穷集。
http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity
按照 ZFC 的定义，其实计算机图论都是无穷集，一样是递归产生
的东西。
但是计算机图论几乎从来不讨论有穷无穷。我有时候觉得（当然可能
是偏见），有穷无穷之对纯数学有意义，对信息学意义不大。因为信
息学本质上是在某种自动机上面跑，有多少内存时间，能跑多大程序。
信息学更关心 big O()，而不是有穷无穷。
不过也好，现在我知道计算机的图论/LR文法等等，ZFC 的观点都是
无穷集。。。不过对图论编程可能是 totally pointless 。。。
,
" |
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p******r
发帖数: 6213 | 5 原来如此。考了一下古，以你在数学版发的请教帖而言，貌似数学版的人很支持李将军
，狠不鸟虎肉你啊。
http://www.mitbbs.com/article_t/Mathematics/31192441.html
节选了一下：
1.－------------------------------------------------------------
发信人: TurboCode (好风频借力), 信区: Mathematics
标 题: 如何论证1＋1可以不等于2？
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Mar 28 16:01:41 2013, 美东)
网友ridgway用以下方式论证1＋1可以不等于2：
两个方向不同的单位长度的向量相加，其矢量和的长度不等于2。所以在矢量空间里1＋
1可以不等于2。
这个论证有什么问题吗？
2.－----------------------------------------------------
发信人: JeanChris (克里斯朵夫), 信区: Mathematics
标 题: Re: 如何论证1＋1可以不等于2？
发信站: B... 阅读全帖 |
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g****t
发帖数: 31659 | 6 个人浅见：
(1)
阿基米德和祖冲之不知道如何解决无穷累加的收敛问题。
牛顿和莱布尼兹知道在很多种情况下怎么做。他们的办法就是比较一个累加和
已知收敛的级数的累加。最基本的累加收敛级数是比例小于1的等比级数。
简单的例如说，0.3333...=1/3,把这条当作公理，然后可以建立很多别的计算过程的
收敛性。
(2)
祖冲之和阿基米德不知道微积分基本定理。也就是说一个定积分的导数，等于这个
定积分的积分函数在边界的值。
炒股的话，就好比说你的累计收益的变化率，等于某个
股票当日的价格。
(3)
按我多年前的印象。当今数学并没有完美的基础。ZFC公理系统可能是不一致的。
也就是说，可能存在一个命题，ZFC能证明其正确。
ZFC也能证明这个命题的非的正确。
(证明的意思是，写出一个合乎语法的有限长的逻辑链，这个链的末端是你要
证明的命题。)
所以目前的情况，数学的严谨和有效性是经验保持的。不完全是数理逻辑证明了的。 |
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l*****9
发帖数: 9501 | 7 【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: guvest (我爱你老婆Anna), 信区: Mathematics
标 题: Re: 如何论证1＋1可以不等于2？
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Apr 3 22:18:37 2013, 美东)
ZFC本身的一致性是不可能被ZFC之内证明的。
因为ZFC等同于常用数学。
所以，在常用数学范围内，1+1被证明为3，并不是不可能。
网友ridgway用以下方式论证1＋1可以不等于2：
两个方向不同的单位长度的向量相加，其矢量和的长度不等于2。所以在矢量空间里1＋
1可以不等于2。
这个论证有什么问题吗？ |
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b*******n
发帖数: 1267 | 8 关于连续统假设的评论
吕陈君
1. 连续统假设的来源及其历史演变
连续统假设（简称CH），是康托在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就
必须了解康托是怎样建立集合论的。
康托采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合。[1]第一种方法是利用幂集合，他证
明了一个集合总比其幂集合要小，而且自然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势（即元素
个数相等）。这样，从自然数集N开始，利用幂集合方法，就可以形成一系列越来越大
的无穷幂集合
N, P(N), P(P(N)), ……
第二种方法是利用超穷数，康托提出了生成超穷序数的三条原则: 第一原则，从1开始
，任何序数α加1后仍是一个序数。这样，从1开始，就可以形成一个无穷序数序列
1, 2, 3, …, n, ……
在这个无穷序数序列中没有最大序数存在; 第二原则，如果一个无穷序数序列中没有最
大序数，那么必然存在一个极限序数ω，这是一个新的序数。这样，从ω开始反复加1
，又可以得到一系列无穷极限序数
ω, …, 2ω, …, ω2,…, ωn,…... 阅读全帖 |
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l*****8
发帖数: 16949 | 9 ZFC下所谓的"任意集合“，就是按照ZFC公理构造出来的集合才算。桌子板凳之类就不
算了。讨论当然是可以讨论的，而且写出来的公式都是一阶谓词逻辑表达式。
比如连续统假设就是: forall x( ||x||<=aleph_0 or ||x||>2^aleph_0)。 是一个
非常标准的表达式。
关于第二点，是你对连续统假设的独立性有误解。严格的说，连续统假设还没有被证明
。被证明的只是ＺＦＣ系统没法证明它的真假。实际上，连续统假设要么真，要么假，
但ZFC不是一个完备的系统，没法推导出世界上所有的为真的命题。
稍微展开点说，关于＂真假“有两个不同的概念，一个是语义的，就是在现实世界里为
真。另一个是语法的，也就是可以（在某个公理系统里）被证明。通常来说，一个公理
系统证明出来的在现实世界里都必须是真的。这个叫soundness.另一个方向是说，如果
如果所有现实世界里真的都能被证明，那这个系统就是完备的。（开个玩笑，孙维是不
是下毒的恐怕永远没法被证明了，但这件事一定要么真，要么假。所以我们的法律体系
是不完备的）。
回到歌德巴赫猜想，它可以被表达成一个没有歧义的公式，因此语义上说，它... 阅读全帖 |
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j******w
发帖数: 690 | 10 这个要看你相对于哪个公理系统。
如果是相对于PA(Peano axioms)证明PvsNP的独立性还有可能。但是这个基本也是毫无
进展。很多
搞证明论的试图在PA的极弱的子公理下证明PvsNP的独立性都没有成功。
如果是相对于ZFC就麻烦了。ZFC对于表述简单的命题有个绝对性原理。这本来对于证明
是件好事
情。但是如果这类简单的命题是独立于ZFC的，那么它的独立性都不可证。也就意味着
不能像
Cohen那样用个forcing 就造出来了。也许Pvs NP就是个大基数公理也说不定。 |
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g****t
发帖数: 31659 | 11 ZFC本身的一致性是不可能被ZFC之内证明的。
因为ZFC等同于常用数学。
所以，在常用数学范围内，1+1被证明为3，并不是不可能。
网友ridgway用以下方式论证1＋1可以不等于2：
两个方向不同的单位长度的向量相加，其矢量和的长度不等于2。所以在矢量空间里1＋
1可以不等于2。
这个论证有什么问题吗？ |
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s**e
发帖数: 1498 | 12 无穷公理定义了自然数集的存在，没有它，zfc中别的公理无法证明自然数集的存在。
这里，定义无穷是没有必要的。自然数集存在了，并有它的一切性质，包括了所谓无穷。
你这个帖子里洋洋得意的说不用反证法就不能定义无穷，无外乎在朴素集合论里，无穷
集是基于有限集的反例定义的。我说的对吗？
但是在zfc里，无穷是不需要定义的，他只是符合无穷公理的集合的一个性质而已。
还有，不用反例也可以定义无穷，比如dedekind的定义，不是一目了然吗？ |
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g****t
发帖数: 31659 | 13 我说了很多遍了。你为啥就不知道读一读wikipedia上面ZFC那一页呢？你压根不懂什么
叫数学，也不知道什么叫逻辑。还整天把数学拿来当救命的主来用。
简单的说数学逻辑不是上帝。说不定明天就爆出来ZFC自身是不一致的。前段时间普林
斯顿的nilson刚搞过一次乌龙。 |
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m********t
发帖数: 13072 | 14 做研究这种事，我可能有一点发言权，真正的研究不是这么无边无沿的聊出来的
就我个人的经验，打个比方，zfc这个term，你觉得你轻松脱口而出，还谴责对方咋都
不懂，可对我来说，这是一笔很大的cost。
我可能花一个星期的时间，先翻出所有zfc的资料，从二战开始到今天的成果，才开始
真正的领悟和吸收，这个过程，花一个月都不算稀奇的，有些即便你很熟悉的term，都
需要两个月的时间，融会贯通到和别人能交流能答疑的地步－－－－如果对你是新东西
，2个月的摸索都算短的，3个月到半年也不算稀奇了
所以我的paper都是一年前就写完了，从递交到审批到接受，至少9个月的时间，根本不
像二流学校，交之前的一个星期，竟然数据还没出来，我听着都可乍舌了。 |
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j******w
发帖数: 690 | 15 这个会有很多技术上的问题(比如如何定义这种集合的基数).
实际上现在似乎没有人认为"the world is ill-founded".
也就是不会有这种集合...\in x_{n+1}\in x_n\in....\in x_1.
大家都倾向于认为世界是由一些原子构成然后生成所有集合.
不过非标准分析研究这类集合,
但似乎人们一致认为这仅仅是一项工具.
比如按照Godel不完备性定理,
肯定有一个世界里面有ZFC是不协调的证明,
但这个世界肯定(如果你承认ZFC是协调的)是非标准的(也就是存在上面所说的ill-
founded chain).
这也使得人们不太关心这种病态世界.
但也许有多得就得有所失,
也许哪一天物理学家就证明这个世界是ill-founded.
Who knows. |
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j******w
发帖数: 690 | 16 the proof of FLT(Fermat Last theorem)
that was found is not even formalizable in ZFC,
going far beyond the bounds you suggest as
already causing trouble. (ZFC + an inaccessible
will do.)
I heard this several times. |
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b**g
发帖数: 335 | 17
which
If you know some algebra, then you should have heard of field extension, i.e.
given a field F, insert something, say, x, to create a new field F[x]
Similarly, begin with a model of axiomatic set theory (e.g. ZFC), say M,
insert
something, say G (G means "generic" set), to it. This G is specially
chosen such that M[G] is still a model of ZFC but violates continuum
hypothesis. (Note: this model M is also special, it has to be countable &
transitive)
This whole process (called "forcing") is |
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g****t
发帖数: 31659 | 18 他说的东西,还真不一定全无道理.
ZFC真不一定是一致的.大家都相信其一致性而已.
(可能有一部分人相信,就算出了新悖论,
绝大多数数学结果还是不会受影响)
而且按照Godel定理,这个情况还没办法进行本质性的改善.
前段时间stackoverflow好像还有人谣传,发现ZFC不一致了.
(也就是说有一个0=1之类的东西,两边都是可以用数学证明的.)
你還指出他的錯誤 你真是太牛了 |
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c***s
发帖数: 70028 | 19 2011年高考天津文综2题被设计到了游戏中
“还不好好学习？你连个游戏都打不过关！”近日，网上出现了两款被网友评为“史上最丧心病狂”的网页文字游戏：《本座倒要看看你能活几天》（以下简称《本座》）和《是文科生就杀了那个“本座”》，引发网络上全民“再学习”热潮，“玩过一次，妈妈再也不用担心我的高考，so easy”。
据记者调查，这两款游戏均由“北京大学起床协会”的成员设计而成，其中《本座》已有374003人次进入该游戏，而其姊妹版《是文科生就杀了那个“本座”》上线不到72小时，游戏人次已突破16万。此外，在百度经验、天涯论坛、新浪博客等各大网站上，还有不少网友实况直播通关过程和分享游戏攻略。
理科篇感受
死去活来但很有成就感
8月28日，“北京大学起床协会”在人人网上贴出了一款自主设计的网页游戏《本座》，引来无数网友围观。
游戏一开始，就是为无数网友所熟知的穿越桥段，在这个游戏背景设定中，主人公是后宫的妃嫔，由于国君是一个非常痴迷数学的人，所以每天都会给爱妃们出数学题，如果做不出便会被赐死……“要不要高端大气！第一个题就是黎曼猜想啊！”网友纷纷吐槽，才刚开始游戏就被一个接一个的专业难题折... 阅读全帖 |
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o***s
发帖数: 42149 | 20 2011年高考天津文综2题被设计到了游戏中
调查
“还不好好学习？你连个游戏都打不过关！”近日，网上出现了两款被网友评为“史上最丧心病狂”的网页文字游戏：《本座倒要看看你能活几天》（以下简称《本座》）和《是文科生就杀了那个“本座”》，引发网络上全民“再学习”热潮，“玩过一次，妈妈再也不用担心我的高考，so easy”。
据记者调查，这两款游戏均由“北京大学起床协会”的成员设计而成，其中《本座》已有374003人次进入该游戏，而其姊妹版《是文科生就杀了那个“本座”》上线不到72小时，游戏人次已突破16万。此外，在百度经验、天涯论坛、新浪博客等各大网站上，还有不少网友实况直播通关过程和分享游戏攻略。
理科篇感受
死去活来 但很有成就感
8月28日，“北京大学起床协会”在人人网上贴出了一款自主设计的网页游戏《本座》，引来无数网友围观。
游戏一开始，就是为无数网友所熟知的穿越桥段，在这个游戏背景设定中，主人公是后宫的妃嫔，由于国君是一个非常痴迷数学的人，所以每天都会给爱妃们出数学题，如果做不出便会被赐死……“要不要高端大气！第一个题就是黎曼猜想啊！”网友纷纷吐槽，才刚开始游戏就被一个接一个的专... 阅读全帖 |
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r*******j
发帖数: 2445 | 21 随手搜了篇1+1不等于2的数学证明，您自个慢慢玩：
證明1+1不等於2:
先證1+1=2
一般來說想證明1+1=2時
例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised
Ed., Ch. 6, §43-44)：
0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}
〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變
成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕
現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：
0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}
[Λ為空集]
一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。
在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下
去，並且所有由這構作方法得 |
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g****t
发帖数: 31659 | 22 谁也不能保证现有的ZFC系统不会在某一天发现一个新悖论出来。但每个民科都相信数
学比其他学科更严格。
所以数学其实是信仰的一种。也许正是因此，数学才会比古代数学更丰富和广泛。
当然，所有科学门类的基本假设都有类似的特点。重点是，把数学过度拔高的属于民科。 |
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g****t
发帖数: 31659 | 23 跟你说了很多遍了。ZFC集合论说不定哪天就会发现有悖论。你的大脑是不是不够理解
稍微复杂点的事实啊，还对数学有这么高的神话崇拜？
数学就是手艺的一种，凭啥你指望数学管别的事？ |
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t******l
发帖数: 10908 | 24 另外刚才罗素发电报说。。。这个 “力气” 没有用 ZFC set theory 无二义地定义。
。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 25 这没戏，因为数学语言基于的 ZFC set theory 和实数集 R 的定义，这两玩意儿也无
法精确无二义。。。你这绝壁攀崖的攻略的公理有问题，再搞复杂也就是比民科们晚几
个时辰摔下来而已。。。当然这样摔的也更重，急诊室也可能束手无策。。。
: 这没法用通俗的语言说清楚。
: 其实我一向反对用通俗的语言介绍这些概念，只会更加误导群众。要说就要数学
的语言
: 去说。其实这个事情数学的表达并不困难。任何人，愿意花个半小时时间想一下
的，都
: 能看明白。
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b***y
发帖数: 14281 | 26 ZFC没有悖论，也当然可以做很多事情。只不过不完备。不完备和有悖论是两回事。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 27 “没有悖论” 这四个字恰恰印证了 “希尔伯特查经班”。。。不斗嘴了，我体力不行。
: ZFC没有悖论，也当然可以做很多事情。只不过不完备。不完备和有悖论是两回
事。
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t******l
发帖数: 10908 | 28 我前面已经说了有 Costco 开西瓜之 Banach–Tarski paradox 几何测量无法守恒的悖
论。。。当然你也可以认为这不是悖论，本来在 ZFC set theory 框架下，几何测量就
不能守恒。。。或者说你也可以认为这不是悖论，只要这时不许我用 axiom of choice
好了，啥时能用啥时不能用你们查经班说了算。。。反正只要你们查经班是 上帝 the
rule maker，这世上就根本没悖论这个词。
跟查经班斗嘴，心真的很累。。。
: 好吧，没有悖论说大了，是没发现悖论。你要说你发现了一个，你就成名了。
: 行。
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b***y
发帖数: 14281 | 29 这不能算悖论啊？这只是让人类感觉不舒服而已。ZFC并没有隐含几何测量守恒定律。
几何测量守恒定律是人的直觉，但是这个直觉和连续统存在是相互矛盾的。所以才出现
了测度论，其实就是打了个补丁，把满足几何测量守恒的集合叫做可侧集，只要你分瓜
的时候不分出不可测的瓣儿来就没这个问题啦，只要分瓜的时候保证片片儿可测，加起
来就还是一个瓜。
choice
the |
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t******l
发帖数: 10908 | 30 既然不可测集根本不能出现，那你高中代数以及解析几何为啥要基于实数集，而不是可
测实数集？不是更简单？
当然为了避免心很累，我得重申根号数或者虚数之类的意义，因为比如斐波那契直接计
算式，你可以中间出现根号数，但最后回到整数。。。虚数同理。
但这个不可测集，你如果连中间步骤都不能出现，你们要这么繁杂的测度论是图个啥，
在 cantor diagonal argument 那边放块 "游客止步" 的牌子不行？。。。
当然你要是说千老也要吃饭，那我倒是能接受，将心比心。。。
其实以上这些都算了。。。我就问你，我高中解析几何里，算一单位正方形面积的时候
，正方形里面的点集实数集 R2 的子集，是可测集还是不可测集？。。。如果你说可测
，要不要我搬 cantor diagonal argument 出来。。。如果你说不可测，那不可测集我
到底能用还是不能用？还是每次用以前我给查经班打个电报问一下？
: 这不能算悖论啊？这只是让人类感觉不舒服而已。ZFC并没有隐含几何测
量守恒
定律。
: 几何测量守恒定律是人的直觉，但是这个直觉和连续统存在是相互矛盾的
。所以
才出现
... 阅读全帖 |
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b***y
发帖数: 14281 | 31 正方形可测但不可数啊。可测是说的面积有定义。
关键是你到底是什么观点啊？现在是ZFC系统和连续统的定义不对？
★ 发自iPhone App: ChineseWeb 16 |
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t******l
发帖数: 10908 | 32 问题就在于理论纯数学千老们，无法认可时空感知这点。。。于是理论数学千老们拧歪
的坚信，公理集合论是一切的基础，啥时间之箭、空间之维、万般守恒，都是基于基本
无二义的集合论比如 ZFC set theory。
（当中我不得不提一句，这个 axiom of infinity 还是不能避免时间之箭的考量，不
过这贴单田芳不说这个）。
但这里有个问题，公理集合论本身始于一个个没有大小的点。。。于是理论纯数千老们
不得不面临一个非常棘手但又无法绕过的问题：就是用许许多多没有大小的点，以幼儿
园大班拼 jigsaw puzzle 勇气，把一堆没有大小的点，拼出个有长短的线段，有大小
的多边形烧饼，以及所有的连续时间空间。。。对了，尼玛 "连续" 这个坑爹的词汇，
是不是也会造成费加罗婚礼上的理发师悖论？
<单田芳：待续，下贴分解> |
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s***h
发帖数: 487 | 33 泛函分析，到偏微分方程，到数值模拟，都不需要现代测度论啊。
就好比牛顿搞出微积分的时候，完全不需要 ZFC 公理集合论 或者 实数集 Dedekind
定义他妈的给我随便砍一刀。。。 公理集合论完全是纯数学家想要 self-evident 让
数学脱离物理和智慧生命而独立存在，而搞出来的。
但数学就像美女女伴，你一直不去草她的话，她没法 self-evident 会到处给你找茬
。。。 但你一旦决定天天草她，她忽然似乎暂时 self-evident 了，突然不让你草了
。。。 然后你决定算了吧，遵守美女意愿，自己打上一个月的打手枪算了 。。。 然
后这数学又不 self-evident 了 。。。 不是一般的闹心 。。。 |
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s***h
发帖数: 487 | 34 但你不得不承认，现代实用马工学的基础，是有限集合上的图论、牛顿法、泰勒展开、
傅立叶变换，等等这种基本实用的东西，而不是 希尔伯特几何公理体系 或者 ZFC公理
集合论 Axiom of choice 或者 测度论 这些痴心追求 rigorous 的东西，或者过分一
般化问题的求解（这是因为实用界的问题不会那么一般化，也不会那么纯）。
当然，现代纯数学追求那些牛角尖，的确做出了很大的贡献 。。。 但这个贡献并不是
解决了的牛角尖问题本身，而是追求牛角尖完美的过程中发展的各种工具方法以及观察
问题角度。
或者就那草碧做比方 。。。 这就好比情爱本身是虚幻的没有意义的 。。。 但有人在
追求情爱的一路过程里，买了房、下了崽、推了娃，于是收获颇丰 。。。 这不等于情
爱本身可以当饭吃 。。。 当然也有个别因为情爱成了射钉枪男 。。。
而从这个角度说，测度论其本身，并不会比歌德巴赫猜想更有用 。。。 但这不等于康
托花的时间都是浪费 。。。 跟哲学一个道理 。。。 |
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发帖数: 1 | 35 跟你已经是信仰上的不一致了
你开心就好
不过你也别费口舌“证明”了
没什么可证明的
你一开始就说我不信你数学的基础概念
【现代数学基础ZFC公理体系上来就是无限公理“无限集合存在”】
你直接否定无限
那也没什么可聊的了
你开心就好
数学你爱信不信
88 |
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发帖数: 1 | 36 不是
现代数学用的是实无穷
ZFC公理之无穷公理：某个无穷集合存在
: 哦。看了。原来也看了。但是我觉得没什么新东西。
: 其实现代数学里的无穷不是实无穷，无穷是一个过程，这个过程可以用有穷说清
楚，但
: 是要多说一两句话，所以给个简称叫无穷，只是一个名字。
: 这个话这个贴就有人说过了。
: 就是epsilon-delta语言，或者M-N语言。
: 这里我觉得没啥问题。我们可以练习一下，你看那句话里有无穷不爽，我们把它
改一下。
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s***h
发帖数: 487 | 37 根据智人先进的 axiom set theory 的精神，你首先要显示定义你文字中的 “绝
对”
和 “相对” 两个词，以及 “正义” 和 “不义”
两个词。否则就是默认公理而不自知，马克思 naive set theory 理论的最大失误。
诚然，显示定义 axioms 并不解决所有问题，也不需要过犹不及，但 ZFC axiom set
theory 很大程度上解决了现代数学的 foundation crisis。
: 生产力是绝对的
: 如果你认为剩余价值存在而且是不义的--但只要是必要为了生产力的发展
，（剩
余价值
: 、剥削）就是合理 正义的
: 当然，如果你认为分配、生产关系才是绝对的，那当然就不义的 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 38 谢谢。这篇讲的不错。
上次那个代数定义方法我忘了有没有上下确界的假设，我记得好像没有。那个是从有限
代数运算都方法定义的，好像不涉及无穷。
这么点要求就够了吗？那我需要的实数加减乘除的性质从哪里来啊？我觉得不够。
所谓在一个公理体系下不可判定，这个我理解不确。我的初等理解就是它不和公理体系
矛盾。嗯，这是必要条件。 |
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n********g
发帖数: 6504 | 39 我觉得作为现代人，特别是言必出科学的人，必要的科普常识还是需要了解。至少编故
事猜原理可以少闹笑话。不然就是现代人造永动机。
这些东西并不新，撕逼撕了几千年。到最后，具有“良好”性质的仍然是可数集。而实
数是不可数的，优良性质一样都没有。
很多现实问题，特别是物理问题可以归结到可数和不可数问题。不可数的东西其实物理
上观察不到。计算也算不出来。哲学上是否存在只能靠定义。
闲得没事干有兴趣的可以深入研究。对我们大CS而言也不那么没用。很多最新的成果都
出现在计算机（编程语言）里，连名词都照搬，如类（class），类型等等。
我这几年想打通时间复杂性和空间复杂性这任督二脉。还没有灵感。不过在外围转圈的
时候细思恐极，发现这些谱系和康托尔的超限数谱系一样。会不会是变形的连续统问题
也不可知。
用相同方法定义出来的东西，最终掉一个坑里也不奇怪。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 40 一个集合和它的幂集就不能一一对应，所以可数集的幂集就不能是可数的，所以这个东
西还是存在的，或者说这里面有一个东西值得描述。 |
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n********g
发帖数: 6504 | 41 知道并能使用可数不可数这对概念的，在博士里都已经凤毛麟角了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 45 我现在上计算机码字。。。我们先撇开题目不说，胡侃矩阵比解题
更有意思。。。
先看矩阵的最下面一行，很明显，这是一个自然数序列。这不是废话
么？题目明明白白写了：“put the smallest non-negative integer
that does not appear anywhere to the left of it”。。。
（反正自然数序列的大名词 axiom of infinity 也是递归出来的）。。。
那矩阵第二行是啥，其实我说那玩意儿也是一个自然数序列。。。
不过就是把 1 当 0 用，把 3 当 2 用，把 5 当 4 用，把人当机器
用。。。说漏嘴了。。。不过，ZFC 的 axiom of infinity 没定义
啥阿拉伯数字符号是不是（显然不是阿拉伯人的集合论）。。。
不过这里还有两条件：
（条件一）：相同的 index 上，这两序列不能用相同阿拉伯符号。
（条件二）：尽可能先用“数字小”的阿拉伯符号。
于是，某人就 XOR “1”（不管是集合 XOR，还是 binary XOR，
我们只看会不会抓老鼠。。。）。。。flip 最低位好像挺容易
。。。其实... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 46 这个构建的思想是好的。。。不过具体实施没有跟上现代数学 foundation 的节奏，逻
辑上不够严谨深入。。。俺建议从 ZFC set theory 的 axiom of infinity 开始构建
自然数。。。当然要改用娃版算术形象简化不严格之通俗版表示。。。另外对普通娃，
可能要等到小学四年级。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 47 俺查了一下：
Foundation of Mathematics 的 ZFC set theory 是在 192x 年办完的。
Foundation of geometry 的 Hilbert Axioms 是 189x 年办完的，
Birkhoff's axioms 是 193x 年办完的。
至于抽象，这个也看（1）要多严格，（2）如何表述。比如 von neummann
universe 的图示，实际上也不是太抽象。
当然，这个对小学四年级的娃，还有小有点难度的。。。俺那时就很恶狠狠地去掉了
空集合并限制，直接去掉 hierarchy，变得贼简单的 no-brainer 的空集队列图示
。。。lol。。。反正娃会成长，娃将来会意识到下一步的逻辑漏洞，将来可以再修改
。。。循序渐进 spiral 嘛。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 48 实在忍不住说一句，成语典故都有感情色彩煽情成分。。。你们这么往 formal logics
方向硬掰，是想搞成 ZFC 集合论版，还是量子力学版咋的。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 49 人肉计算器也不算啥概念。。。概念是 foundation of mathematics 的娃版，比如娃
版 ZFC set theory 的概念。。。
当然，如果是低收入区小学，另说。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 50 但还有 possible worst scenario analysis。。。
否则人类也不需要搞啥 foundation of mathematics / ZFC set theory
啥的。。。老实说，那 mathematics foundation 都 crack 了多少年了
也不是日子一样转。。。大不了你三过理发师问题而不入，路遇 AMO problem
而不解。。。其实我们就把 Russell 当卢瑟好了，看那名字也挺像的不是？
。。。 |
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