d****g
发帖数: 7460 | 1 题型就是先人的肩膀。题型就是智慧的结晶。题型就是定理一+引理二。不让刷题型，
让娃自己想，那不是让娃试着当牛顿，当祖冲之吗。。
我小时候没来得急自己想就读到了鸡兔同笼的公式。为了不spoil亲娃，让他体会自己
想的“快乐”,今天我就让娃自己去想一个数学界最简单最简单的问题：一个人不老不
少，正
好在16和60岁的中间，这个人多大。。
结果娃会算。。。。16 and 60, 14 and 40, 十几道下来，都说对了，但人家是凑的，
他怎么就总结不
出来这么这么这么简单的一个公式呢？太想让他站我肩膀上了：)
我要不要每天让他算10组，看他能不能自己总结出来？ |
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w********e
发帖数: 4186 | 2 我现在开的chrome似乎不支持你那些可爱的鸡兔图像。
赞老爸耐心，一般人得闺女俩白眼要么爆发，换闺女泪眼，要么放弃... |
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p**s
发帖数: 2707 | 3 你的答案不是低级，是太高级了，小学竞赛用归纳法，就跟鸡兔同笼用方程组一样。 |
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p**s
发帖数: 2707 | 5 你的答案不是低级，是太高级了，小学竞赛用归纳法，就跟鸡兔同笼用方程组一样。 |
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l******n
发帖数: 4276 | 7 呵呵1年级的娃,也不懂啥看到底与否,仍给他,他可以吭蹭吭蹭的做出来而已。
举个例子,鸡兔同笼的题,让他刷过3题,他可以很快心算出来,但是如果把数字变大到3位
数,瓜娃子就不知道了。同样的某数除几余几,除另外一个几余几,他也可以几分钟心算
出来,并且还可以知道这种数的规律。但是如果把数改大,人就又不知道了。我们一直憋
着没讲解题方法,也注意同类型的题刷2,3道意思下,不多刷。但是还是有点吃不准,家长
是不是该讲解一下?给个通解啥的。 |
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a*****g
发帖数: 19398 | 8 说个教育小孩子数学的一个通用的小技巧——
鼓励孩子用第二种、第三种、第四种……方法解答
然后让小孩子选最好最快的办法
注意：一定要是最快最好。
有必要就把将来可能的问题摆出来，让孩子试一试办法是否最好最有效
我从前的学生，
还有8年级数指头做20左右的加法，有靠凑数解鸡兔同笼的
都要了命了 |
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l*****e
发帖数: 2447 | 9 原来还有这么一层顾虑。一般来说，就大球类来讲，技术这个东西，特别在完蛋娃，是
相对容易有阶段性成果的。再完蛋的孩子，一招鲜，兴奋上十天，一招灵，得意的不行
。为啥劳动人民喜爱体育，就是体育有类似这样种种的即时正反馈。不去练技术，任凭
孩子低水平重复，是背离了推体育的基本原理。推球类体育的基本原理是什么，六个字
：好玩驱动进步。而把体育作为锻炼的手段，没有“好玩”这个同盟军，那才需要毅力
。所以，推球类体育，如果目标在于给完蛋娃脱帽，从技术入手的话，是一条简单快乐
的捷径。这个，跟大家花点时间教孩子鸡兔同笼，让娃数学比小白领先，一样轻松愉快。
我这个想法不是凭空得出的，是观察的结果。我们周围的小中完蛋娃，和各种球队里的
各种完蛋娃，若干年看下来。凡是练了技术的，都进步了脱帽了，混得蛮好。没有练技
术的，还在坚持的不多了，而还在坚持的，多是靠毅力，有的时候甚至是家长的毅力。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 政治不正确的说，其实对于全美统计平均的娃，稍微使点力，鸡兔同笼不会算不出来吧
，那 Algebra I 也不至于不及格吧。
但就有心理老军医，就过度解读过度外推了一下说，特么你们就不能再使点力变成 260
么？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 11 小学四年级以上的数学，我觉得没有你所说的必须的 “重复训练”。（为了速度
正确率的另说，速度和正确率，在小学四年级以后的内容，在 cognition
的层次是属于 optional，不是 cognition 所必需）。
或者说，对 repetitive training / “重复训练” 要有个 quantify 的定义。
我觉得 repetitive training，是指：“Training by repeating required
pattern, not by repeat logic/causation. And the target is future
decision made by recognizing pattern, without PRIOR comprehension
of relevant logic/causation）。
更添堵的用词应该是 dog training。不过 dog training 这个词政治不正确，
我用个政治正确的。
或者用例子来说：
比如对于图书馆泛读，其实很多书也被 repeat 很多次，但第一这些 repeat 不是
educ... 阅读全帖 |
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l*****8
发帖数: 16949 | 12 哦，我是从第二册开始做的，里面EM是分开的，我只让她做Ｅ的，里面就有好多这种不
用方程很难的题。她没学过方程，简单的类似鸡兔同笼的能做出来，再复杂点就不行了
。还有一个难的地方是MOEMS不是选择题，没法猜。 |
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J***A
发帖数: 1511 | 13 分数忘记了， 鸡兔同笼肯定会了。 女孩早慧， 男孩普遍开窍晚， 但后来居上的多。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 14 如果说往前学，也得学了概念后做点题吧？不做题不理解啊。。
好比不做难点的算数题，不理解方程的优越性啊。事实上代数的发明就是为解决鸡兔同
笼的？
所以这个“一定题量”怎么掌握呢？国内太多，米国也太少了吧？
要是有什么顺藤缕下来水到渠成的教材加习题就好了。大家什么经验啊？ |
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w********9
发帖数: 8613 | 15
别客气.
印象里你是学过数学专业的,因此不能随便说.
这里面有一些是经典的数学娱乐题或者变型.比如,本质上是(表面上不是)鸡兔同笼的一
个题型.还有两人比谁能拿到一堆石子的最后一个.还有一些人站一个竖排猜帽子颜色的
一个变型.还有两种药品混在一起如何能正确服药.还有更复杂的握手问题.竞赛中出现
的有多重"钥匙"的问题.还有找灯泡开关的一个开放性问题...
有些是我完全没有见过,尽管是比较纯但非高深的数学题.有些是网格上的问题.第6页有
个女的有两个男朋友.这个我没见过.写了art of computer programming的Donald
Knuth也做过这种政治不正确的题目,讨论一帮人的婚姻,看起来是挺复杂的一个数学大
题,发表在某类数学的刊物里.
还在慢慢看.必须有DVD,否则有时情况不明. |
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d****g
发帖数: 7460 | 16 如果说往前学，也得学了概念后做点题吧？不做题不理解啊。。
好比不做难点的算数题，不理解方程的优越性啊。事实上代数的发明就是为解决鸡兔同
笼的？
所以这个“一定题量”怎么掌握呢？国内太多，米国也太少了吧？
要是有什么顺藤缕下来水到渠成的教材加习题就好了。大家什么经验啊？ |
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w********9
发帖数: 8613 | 17
别客气.
印象里你是学过数学专业的,因此不能随便说.
这里面有一些是经典的数学娱乐题或者变型.比如,本质上是(表面上不是)鸡兔同笼的一
个题型.还有两人比谁能拿到一堆石子的最后一个.还有一些人站一个竖排猜帽子颜色的
一个变型.还有两种药品混在一起如何能正确服药.还有更复杂的握手问题.竞赛中出现
的有多重"钥匙"的问题.还有找灯泡开关的一个开放性问题...
有些是我完全没有见过,尽管是比较纯但非高深的数学题.有些是网格上的问题.第6页有
个女的有两个男朋友.这个我没见过.写了art of computer programming的Donald
Knuth也做过这种政治不正确的题目,讨论一帮人的婚姻,看起来是挺复杂的一个数学大
题,发表在某类数学的刊物里.
还在慢慢看.必须有DVD,否则有时情况不明. |
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a*****g
发帖数: 19398 | 18 对简单的题是没什么的，
但是对于复杂的问题，就要有更好的更有效的更系统一点的方法。
得给小朋友出些需要多个步骤的、数字多的题目，帮小朋友走上正道。
我曾经有8年级的学生，解决“鸡兔同笼”类的问题，就用凑数的方式
这种基本上就是只管结果不管过程不管效率养出来的。
好好的数学给学成这样累，能喜欢数学才怪呢。 |
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w******7
发帖数: 333 | 19 你可以让娃考天才班 ，他们是因材施教。数学学的很深啊。我们娃四年级，我看作业
发的是国内小学五年级学的课程。当年二年级的时候，都在做鸡兔同笼的题了。 娃说
每个孩子学的不一样， 学期初有考试评定你是哪个年级的水平，老师就给你哪个年级
的题做， 而且作业量大，难度高。还老考试。同时还要做普通班的数学作业。娃压力
立马上来了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 20 如果撇开不谈 business 上的问题（business 首先是混，很多东西不一定做得出来），
谈下一代的教育的问题。从这个角度，比如就说这个 Conjugated Gradient 解方程：
马工要解决的是现实世界的问题，这些问题没有证明素数定理那么单纯。我们就先
退一万步，就算 CG solver 能够解出线性方程的理论解，你说现实世界有多少实际
能出货的问题，可以直接建模成无约束条件的线性方程组（鸡兔同笼、小明小芳除外）？
所以通常遇到问题客户大怒的时候，一般都不是 CG 的解的精确度差个多少个百分点。
常常遇到的情况，是客户要把菜放在锅里，而 CG 把结果解在马桶里（很多模型对
实际 constraint 的 handling 就是不对的，没办法，practically computable
/ implementable 的问题，常常也就是赌中率高点低点的差别）。
很多时候目前的 technology 还不一定有啥必杀的好办法。实在不行就只能跟客户说，
你就自己动手把菜从马桶里捞出来，随便洗洗再扔回锅里，烧成一碟回锅肉其实也能
出货卖。然后赌竞争对手的解也在马桶里，或者好点... 阅读全帖 |
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a*****g
发帖数: 19398 | 21 做对结果，还要有效率，才能应对将来的更复杂的情况
我的中学生，8年级还在拿凑数的办法解决鸡兔同笼问题……
慰。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 22 美帝的 National / State 的 Average Math 的定义不同。照围棋哥的说法，
就是高中毕业不会用一元二次方程解鸡兔同笼的那种。搞不好真的没夸大。
所以只要 7 分以上学校就不可能着重在送分题上。 |
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S****p
发帖数: 3928 | 23 再说说推娃。是做父母都看自己娃是天才呢，或者可以推成天才。还是有父母觉得娃达
不到自己的预期的呢？
我家的，因为在乡下小地方（白人区），在学校各方面都算突出（当然也因为我和其他
家长比起来可能算推的。）我说不清娃算不算聪明，教东西基本教一遍就会。但是没教
过的东西，让她自己去想办法解决，却经常低于我的预期（不知道是不是我期望值过高
，用大人的标准来衡量小朋友）。
结果就是我现在不想去过早的推，觉得是拔苗助长。
例如鸡兔同笼，看娃在一个个凑的时候，经常有教娃一点点代数的冲动。觉得娃为啥想
不到呢，代数用起来很简单啊。呵呵。我现在每天都在压制自己的这样教她的冲动。
推还是不推，什么该推，怎么推，很纠结啊。 |
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S****p
发帖数: 3928 | 24 再说说推娃。是做父母都看自己娃是天才呢，或者可以推成天才。还是有父母觉得娃达
不到自己的预期的呢？
我家的，因为在乡下小地方（白人区），在学校各方面都算突出（当然也因为我和其他
家长比起来可能算推的。）我说不清娃算不算聪明，教东西基本教一遍就会。但是没教
过的东西，让她自己去想办法解决，却经常低于我的预期（不知道是不是我期望值过高
，用大人的标准来衡量小朋友）。
结果就是我现在不想去过早的推，觉得是拔苗助长。
例如鸡兔同笼，看娃在一个个凑的时候，经常有教娃一点点代数的冲动。觉得娃为啥想
不到呢，代数用起来很简单啊。呵呵。我现在每天都在压制自己的这样教她的冲动。
推还是不推，什么该推，怎么推，很纠结啊。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 25 像国内那种。。按题型或者概念分类，有讲解，有例题，还有几道测试题。。
好比讲讲鸡兔同笼。。好比讲讲通分，约分。。
我可以自己教。。但觉得不锻炼娃自己看书学习的本事。
而且我教的话，常常庞证博引，娃觉得我满嘴跑火车。习惯性的左耳进，右耳出。
咋办？考虑过围基百科，但比我还庞证博引跑火车。。ＫＡＨＮ的话，录像和读书又是
两码事儿。
就看着国内课外书好了。娃还看不懂中文，咋办？ |
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d****g
发帖数: 7460 | 26 我觉得吧，好比体育好的人，看我们家娃扔棒球，肯定就乐了。说你老还是歇歇吧。不
要做无用功了。没有就是没有。。俺们呢，不光扔，还扔的挺认真，没事儿就练练。这
里面的滑稽就不提了。
数学呢？这要是会加减乘除，但是不会鸡兔同笼，这在我个人的眼里，这就是没学到深
度。当然了，到初中可能列方程也就会了，但列了方程你要是不会因式分解，那我也觉
得你代数没学到深度。当然了，陶天才可能说，你那深度也根本不算深度。呵呵。。
对我来说，这数学学到我习惯的这个深度是个素质问题。达不到我要求的这个深度，那
就是文科生。那是比五音不全，五体不勤，身高不够要严重很多的。这基本是我对美国
教育最担心的地方。人文，艺术，体育，那美国肯定是大大的好的。（按我的标准）
为什么呢？我的标准到底有道理没有呢？哈哈。。。
会不会是我井底之蛙，故步自封了。。? |
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s*****o
发帖数: 22187 | 27 从另一个角度讲，鸡兔同笼算不算祖国数学教育的糟粕呢？ |
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f*c
发帖数: 687 | 28 以前有人讲过鸡兔问题的经典手筋：
命令所有的兔子都用两条腿站着，再数数地上少了几条腿。。。 |
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r*g
发帖数: 3159 | 29 没错。这本身就是抽象思维，比会列线性方程组还要普适。这是学用计算器，而不是自
己做人肉计算器。
相反，任何其他的小学解法假设全是这全是那，假设鸡兔缩腿什么的，那才是亲自做人
肉计算器，只有锻炼体力的价值。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 30 言归正传，就好比 place value 是海空伞降敌后游击队，其核心是 positional
notation system 及其背后的基本概念。。。过多纠结于十进制还是二进制还是三点八
进制的搞法，基本就是把游击队扔水塘里了。。。
而海空直降 algebra 1，其核心是 algebraic notation system, with its spatial
form of analytic geometric 及其背后的基本概念。。。而过多纠结 simultaneous (
linear) equation 这种特例问题，特别是鸡兔同笼这种特例里的特例问题。这种纯属
把 101 空中突击师一万多号人马，用直升机给统统机降在一个美帝小学的操场上。。
。对了，101 师长刚才发电报来问是不是要叠罗汉？。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 31 或者这么形象的说。。。要验证哥们着重长远的想法是不是靠谱，那至少也得等到 AMC
10 的时候，看蝗虫一样的 UH-60 黑鹰直升机，海空直降下来口径 105mm 的 M119 榴
弹炮，是不是把对手轰成稀巴烂的时候，才能见分晓。。。
但哥们我大胆预言，在此之前，很大可能哥们已经被烤肉拉天窗里飞出的，推妈之《攻
克鸡兔同笼之三十六计招招制敌》的短平快型水果刀们，给扎的体无完肤啦啦啦。。。
哥们多保重啊，我先溜号了。。。 |
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c***x
发帖数: 1826 | 32
），
一直很赞你对"数学抽象" 的理解，是 space-time-pattern。
窃以为鸡兔同笼问题是space-time-pattern在小学低年级数学的极佳体现。 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 33 袋鼠，还以为是鸡兔同笼的澳大利亚版本呢，现在明白了 :) |
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d**********h
发帖数: 2795 | 34 明白了，
纸上谈兵算鸡兔
云遮雾罩抢滩涂
潮水旧浪换新浪
不喜呆仗怨推娘 |
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t******l
发帖数: 10908 | 35 我觉得跟推爸推妈数学水准关系不大。。。主要原因我猜要么是爱幻想，所以视自己的
过去而不见；要么是干脆也没记住自己的过去。。。否则如果真的小学四年级就能用代
数方法解鸡兔同笼不在话下的话，那高一至少给进个冬令营吧，如果不是集训队的话。
。。否则的话，这把学校数学教研组的脸都给丢尽了。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 36 再不信的话，看个统计数据好了：
今年 AMC 10A，全美 6 年级及以下统计：
>= 60.0 ：总共 626 个人头（6 年级及以下）
>= 90.0 ：总共 180 个人头（6 年级及以下）
AMC 10 拿个 60 分根本不需要会代数法解鸡兔同笼（simultaneous equation），
拿 90 分可能需要会。。。这还是 6 年级及以下，而不是 4 年级及以下。。。
（人 AoPS 都不单独统计 4 年级及以下的人头数）。。。再不信的话，counting
towards 500 总不可能不会吧。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 37 对数学竞赛不感兴趣很好理解，毕竟人各有所好，不必强求一致。。。
我只是看不懂那些纠结三年级会不会鸡兔同笼代数解法，但目标却不是 USAMO
qualifiers 那种，也不知道这么急吼吼是图个啥。。。真要目标是 USAMO qualifiers
or above，那倒是容易理解。。。当然话说回来，比起那种跳级但不参加任何竞赛，
纯属为纳税人省钱的假私济公的雷锋精神，还是要好理解多了。。。
：没啥不信的
：我对奥竞不感兴趣，can't afford it，出门吃豆腐脑 |
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x***1
发帖数: 999 | 38 其实这些题比鸡兔更reality 一些，考试常考。不知大家咋教小孩。
我娃三年级，不用凑，应直接列式计算。我这么教，总数加上一个比另一个多的数，就
等于两倍的这个比较大的数，除以2，就是这个比较大的数，孩子似懂非懂。
另一种解释：
男孩加女孩等于10，男孩等于女孩加2，等于说女孩加女孩加2等于10，也就是说2times
女孩加2等于10，。。。等于在教代数，娃明白。
这些题的升级版是：
一个年级有三个班，总人数100，二班比一班多10人，三班比二班多14人，问三个班各
多少人？
不用代数，列式计算。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 39 这取决于这个考试是普通班考试，还是天才班考试，还是数学竞赛。
如果是四年级及以下的普通班考试，我目测 problem size 应该 guess & check 就行
了。guess & check 普通班的老师会教，这种普通班的 guess & check，家长一般不需
要重复基建。
：其实这些题比鸡兔更reality 一些，考试常考。不知大家咋教小孩。
： |
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i**e
发帖数: 19242 | 40 你是认真的吗？
我在现实生活在网上，都没有遇见过你说的这种人
“纠结三年级会不会鸡兔同笼代数解法，但目标却不是 USAMO qualifiers”
不管孩子刚生下来的时候有多少期望幻想理想
磨过几年就会越来越现实了
所以呢，人在网上，往往是跟自己的假想敌在较劲
qualifiers |
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t******l
发帖数: 10908 | 41 我的办法是把 pre-algebra （包括鸡兔同笼、追击问题等等的 pre-algebra 解法）统
统扔给学校，我自己要么教 arithmetic（包括 arithmetic properties），要么直接
教 algebra 1。
原因很简单，因为 pre-algebra 这玩意儿我自己好像从来就不会，也不曾会过。。。
自己平时动扳手、开焊枪、大卸汽车点火系统的后院 handyman 都知道修玩意儿最基本
原则就是：自己不懂的玩意儿就根本不要去碰，否则一定漫天都是谁的幺蛾子在飞。。。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 42 的确，就是些雕虫小技。练练脑子。就当是另版智力题。的确不宜多做。也不宜认为是
多高的境界。
高境界的还真是美国这种教法。可以不会鸡兔同笼算数解，不耽误高中就学微积分。
对大概念的掌握的确是高考教育的一个弊端。 |
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r*g
发帖数: 3159 | 43 应用题不该多练。
凡是专门教鸡兔问题的，追及问题的，甚至前面还有个教两个数求和的，都是教太多了。
说是锻炼素质，其实都成记题型了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 44 老农的说法，总体原则是不该用勺喂 finger food。。。当然具体情况具体分析。。。
：应用题不该多练。
：凡是专门教鸡兔问题的，追及问题的，甚至前面还有个教两个数求和的，都是教太多
了。 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 45 我也不知道这道题的要求是什么。或许很多孩子能猜出答案来，可是如果要求说出来个
道理，有点太弯弯绕了吧，才是一年级的孩子啊。估计没几个能像二位这样简单扼要地
解释清楚。
也许中国的孩子从小就经受这样的训练，稍大点解个鸡兔同笼就不当回事儿了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 46 另外看过 AMC 10 statistics 以后，也就能切身体会到网上讨论的那些比如：
“鸡兔同笼/追击问题/欧拉定理/黎曼猜想” 之类的 “拉风题”，其实也没多少
普通娃能做对。。。所以自家普通娃做不出来，也不影响俺们自家普通娃吃晚饭、
上州立不是？。。。这不用鸡汤都有实打实的自信，岂不甚佳？。。。
12
受到 |
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l***y
发帖数: 1166 | 47 这个问题等价于把64 个球放入20个箱子，每个箱子只能放2个或者4个球。
当然先把20个箱子每个放2个球，共放了40个球，然后剩下的24个球每2个一组12份随机
放入12个箱子。 |
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B********e
发帖数: 10014 | 48 i believe rgg knows that.
he/she was talking about 'sense the solution by gut'
before 'get the solution by logic/algebra' |
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