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庞加莱被认为是19世纪最后四分之一和本世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学
和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师．他的研究和贡献涉及数学的
各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分
方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他
的工作．
1．函数论．如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世纪则是函数论的世纪．庞加
莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角．
所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数．自守函数是圆函数、双曲
函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广，它不仅对其他各种应用是重要的，而
且在微分方程理论中也扮演着主要的角色．
自守函数的名称今天已用于包括那些在变换群z′=(az+ /(cz+d)或这个群的某些子
群作用下的不变函数，其中a，b， c，d可以是实数或复数，而且ad-bc=1．此外，在复
平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的． |
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