t***s
发帖数: 88 | 1 f(x)平方可积，f(x)e^{ipx}也是平方可积，但是不一定可积。那么对于这类函数，怎
么定义Fourier变换？
我在一本书上看到说可以用类似解析延拓的方法，先在平方可积函数空间的一个子集上
定义Fourier变换，然后延拓过去。是这样的吗？
一般的拓扑空间也有类似解析延拓这么强的方法？ |
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b***y
发帖数: 14281 | 2 举个例子来说
虽然网友们只能根据知情人的爆料了解到有限的信息，吃瓜群众按照人之常情加以严格
的推理论证，就能确定无疑的判断出小A和肉饼在卧室里面都干了点什么事情，这就叫
解析延拓。
★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4 |
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w*********a
发帖数: 9279 | 3 简单来说，就像现在的神经元网络。首先有一个训练数据集。 经过训练得到一个神经
元网络。 你把新数据带进去，能够得到之前没有的结果。
但是，解析延拓比神经元不知道高到哪里去了。 解析延拓要求处处可导，而且延拓以
后和在之前范围内完全吻合。 这样的延拓是唯一的。
我举个不是很恰当的例子。等比数列求和
s = 1 + q + qq + qqq + ... till infinity
这个结果存在的前提（定义域）是 |q| < 1。若q大于1，s没有意义。但是我们知道有
求和公式s = 1 / (1 - q)。 这个求和公式，只要求q不等于1。 你把q = 2 带进去s是
负数。全是正数相加怎么会等于负数呢？当然不等于。 你把q = 2带进第一式得到 1 +
2 + 4 + 8， 把q=2带入求和公式得到-1。 这时两个式子定义域不同不能划等号。
这个求和公式，就是上面级数的解析延拓。
这也是为什么有人会认为“所有自然数的和等于-1/12”这个错误结论。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 4 这个不是解析延拓。这个是zeta函数的一个性质。
解析延拓是说，在一个区域内定义的解析函数，其定义域可以开拓，最后开拓到全部复
平面，所以也叫解析开拓。
比如这个zeta函数，从它的级数定义来看，它能自然定义到的区域是实部为1之右的复
平面。实部为1之左的部分没有自然的定义方法。
然而解析延拓告诉你，有，这么一个解析函数，定义在全复平面，而在实部为1之右的
半复平面，其值等于你能自然定义的那个函数值。
解析延拓是怎样可能的呢？真的是开拓。比如你在实部为1之右的半复平面，靠近边缘
的地方选一点
。解析函数的意思就是这个函数可以在这个点附近表示为无穷多项式。而你会发现，这
个无穷多项式不仅可以在实部为1之右的半复平面求值 - 其值等于原函数值 - 也可以
在实部为1之左的半复平面（靠近这个点的一个小区域）求值。这就把原函数的定义域
开拓了一小部分（到左半复平面）。可以继续这样开拓，直至全复平面。
这是解析延拓的神奇之处。
解析函数本身还有神奇之处。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 5 这个不是解析延拓。这个是zeta函数的一个性质。
解析延拓是说，在一个区域内定义的解析函数，其定义域可以开拓，最后开拓到全部复
平面，所以也叫解析开拓。
比如这个zeta函数，从它的级数定义来看，它能自然定义到的区域是实部为1之右的复
平面。实部为1之左的部分没有自然的定义方法。
然而解析延拓告诉你，有，这么一个解析函数，定义在全复平面，而在实部为1之右的
半复平面，其值等于你能自然定义的那个函数值。
解析延拓是怎样可能的呢？真的是开拓。比如你在实部为1之右的半复平面，靠近边缘
的地方选一点
。解析函数的意思就是这个函数可以在这个点附近表示为无穷多项式。而你会发现，这
个无穷多项式不仅可以在实部为1之右的半复平面求值 - 其值等于原函数值 - 也可以
在实部为1之左的半复平面（靠近这个点的一个小区域）求值。这就把原函数的定义域
开拓了一小部分（到左半复平面）。可以继续这样开拓，直至全复平面。
这是解析延拓的神奇之处。
解析函数本身还有神奇之处。 |
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发帖数: 1 | 6 至于解析延拓 核心是如下定理：如果两个解析函数的定义域有交集且在该交集的一部
分上相等 那么这两个函数可以互相被延拓到对方的定义域上 |
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s***h
发帖数: 487 | 7 感觉罪魁祸首在复数本身，加上二维空间 vs 一维空间的本质差别。
复数是实数给 “延拓” 出来的，而且是数集 “延拓” 出来的
第一个不对应于（bijection) 任何物理几何测量的数。
我个人感觉，复数集，是数学从工程学院的测量科学，演变成 Fine Art 学院的美学，
所迈出的关键的一步。
: 一阶可导推出二阶可导，这是解析函数最重要的一个跳跃。这个证明我记
得还是
有点难
: 度的。应该是用来柯西积分公式。 |
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s***h
发帖数: 487 | 8 当然易懂是相对而言的，还是要置顶慢慢看。
不过这个倒是给出了解析延拓的意义。很多离散问题，比如著名的歌德和巴赫的猜想，
一个很大的困难，是在一维离散空间里，可能的 proof path 非常受限。
解析延拓把问题拓展在复平面二维连续空间，有可能可以增加可能的 proof path，只
要有一条走通即得到证明。
这个就好比帅哥也不能保证搞定某个特定的超模，但如果一个帅哥能让世上所有的超模
都给发一张备胎卡。。。
: 这个线程写得有趣而易懂，应该置顶。
: 胎之后
: ，前几
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T*******x
发帖数: 8565 | 9 终于把黎曼Zeta函数的级数定义和积分定义的等价关系证明了。用到了很多试验和技巧
。不容易啊。当然了，知道结果去证明，再难也不算什么。不过还是很高兴。记录一下。
先定义一个函数，叫Beta吧，是个二元复变函数，这个函数肯定有用。
Beta(z,x)=sum from n=1 of x^n/n^z
这个函数代入x=1，它就是黎曼Zeta函数。x也可以取复数值，直接收敛区域是x在单位
圆内，但是可以解析延拓到单位圆之外。z的直接收敛区域是实部大于1，也可以解析延
拓到实部小于1。注意单位圆和实部为1的直线还可以相互转化，这个地方的对偶性可能
值得开发一下。
再看另一个等式，
Zeta(z+1)=integration from 0 to 1 of
Beta(z,x)/x dx
我要证明
Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)
其中，
Alpha(z)=integration from 0 to infinity of
x^(z-1)/(e^x-1) dx
Gamma(z)=integration from 0 to infinity of
x^(z-1)/e^x dx
下面贴个... 阅读全帖 |
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s***h
发帖数: 487 | 10 先 bookmark 一下。
: 终于把黎曼Zeta函数的级数定义和积分定义的等价关系证明了。用到了很多试验
和技巧
: 。不容易啊。当然了，知道结果去证明，再难也不算什么。不过还是很高兴。记
录一下。
: 先定义一个函数，叫Beta吧，是个二元复变函数，这个函数肯定有用。
: Beta(z,x)=sum from n=1 of x^n/n^z
: 这个函数代入x=1，它就是黎曼Zeta函数。x也可以取复数值，直接收敛区域是x
在单位
: 圆内，但是可以解析延拓到单位圆之外。z的直接收敛区域是实部大于1，也可以
解析延
: 拓到实部小于1。注意单位圆和实部为1的直线还可以相互转化，这个地方的对偶
性可能
: 值得开发一下。
: 再看另一个等式，
: Zeta(z 1)=integration from 0 to 1 of
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发帖数: 1 | 11 抽死你丫的
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:终于把黎曼Zeta函数的级数定义和积分定义的等价关系证明了。用到了很多试验和技
巧。不容易啊。当然了，知道结果去证明，再难也不算什么。不过还是很高兴。记录一
下。
:先定义一个函数，叫Beta吧，是个二元复变函数，这个函数肯定有用。
:Beta(z,x)=sum from n=1 of x^n/n^z
:这个函数代入x=1，它就是黎曼Zeta函数。x也可以取复数值，直接收敛区域是x在单位
:圆内，但是可以解析延拓到单位圆之外。z的直接收敛区域是实部大于1，也可以解析
延拓到实部小于1。注意单位圆和实部为1的直线还可以相互转化，这个地方的对偶性可
能值得开发一下。
:再看另一个等式，
:Zeta(z+1)=integration from 0 to 1 of
:Beta(z,x)/x dx
:我要证明
:Zeta(z)=Alpha(z)/Gamma(z)
:.......... |
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x****6
发帖数: 4339 | 13 解析延拓 的思想和机器学习是相反的
要是大自然和人类社会都是拥有解析解的公式组装的就好了，那么利用杰熙延陀就能解
决、高清所有问题，从过去到未来。 |
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l******e
发帖数: 956 | 14 准确地说, 可能应该问,如果皇储鲁道夫不死,还会有一战么?
从网上转来的:
http://www.qdmm.com/BookReader/1050416,25600926.aspx
皇储之死的阴谋论
1889年1月29日星期二到1月30日星期三的晚上，哈普斯堡皇室的鲁夫王子（
PrinceRudolph）和他美丽浪漫、热情洋溢、年仅十几岁的情人玛利亚·维特塞拉(
CountessMariaVetsera)双双惨死一个多世纪过去了，关于这对恋人在迈耶林(
Mayerling)山林小屋的死亡，人们众说纷纭、极尽歪曲，以致谣言四起、真伪难辨唯一
可以肯定的是：他们绝非自杀
为破译他俩的死亡之谜，让我们先来了解奥地利和匈牙利的政局背景古老的哈普斯
堡帝国将两个特质不同、志向各异的国家暂时、勉强地联结在了一起可年轻的哈普斯堡
皇室成员——尤其是鲁夫和他的表兄兼心腹知己约翰·赛尔瓦托（JohnSalvator）倡导
进步的自由主义，皇帝弗朗茨·约瑟夫（EmperorFranzJoseph）却持反动的极端保守主
义政见，两者间的紧张冲突成为影响帝国稳定和延拓的另一因素
奥匈帝国政府就... 阅读全帖 |
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c********g
发帖数: 15629 | 16 最好直接看下面的Link，有很多插图。西藏和新疆的作用，将随着技术水平的提高，而
大大提升。TG在捍卫领土版图完整方面的贡献，将永载中华史册。
2000多年前，秦取巴蜀而极大的增强了国力，现在如果把西藏的水资源和新疆的土地、
光、热资源结合起来，那将是当年秦取巴蜀的翻版。如文章中所说：
“如此，中国这条巨龙半腾飞于天地山泽海洋之间，不再受制于他人。那时，我们的十
几亿人口将不再是包袱，而将成为一种强大的力量；任何企图遏制其成长的障碍，必将
被其席卷以去。”
文章后面也提到了从黑龙江调水：
“黑龙江多年平均入海径流量达3530亿立方米，在乌苏里江口处的出境流量也有2800亿
方，是雅鲁藏布江“出境流量”的两倍。”
http://www.hudong.com/wiki/%E6%9C%94%E5%A4%A9%E8%BF%90%E6%B2%B3
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朔天运河 - 西线调水六种方案
这六种方案分别为
朔天运河朔天运河
南水北调南水北调六方案
①小西线调水方案（黄委会方案），调水量195亿m3；②建大电站抽水的藏水北调方案
（中科院中考会方案），调水量435亿... 阅读全帖 |
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i*****s
发帖数: 4596 | 17 历史上，为了“爱国”，人们做出过各种各样荒谬奇怪的事情。这都是真实发生的历史
，并不是我编造出来的。
我并没有给你定什么罪，我只是指出一种可能性，这种可能性是你的思维模式的逻辑延
拓。 |
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s*****V
发帖数: 21731 | 18 【 以下文字转载自 Physics 讨论区 】
发信人: saturnV (土星五号), 信区: Physics
标 题: 【转载】Penrose的新衣
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Jun 21 02:52:45 2013, 美东)
Penrose在新书《The Road to Reality》用了两章讨论宇宙学。
第28章的题目是Speculative theories of early universe。
他质疑了暴涨理论，认为弱电统一中的对称性破缺也许不存在，讨论了人择原理，
Hartle-Hawking的no-boundary proposal，宇宙学参数，等等。
我反过来质疑他的一些质疑。
Penrose的质疑：
首先，关于为弱电统一中的对称性破缺。标准模型认为，弱电的对称群是 SU(2)times
U(1)，通过Higgs场取一定的真空期待值，这个群被破缺到我们熟悉的电磁群 U(1)。
Penrose 认为，假如弱电破缺真的存在的话，那么在宇宙的早期，当温度低于破缺能标
时，弱电对称就破缺了。在那个时候，我们现在可以观测到的两个区域可以没有因果联
系，这样破缺... 阅读全帖 |
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d***o
发帖数: 7006 | 19 薄案审完，李案开审。李天一涉嫌轮奸案爆发以来的连续剧，自此进入了一个小高潮。
关心此案的人们，无不拭目以待。薄案庭审过程中的微博直播，让国人大呼过瘾，情节
曲折程度，不亚于好莱坞大片。
薄案审完，李案开审。李天一涉嫌轮奸案爆发以来的连续剧，自此进入了一个小高
潮。关心此案的人们，无不拭目以待。薄案庭审过程中的微博直播，让国人大呼过瘾，
情节曲折程度，不亚于好莱坞大片。
李天一自再次触犯法律以来，因为其父的显赫声望，加上事件本身对受众极富吸引
力的腥膻味道，使得这件普通的刑事案件，成为媒体眼中的吸睛利器。
梦鸽“秋菊”一样顽强的护子战役，给媒体提供了一波超过一波的炒作题材。在梦
鸽对媒体的爆料过程中，李天一从有嫌疑的强奸犯，先是变成年少无知的嫖客，如今，
在庭审过程中，李天一更是全盘翻供，否认犯罪事实，装扮成完全无辜的模样。
自此，李天一被梦鸽引入了囚徒困境。
为防止没文化的天一粉儿说俺未审先判，诬指李天一为囚徒，这里先做一下科普：
本文所讲的囚徒困境，乃是博弈论中的重要模型。模型以警方调查同案犯为比喻，描述
了一种博弈的情景。
李天一如果单刀赴会，个体作案，他的翻供就很容易成功，就算梦... 阅读全帖 |
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b***y
发帖数: 14281 | 20 因为级数不收敛，所以这么搞是扯淡。如果已知级数收敛，这样推理就不会有问题。
没有“正确的方法”“证明”所有自然数的和是-1/12，因为根本就不是。
但是如果按照黎曼zeta函数的定义
zeta(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...
则当s>1的时候，可知级数收敛，故可用上式定义一个解析函数，称为黎曼zeta函数。
根据复数函数的性质，这个zeta(s)可以通过解析延拓的方式得到s=-1时的值，结果就
是zeta(-1)=－1/12。如果盲目把s=-1代入到上式，就得到了所谓所有自然时候的和等
于-1/12的结论，因为1/x^(-1)=x。但其实这完全是个形式而已，因为此时级数发散，
上式右方无意义，此时等式不成立。 |
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H*******s
发帖数: 537 | 21 据我所知，中国护照在中国申请北美国签证可以拿到加拿大的超级签证，有效期10年，
有了枫叶卡，可以延拓至20年，但是中国护照只有10年有效期，呵呵～ 其实没有太大
区别。 |
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m*****e
发帖数: 10963 | 22 还以为你上贴讲的是加拿大签证，怎么变美国签证了？把俺绕晕了。。
发信人: HuangBoss (黄老板), 信区: Military
标 题: Re: 枫叶卡的美国一签给最长20年签证期限
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Mar 26 23:15:07 2014, 美东)
据我所知，中国护照在中国申请北美国签证可以拿到加拿大的超级签证，有效期10年，
有了枫叶卡，可以延拓至20年，但是中国护照只有10年有效期，呵呵～ 其实没有太大
区别。
【 在 marclee (marc) 的大作中提到: 】 |
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发帖数: 1 | 23 riemann zeta函数的解析延拓 解释起来有点复杂 |
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发帖数: 1 | 24 这个问题不是单纯的智力题吧，需要的背景知识很多，要掌握zeta函数的解析延拓，数
论专业人士才懂，拿来考智商很不合适 |
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e*********g
发帖数: 77 | 25 不过是解析延拓而已，本身还是发散的。
本科的弦论教科书里有，基于gamma函数和zeta函数。 |
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w*********a
发帖数: 9279 | 27 "全体自然数的和是-1/12" 这是完全错误的。
最早犯这个错误的是欧拉。 现在网上很多人都这么说，这是没文化的忽悠你。
"全体自然数的和是-1/12"，这是错误的把-1带入欧拉级数后的结果。
欧拉级数解析延拓之后变成了黎曼zetta函数。 把-1带入黎曼zetta函数结果是-1/12.
如果把-1带入欧拉级数，那么得到所有自然数的和。 但是-1已经不在欧拉级数的定义
域之内了。 所以"全体自然数的和是-1/12"是数学文盲混淆了欧拉级数与黎曼zetta函
数的区别，强行画等号的结果。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 28 我感觉解析延拓的奥妙之处，其实更加应该说是解析函数的奥妙之处，在于部分决定整
体，给定一个小小的边界条件，函数整个就定下来了，不能乱来。
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s***h
发帖数: 487 | 29 我觉得更应该类比成扩展数域，比如从正整数扩展到负整数，从有理数扩展到实数。在
这里是扩展无穷级数的定义，而不是简单的一个数。
至于你说的自洽，那个是好比群域环。不自洽也不能算数学。
至于是不是能对应真实世界的东东，扩展虚数的时候其实不一定考虑有啥用。扩展
quaternion 的时候其实根本没考虑有啥用，后来正好成为三维空间旋转算子，搞的写
游戏的都知道。
总之数学美不考虑有用。就好比索男看见美腿系花的第一眼，就是不会思考，走不动路
了，至于美腿系花将来会不会给索男生娃，索男当时不会考虑这个。所谓的数学美。
: 我感觉解析延拓的奥妙之处，其实更加应该说是解析函数的奥妙之处，在
于部分
决定整
: 体，给定一个小小的边界条件，函数整个就定下来了，不能乱来。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 30 我没有类比什么。解析函数部分决定整体，边界条件决定整体，这个不是类比，这是解
析函数的性质。
解析延拓和数域扩展可以类比。 |
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发帖数: 1 | 31 你的那个公式只在s>1的时候成立。
其他点都是解析延拓得到的 |
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c******g
发帖数: 4889 | 32 s≤1的时候，zeta函数被重新定义了，也就是上面很多人提到的解析延拓(Analytic
continuation)。
这个视频说得很清楚： |
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b***y
发帖数: 14281 | 36 黎曼猜想和小A身份猜想是锁男最感兴趣的两大世界难题。
★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4 |
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l*********l
发帖数: 469 | 38 插了无数次意思就是
1+2+3+4+5+。。。。= -1/12
可以，一共插了无数次，但每次都只插入1/2。
★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4 |
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b***y
发帖数: 14281 | 39 艹，最后的结果被反插？不过还好只有1/12。
★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4 |
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m**********e
发帖数: 12525 | 41 都是废话,其实很简单,不能简单明了地一句话说清楚就是智商不行的表现
比如函数y=x^2,这里x定义在实数轴上,
如果我们定义新函数y=z^2,这个z定义在复平面上,
那么,z^2就是对x^2的解析延拓 |
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m**********e
发帖数: 12525 | 42 然后回到Riemann zeta函数,
zeta函数最初定义在实数上:
z=1/1+1/2^x+1/3^x+....
如果把实数x换成复数z,这就叫解析延拓
妈的,一句话能说明白的时期,叽歪个没完 |
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m**********e
发帖数: 12525 | 44 讲不好课的根本原因不是不愿讲
而是自己也不明白
你看楼上matrix,我不信丫自己明白了解析延拓 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 46 解析延拓关键要谈到定义域的扩展。你这种换符号的方式没有触及到本质。 |
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s***h
发帖数: 487 | 49 我猜要回到复数极限 vs 实数极限。
虽然复数极限是实数极限的 “解析表达式延拓”，但本质完全不一样我觉得。
因为实数极限里，实数可以直接做除法，所以本质是一位线性代数。
但复数极限里，要做复数除法。而复数除法，必须要把分母得复数（二个项）给实数化
，才能上分配率，才能求得两项表达的结果复数。这个得在分母上用 difference of
square，导致复数除法就不是个线性操作。
: 我觉得你眼光看得太细。我是这么说的：复变函数最神奇的地方在于：一阶可导
可推出
: 二阶可导。这就是神奇的地方。这样一说每个人都可记住。因为它确实神奇：实
数函数
: 就没有这个性质。那么这个神奇性质是怎么证明的呢？比较technical。你说的
应该是
: 对的，如果你和教课书上一样的话。
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S***i
发帖数: 289 | 50 既然你还懂得谦虚，我老就跟你科个普吧。本来二维复数空间如果没有可解析函数这个
强条件的话，那么就没有什么可以研究的意义。但是一旦加上这个条件，这个空间就开
始蕴含了宇宙的真理，因为我们所在的真实时空的一个本质特征，就是可解析。所谓可
解析函数，从图形上讲，就是保角映射，这个词你学复变时一定听说过，但是你一定不
明白它的深刻意义，因为你的老师也多半不明白。
黎曼泽塔函数本来只有在Re(z)>1时才有意义(收敛)，但是黎曼通过保角映射将其延拓
到整个复平面，居然撬开了宇宙终极真理的一道缝，发现了这个人造函数的非平凡零点
与全部素数的对应关系。也就是说，一个被赋予真实物理本质意义的人造函数，居然可
以预测纯数学里全部素数的分布规律。这说明，物理与数学是不可分割滴。 |
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