t*******r
发帖数: 22634 | 1 其实美帝数学书里，俺很看不懂的一个，是 pre-algebra 里面讲方程。。。
在娃还没有建立符号演算概念前，讲方程难道不是要把娃整糊涂的节奏？等娃
有了符号演算概念，直接上 algebra 不行么？
另一个看不懂的，是多项式乘法的 FOIL method。。。尼玛这就是把娃的代数
概念往死里整的节奏。。。多项式乘法就是 distributive property。。。
如果不能理解 distributive property，那还学个屁代数啊，去读文科会死啊？
。。。如果理解了 distributive property，那学个狗屁 FOIL method 啊，
浪费生命。。。
还有一个看不懂的，是多项式除法的 synthetic division。。。尼玛多项式
synthetic division 就是多项式 long division 省写几个“x”！！！。。。
尼玛写几个“x”会死啊。。。俺真看不懂这这省写几个“x”是啥 dog training 人肉
代数计算器的节奏。。。尼玛谁会一辈子每天人肉计算三百个多项式除法？。。。
Walmart 收银员难道需要计算多项式除法？数... 阅读全帖 |
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k*********g
发帖数: 791 | 2 世界上目前已有的相关软件，主要建在“有限元法”和“有限体积法”两种数值方法上
。有限元法以拉格朗日函数为基函数，方程的加权积分形式在一个区域内满足，产生的
矩阵有很大的带宽，方程迭代求解过程非常慢。有限元使用了强大的高斯积分，但只是
局部过程中用来计算积分而已，高斯积分的潜力远远没有充分发挥出来。有限体积采用
泰勒多项式（和拉格朗日函数的效率大致相仿），方程最终在一些离散点上满足，就矩
阵带宽来说性很好，但不够优化、从而效率不够高，并且对复杂几何处理能力不如有限
元，升级为高精度版本很不容易（效果也大大降低，后面详述）。差分法在复杂几何处
理上必须采用功能很局限的结构化网格；边界元法只能应对线性微分方程（零阶导数项
也必须线性），而且其“稠密影响矩阵”造成的效率上的降低远远大于在处理3维问题
时的“降维”带来的效率上的提升；这两种方法都无法胜任通用软件业。本软件将是谱
元法的世界首次使用。谱元法采用正交、完备的契比雪夫多项式，方程的加权积分形式
在高斯积分点上满足，高斯数值积分贯穿整个数值过程，与契比雪夫多项式的正交性实
现完美的结合，两者的潜力都得到了充分发挥。谱元法形成的离散方程系... 阅读全帖 |
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o*****o
发帖数: 10 | 3 来自主题: JobHunting版 - T面经一题 假设你有一个多项式对象，包装了多项式的加减乘除，那么用这个多项式对象代替int
，就可以像做“实现一个计算器”这种题目一样处理等式左右两边的式子。这样应该能
够处理相当复杂的情况（比如有高次项但最后被抵消x*x*x+x+1-x*x*x=0）。
需要额外实现的就是这个多项式对象，以及多项式的加减乘除。多项式除比较难做，可
以保留分子分母，最后一步左右互乘对面的分母简化掉。
不知道是不是有点overkill了。 |
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o*****o
发帖数: 10 | 4 来自主题: JobHunting版 - T面经一题 假设你有一个多项式对象，包装了多项式的加减乘除，那么用这个多项式对象代替int
，就可以像做“实现一个计算器”这种题目一样处理等式左右两边的式子。这样应该能
够处理相当复杂的情况（比如有高次项但最后被抵消x*x*x+x+1-x*x*x=0）。
需要额外实现的就是这个多项式对象，以及多项式的加减乘除。多项式除比较难做，可
以保留分子分母，最后一步左右互乘对面的分母简化掉。
不知道是不是有点overkill了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 5 圆锥梯形总能得到解析解，说明如下：
其实圆锥梯形的截面积跟高度是一个最高指数为二次的多项式。
在该高度下，小孔的流速（不是速度是流速），根据博努力型高中物理势能转化为动能
，其结果是：把该高度的截面积（高度的二次函数），除以小孔面积（常数），乘以
sqrt(2*g*h）。。。所得到的是半整数指数的多项式，最高指数为 5/2。
把上面求得的小孔流速对于高度的函数，对高度不定积分一次，得到一个半整数指数的
多项式，最高指数为 7/2。
而小孔流速对高度的定积分，就是前面不定积分得到的多项式求 h=杯子高度 和 h=0
的差，得到一个杯子高度的半整数指数的多项式，最高指数还是 7/2。
而该定积分等于总容积（常数）除以总时间。所以总时间等于总容积除以前面那个对于
杯子总高度的半整数指数的多项式。。。所以总能得到解析解。
：
：哦 最好加一句A=V/H 说明A是相当于同体积同高圆柱的底面积 （我原来以为这些
推导脱离了同体积同高的假设） 不然从你对R的定义方法很容易把A误解成底面积 （ |
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s*****V
发帖数: 21731 | 6 http://blog.sciencenet.cn/blog-81613-239600.html
闲论Atiyah-Singer指标定理
几番被人转载，已经不知道原文作者在哪儿了。感觉很不错，值得看一看
Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be
further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also
drives away potential students and users, and eventually, if this
pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless.
---------Vladimir Igorevich Arnold
开场白
余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，... 阅读全帖 |
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W****i
发帖数: 1314 | 7 试试分离变量？
这个势的角度部分应该可以写成勒让德多项式。勒让德多项式也是动能项的本正函数。
如果两个勒让德多项式乘积可以写成勒让德多项式的和（你得去察察勒让德多项式的乘
积性质），那波函数的角度部分可能可以解出来，会是一些勒让德多项式的和。然后就
可以解径向方程了，常微分方程应该可以解。
还有，你一定要解析解吗？数值解这种微分方程应该有很多方法的吧 |
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i****1
发帖数: 84 | 8 在我碰到这道题之前，它已经被某人心怀恶意地发布在网络上，成为流行的朋友圈图片，肆意捉弄那些老实人。我根本没意识到我偶然看到的这道题到底是个什么样的怪物。它长这个样：
你可能已经在朋友圈看到过很多这样的图了，它们一般都是标题党的垃圾：什么“95%的麻省理工毕业生无法解决的问题”，这个“问题”要么很空洞，要么偷换概念，要么就是不重要的脑筋急转弯。
但这个问题不是。这张图片就是一个精明的，或者说阴险的圈套。大概99.999995%的人根本没有任何机会解决它，甚至包括一大批顶级大学非数论方向的数学家。它的确是可解的，但那真的真的不得了的难。
我们求解的是这个方程的正整数解
(为了与论文的变量名相适应，我把苹果、香蕉和菠萝修改过来了)
面对任何方程，你需要做的第一步是尝试并确定问题背景。这到底被划归到哪一类问题？嗯，我们被要求找到整数解，所以这是一个数论问题。就题而言，方程涉及有理函数（多项式除多项式的函数形式），但很显然我们可以用通分移项的方法化成一个多项式函数，所以我们实际上解得是一个丢番图方程（ Diophantine equation）。正数解的要求有一点不同寻常，接下来我们会看到这个要... 阅读全帖 |
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n********d
发帖数: 7676 | 9 量子通信之不负责任科普
首先，量子通信分广义和狭义。广义是用纠缠态光子来做信息载体，就好像无线通信通
过无线波传信息，光通信通过光（一般是激光）传信息。广义量子通信有很玄的部分，
比如teleportation，就是说纠缠光子在无限远距离可以传送状态，近似于心灵感应。
这个理论上靠不靠谱咱不说，咱不搞物理，但是这个离实际应用似乎还有若干光年的距
离，所以这里咱不拿这个说事。好吧，如果你是物理专家，觉得这个很靠谱，很快就能
用来传hello world。那就不用往下看了。
那么不谈这个teleportation，就说说单光子的的传送吧。这个和心灵感应不同，是需
要发送光子到接收端的。这个大家都能接受，对吧？现在的量子通信是怎么做的呢？光
子是波啊，有波就有振动方向啊。这个方向在传输过程中如果不受干扰是不变的。物理
名词叫偏振态。接收端用一个偏振镜，你就想象成一个细缝吧。那么这个细缝的方向和
这个波的偏振方向是一致的话，这个光子就可以被接收到了。接收端的偏振片是要转动
的，转一个角度收一个光子。很简单吧。别被纠缠态啥的名词忽悠了，激光通信里偏振
态是一个研究很多的问题，不同偏振态的光子在介... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 这个反建模，其实就是这么造出来的。
因为如果观察一下多项式级数，就会知道 “差分降幂 (n^k - (n-1)^k)”
来凑的想法。因为 n 是连续自然数，“差分降幂” 导致相邻项正负抵消，
而凑相邻项正负抵消，是常用技术。虽然可能产生低一阶的多项式级数，
但多项式总是可以按降幂写成通常的先乘后加的表达式，这样总是可以
一个一个干掉，干到常数项收工。
但是就是对于平方级数，直接用上面的差分降幂，就得从 “n^3 - (n-1)^3”
开始一个一个往下凑，但这玩意儿也太麻烦了。为了降低复杂度，可以
借用 “循环不变表达式” 的概念，用 n*(n+1)*(n+2) 来代替 n^3，
这样 n 按序递增的时候，乘积项里的两项不变，只变动一项，降低
体力活。
然后如果观察 n*(n+1)*(n+2) 这个式子，就会想到这是排列公式，
那如果把按序递增的一些排列求和，是不是可以创建一个排列组合
问题反映之？从这个方向就能想到前面的那个 “反建模”。这样对于
求 n*(n+1)*(n+2) 这种问题就不用凑了，直接写成组合公式。然后
分解一下凑 n^2 或者 n^3.
不过这题最终的好处，我觉得不... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 11 比如另一个解法里，需要用到 x^3 - 1 = (x-1) *(x^2 + x + 1)。。。这公式娃不要
说背不出来，连听都没听说过（play with algebraic cubes）。。。“急用” 了不是
？。。。
所以就先观察该多项式对应的方程 x^3 - 1 = 0，可知有一个根为 x=1。。。根据多项
式理论，该多项式必然能被多项式 x-1 整除。。。那剩下的咋办？。。。又急用了不
是？。。。办法一，多项式长除法，正好复习一遍。。。这长除法做完了，但是好像有
点烦。。。OK 还有诡异的办法二：利用指数的 “移位对称性”（algebraic
telescope tool) 凑正负抵消，反凑一个多项式 x^2 + x + 1 出来。
这样通过 “急用”，把枯燥变得稍微有趣一些，降低 normalnumeracy 娃学数学的最
大阻力 -- 枯燥。
：比如 2015 AIME-I Problem 3 的一个解法里，用到 (n+1)^3 的展开。。。这公式娃
肯定背不出来，用分配率死算又太烦，“急用” 了不是，那就正好复习 binomial
：theorem。。。但 binomi... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 12 我刚才想了一下，对于这道题的上下文是整数/素数问题的话，guess an (integer)
root 应该是正确的 instinct，如果等式右边出现一个一般的高次多项式，不是这题简
单的立方差或多少方差。
详细点说，这个问题是右边不管是 x^3 - 1 还是 x^7 - 1 都是特殊情况。。。而对于
更一般的情况，也就是右边如果是一个一般的任意高次的多项式，通常的套公式因式分
解就可能根本没有公式可套，高次方程也无一般求根公式。
但这题前面的解法中，在等式右边的策略是多项式整数因式分解，而我们有 rational
root theorem 可以保证找出任意高次方程所有的有理数根。这样就可以从所有有理数
根里选出所有的整数根，然后多项式除法求余下的部分，然后用 unique prime
factorization，加上集合/组合理论遍历所有组合。
这样等式右边是任意的多项式都可至少有降低复杂度求解的办法，而不仅仅限制在立方
差因式分解。
所以从这个角度看，guess a root 并不是 “事后猪哥亮”，而死套公式才保证随着题
目难度上升而最终会达到 “事前猪一样” 的境界。。。//... 阅读全帖 |
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h***o
发帖数: 539 | 13 BBS水木清华站∶精华区
发信人: FangQ (奥萨马·本·拉登), 信区: MathTools
标 题: Mathematica函数及使用方法(续)
发信站: BBS 水木清华站 (Thu Nov 19 18:02:49 1998)
Mathematica函数及使用方法(续)
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六、多项式函数
Variables[poly] 给出多项式poly中独立变量的列表
CoefficientList[poly, var] 给出多项式poly中变量var的系数
CoefficientList[poly, {var1,var2...}]给出多项式poly中变量var(i)的系数列表
PolynomialMod[poly, m] poly中各系数mod m同余后得到的多项式，m可为整式
PolynomialQuotient[p, q, x] 以 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 14 所有的代数结构，代数问题，都是围绕着这两种运算展开的。
具有两种二元运算的最基本的结构是环。
有了乘法，就可以问乘法逆的问题，对乘法逆封闭，这就有了域的概念。
有了乘法，也就有了乘方的概念，又有了多项式的概念，然后就可以问多项式的逆问题
，也就是多项式根的问题。
还有了多元多项式的概念以及逆问题，这就是代数方程的问题。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 15 对于这个题目而言，解法（2）其实是标准解法。
但这个不是为了求解法（2），而是为了利用排列组合推导多项式级数求
和（这里是平方级数求和）。所以为了推导多项式级数求和，故意创建了
这个排列组合问题，所谓的“反建模”，为了解抽象的公式，去创建一个
“实际的”模型（其实也是 “抽象模型”）。
而该创建的 “实际的模型“ 有两个解法，其中一个解法导致固定数目的项，
另一个解法是 N 项，并且因为排列公式的多项式级数的本质，N 项的就是
多项式级数求和。
这个看起来是有点 counter-intuitive，因为一般人纠结的都是建模
然后套公式，而这个是 “反建模” 来推导未知公式。但也好玩就是了。 |
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p**********6
发帖数: 3408 | 16 这可不是开玩笑，而是非常聪明的想法。八十年代洪加威写的文章《能用举例的方法来
证明几何定理吗？》就是讲这个的。
其实原理很简单，大部分初等几何题目从解析几何观点看，其实就是证明某些多项式相
等。而要证明某两个多项式相等，比如两个次数不会大于100次的多项式f(x)和g(x)相
等，我只要举101个不同的数a1到a101，验证f(a1)和g(a1)，……f(a101)和g(a101)都
相等，我们就知道f(x)和g(x)一定相等，因为次数不大于100次的多项式最多只有100个
不同的根，除非它其实是0。 |
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c*******v
发帖数: 2599 | 17 谁能想到现如今直接用CUDA解决了这类large scale fitting问题。。。
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发信人: tiredthinker (此人将死，有事烧纸), 信区: Mathematics
标 题: 请问怎么最快的化简一个多项式？
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Mar 15 20:44:30 2006), 站内
给定一个多项式f(x1,x2,x3,...)，包含有很多带括号的加，减，乘，平方，
立方，等等。
需要把它全部展开，然后合并化简。这个多项式很大，写成文本文件有20M。
mathematica的Expand一运行就死机。
现在我能想到的办法是
(1)
先求导数f(0),f'(0)...，
然后用f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x x x+... 来算。但是还是相当的慢。
(2)
计算足够多的数值，例如f(1),f(2),f(3),....,
然后用插值函数得到多项式。
这两种方法至少不会死机，但是还是相当慢。
请问有人知道更好的办法么？
如果精确解不行，得到化简的近似值也可以。 |
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c*******v
发帖数: 2599 | 18 就不讲数学上的问题了。
纯计算来讲，所有的Chebyshev 相关算法，都是FFT类型为核心的。
显然你都不知道Chebyshev 多项式的定义，收敛域的形状，计算方法,etc
如果你知道，你就知道我为啥说Chebyshey series和Fourier series是一回事了。
简单的说，想要表示f(x)，如果你让x=cos t 令g(t)=f(cos t),然后把g(t)做Fourier
展开，再反带回去x变量，那得到的就是Chebyshev展开。
因此，Chebyshev多项式的基本困难和Fourier展开的一样(Gibbs现象,etc)，
而不是什么oscillating问题。
如果你做过计算你就知道，常见的函数，
如果你做Chebyshev展开，很快系数就会收敛到计算机意义上的零，
1%的误差只需要最多10几个系数，也就是说这个函数估计最多就用到了
10几次多项式，哪有什么震荡问题。
这和Taylor展开有本质不同，你可以思考一下，如果sinx=x-x^3/3!+...
这样做展开，需要多少次多项式才能达到1%的精度？
在具体计算中间使用Taylor展开，就好比试图用Tayl |
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g****t
发帖数: 31659 | 19 写一个矩阵，次对角线是1，最后一行是多项式的系数。
这矩阵特征方程就是你的多项式。
数值上eigenvalue可以用QR法，lapack, linpack什么都能做。
复根也可以求，
多项式，diagonalizability的那个地方我一直就没太看明白，
是不是这个意思，多项式可以写成[]\alpha\beta的形式，求这个阵的eigenvalues.
哪位明白解释一下吧。 |
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m*******s
发帖数: 3142 | 20 Dirac函数对数值结果没有意义，况且Dirac函数的导数本身需要在同别的函数积分的意
义下定义，反而增加运算量。
不如不进行Chebyshev多项式展开，换成其他比如Hermite多项式，Laguerre多项式等可
以进行fourier变换的多项式，是否可行？有没有成熟的算法？
上面那个求Fourier变换的想法来自一篇paper，里面说B(\omega)的Fourier变换应该是
一系列在时间域衰减的指数函数的和。而且B(\omega)的trace对\omega作图，通常是有
峰有谷的不规则曲线，所以paper上说f_1,f_2,f_3.....都是x的Lorentzian function
。我根本不知道该怎么实现这种拟合,通常的least square方法似乎用不上。所以我才
来这儿问。
不过你的想法也不错，不进行这种整体性的分解，而是element-wise看问题，约化到通
常的函数的Fourier变换。FFT算法似乎是理想的算法，不过就是我比较担心在\omega域
对B(\omega)采样可能有问题，因为B(\omega)的trace反映出B(\omega)强烈的不光滑性
... 阅读全帖 |
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S*********g
发帖数: 5298 | 21 【 在 SuperString (超闲) 的大作中提到: 】
: (xy+1)(x+1)(y+1)+xy
首先，这个多项式一共有9项，
所以最后结果应该是3X3的，
不妨写为（A2+A1+A0）(B2+B1+B0)。
其次，最高幂次是x,y的4次，
所以,A2和B2应为X，Y的二次项，
另外，B0=A0=1。
由于多项式里没有X^2和y^2项，所以，A2=B2=XY。
到这里只剩下A1和B1，而且A1，B1是X或Y的一次项。
注意到多项式有一个对称性，就是交换X，Y，多项式不变。
那么，A1，B1=X，Y。
最后，我们得到结果：
（XY+X+1）（XY+Y+1） |
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l*****l
发帖数: 363 | 23 1， sin对cos说：虽然我们相爱了，但我总是感觉不对。
cos说：哪里不对呢？
sin说：我总觉得我们是在三角恋。
2， sin的爸爸问sin的妈妈：sin现在正交的女朋友是谁啊？
sin的妈妈说：sin正交的应该是cos吧。
3， sin对cos说：我除了你，心中还有一个人。
cos生气地说：她是谁？
sin说：tan。
4， sin对cos说：买这么一大堆衣服，你这是想玩儿什么啊？
cos说：我这是想玩儿cosplay。
5， cos问sin：sin兄，我是你的什么啊？
sin说：你是我的alpha。
cos撒娇说：啊？原来我是希腊字母啊！
sin说：这样，我就可以把你抱在括号里了。
6， sin对cos说：世界上最遥远的距离不是天和地，而是 pi/2。
7， cos对sin说：你这辈子干过什么坏事儿么？
sin说：也没什么大不了的，只有七件而已……
8， sin对cos说：今天不知道怎么回事，走在路上一会儿摔一跤一会儿摔一跤，真是奇
怪了。
cos说：没什么大不了的，估计又有人把你带到绊脚公式里去了。
9， sin对cos说：有话能不能好好说，别跟人类似的，总喜欢把“我”叫成... 阅读全帖 |
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s*****V
发帖数: 21731 | 24 图文并茂看这里
http://www.gzhshoulu.wang/article/736491
从古至今，无论在自然科学还是人文社科方面，学科分支越来越细，内容也越来越丰富
。究其原因，一方面是工具的增加，使人们发现不同现象的能力比以往更强。另一方面
，伴随着全世界人口大量增长，不同种族、宗教、习俗的人在互相交流后，他们的观点
和学问得到融会贯通，从而迸发出新的火花。
两千多年前，孔子谈论自己的学问时曾说：“吾道一以贯之”。面对越来越纷繁复杂的
学科，今天的学者还能做到孔子所说的“一以贯之”吗？我将探讨这个问题。
最重要的是
创造力和脚踏实地基础上的丰富情感
在建构一门新的学问，或是引导某一门学问走向新的方向时，学者的原创力从何而来？
为什么有些人看得特别远，找得到前人没有发现的观点？这是一种本能的理性选择，还
是读书破万卷的结果？诸多因素当然都极其重要，但在这其中，我认为最重要的是创造
力和脚踏实地基础上的丰富情感。
在中国文学史上，屈原作《楚辞》，李陵作《河梁送别诗》，太史公作《史记》，诸葛
亮作《出师表》，曹植作《赠白马王彪诗》，庾信作《哀江南赋》，王粲作《登楼赋》
，陶渊明作... 阅读全帖 |
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s***h
发帖数: 487 | 25 矩阵三角化当然可以教，娃不让我开无轨电车不是？
实际上多项式级数，如果系数是整数的话，待定系数消元有特殊技巧，因为系数都是n
方数。我跟娃说了这个特殊竞赛技巧，娃大喜。
不过其实是老师题目的文字有歧义，导致我和娃看成是多项式级数题。我还问娃你们怎
么开学先上多项式级数加待定系数，这种竞赛入门题？
不过娃也是大吃一斤这种题目也能快速手算求解，不需要记忆任何公式。解难题解得比
原来设计的简单题高中
非竞赛解法更快更整洁。
: 女娃学个财会得了，加减乘除。折腾个啥劲？
: 尼玛还教消元？咋不教矩阵三角化呢？ |
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S******r
发帖数: 4421 | 26 尼玛b sb的一个特征就是一个很清晰的概念 他给你复杂化
P问题的P指的就是多项式 也就是这个问题的复杂度可以用多项式表示。比如给你 x=
100个自然数，傻子也能在10000次比较以内排序好，这个复杂度就是x^2，这就是个多
项式，是P问题
NP指的是nondeterministic polynomial 指的是如果已经告诉你一个问题的答案 你可
以在多项式复杂度内断定答案的正确性 |
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n********g
发帖数: 6504 | 27 证伪一样东西容易（P），找到正确答案难（NP）。
就多项式，就够把玩大半辈子。为啥是多项式，多项式有多大的威力。康托也沉迷其中。
我觉得雷老师在打一只死老虎。量子力学新近理论已经不大一样了。 |
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T*******x
发帖数: 8565 | 28 一个简单情况：
假设p(x,y)和r(x,y)是两个二元多项式，系数为F比如复数。假定p(x,y)不能因式分解
。如果对于F中任意一个数k，都有r(x,k)作为一元多项式能因式分解有p(x,k)作为因子
，并且r(k,y)也有p(k,y)作为因子，那么一定有，r(x,y)作为二元多项式本身就能因式
分解且有p(x,y)作为因子。 |
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发帖数: 1 | 29 这个求和相当于用0次多项式去近似f(x),你还可以用1次多项式，2次多项式，三次样条
，simpson, simpson 3/8积分什么的 |
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s**********y
发帖数: 509 | 30 我看这是好事。 如果只是多项式分数的通分不熟悉， 找本对应的练习书， 作几道题
就可以了。 这样的结果是 娃知道了微分又练习了多项式分数的通分。 而且娃的唯一
不足是多项式分数的通分， 信心也提高。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 31 我娃从前没学过也没做过高中数学题，我娃这学期是第一次学。
对于 polynomial long division，我也是跟整数竖式除法的竖式
类比。。。其实我还嘲笑娃说，整数竖式除法根本不比 polynomial
long division 简单，只不过你们那帮不求甚解的娃，从来没想到
要去证明整数除法，就是一个个小人肉计算器。。。
具体而言，我大概是这么跟娃说的，其实 polynomial 跟 place-value
一样，都可以看成一个“数字”，或者说，一个“一维线型结构”的符号。。。
从这个角度看，虽然整数竖式除法的具体的 routine 可能适用也可能不适用，
但是所有的 property（这里主要是 distributive property，additive
identity/inverse property，zero multiplication property）都应该
成立（otherwise the algebra foundation collapse），所以由此得出
这两除法的差别就是：
1. 不要进位/借位。
2. 要合并同类项。
3. 视情况增补 0*x^2... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 32 是这个意思。。。其实这题的关键就是对于参数 (K1, K2) 的函数：
P(K1, K2) = (EF^2)*(CD^2) - (AC^2)*(BD^2)
该函数可能可以是二元四阶多项式。（没算过，猜的，不过如果出现
根号问题也不太大，电算一般能对付根号，不要太复杂就成）。
而求 P(K1, K2) 的运算问题，对于电算而言，因为多项式加减乘除运算，
也就是其系数矩阵的线性运算，线性矩阵代数就可以解决。
而更深一层次而言，P(K1, K2) 恒等于零，也就是对于这个凑出来的
问题有意义。。。。但是对于真正的现实问题而言，恒等于零的情况
几乎不会发生。。。如果该多项式函数不是恒等于零，那首先的两个
问题，就是零点/极点问题（函数本身），和各种极值问题（一阶导数
、或者平方后的一阶导数、或者更多）。。。所以解析几何是微积分
和数学分析的基础。
微积分和数学分析，跟初中欧几里德平面几何的差别。。。就好比 NASA
说有个项目，要在最近两年里，找一条既省燃料，又不能飞太久的路径
。。。数学分析借助电算，说两天后能给出三个方案。。。而初中欧几
里德平面几何说，伊有极其巧妙的方法，三分钟就可以给出... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 33 是这个意思。。。其实这题的关键就是对于参数 (K1, K2) 的函数：
P(K1, K2) = (EF^2)*(CD^2) - (AC^2)*(BD^2)
该函数可能可以是二元四阶多项式。（没算过，猜的，不过如果出现
根号问题也不太大，电算一般能对付根号，不要太复杂就成）。
而求 P(K1, K2) 的运算问题，对于电算而言，因为多项式加减乘除运算，
也就是其系数矩阵的线性运算，线性矩阵代数就可以解决。
而更深一层次而言，P(K1, K2) 恒等于零，也就是对于这个凑出来的
问题有意义。。。。但是对于真正的现实问题而言，恒等于零的情况
几乎不会发生。。。如果该多项式函数不是恒等于零，那首先的两个
问题，就是零点/极点问题（函数本身），和各种极值问题（一阶导数
、或者平方后的一阶导数、或者更多）。。。所以解析几何是微积分
和数学分析的基础。
微积分和数学分析，跟初中欧几里德平面几何的差别。。。就好比 NASA
说有个项目，要在最近两年里，找一条既省燃料，又不能飞太久的路径
。。。数学分析借助电算，说两天后能给出三个方案。。。而初中欧几
里德平面几何说，伊有极其巧妙的方法，三分钟就可以给出... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 34 我那个解法的优点，是啥公式都不用记忆。不过说到底还是有点像一个
mental game，对于多项式级数求和本身不实用。
不过多项式级数求和现在随便找个手机写个 app 就能算，也不需要
实用人肉多项式求和器了其实。
另外 decision tree 是一个 umbrella term for any step by
step decision, represented in the form of graph (graph
theory)，马工一招鲜。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 35 详细一点说明上面的帖子，就是如果进一步讨论任意多项式的情况，也就是第二步的时
候改成：
c*p = Q(n)
其中：c 是已知整数；p 是未知素数；n 是未知整数，Q() 是已知最高次项系数为 1
的多项式。
那么使用 rational root theorem (这里是 integer root)，只要 Q(x) 存在至少一个
整数根 a，那么 Q(x) 就可以整数因式分解成 (x-a)*S(x)，（分解更多降低计算复杂
度，但只要能分解成两个，就能保证能用下面的办法解得出来解），这样式子就变成：
c*p = (n-a)*S(n)
其中：c 是已知整数；p 是未知素数；n 是未知整数，a 是已知整数，S() 是已知最高
次项系数为 1 的多项式。
然后如法炮制对左边进行 prime factorization：
( cp_1 * cp_2 * ... * cp_k ) * p = (n-a)*S(n)
[ 上面的 cp_1 cp_2 ... cp_k 指已知素数（已知且不可分割）]
因为未知素数只有一个，该未知素数不可分割。。。依据 unique prime
factorizatio... 阅读全帖 |
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r***v
发帖数: 12658 | 36 【 以下文字转载自 Joke 讨论区 】
发信人: renaissance (ole), 信区: Joke
标 题: ztsin和cos的故事
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Sep 8 12:28:42 2011, 美东)
1， sin对cos说：虽然我们相爱了，但我总是感觉不对。
cos说：哪里不对呢？
sin说：我总觉得我们是在三角恋。
2， sin的爸爸问sin的妈妈：sin现在正交的女朋友是谁啊？
sin的妈妈说：sin正交的应该是cos吧。
3， sin对cos说：我除了你，心中还有一个人。
cos生气地说：她是谁？
sin说：tan。
4， sin对cos说：买这么一大堆衣服，你这是想玩儿什么啊？
cos说：我这是想玩儿cosplay。
5， cos问sin：sin兄，我是你的什么啊？
sin说：你是我的alpha。
cos撒娇说：啊？原来我是希腊字母啊！
sin说：这样，我就可以把你抱在括号里了。
6， sin对cos说：世界上最遥远的距离不是天和地，而是 pi/2。
7， cos对sin说：你这辈子干过什么坏事儿么？
sin说：也没什么大不了的，只有七件而... 阅读全帖 |
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r*********e
发帖数: 29495 | 37 1， sin对cos说：虽然我们相爱了，但我总是感觉不对。
cos说：哪里不对呢？
sin说：我总觉得我们是在三角恋。
2， sin的爸爸问sin的妈妈：sin现在正交的女朋友是谁啊？
sin的妈妈说：sin正交的应该是cos吧。
3， sin对cos说：我除了你，心中还有一个人。
cos生气地说：她是谁？
sin说：tan。
4， sin对cos说：买这么一大堆衣服，你这是想玩儿什么啊？
cos说：我这是想玩儿cosplay。
5， cos问sin：sin兄，我是你的什么啊？
sin说：你是我的alpha。
cos撒娇说：啊？原来我是希腊字母啊！
sin说：这样，我就可以把你抱在括号里了。
6， sin对cos说：世界上最遥远的距离不是天和地，而是 pi/2。
7， cos对sin说：你这辈子干过什么坏事儿么？
sin说：也没什么大不了的，只有七件而已……
8， sin对cos说：今天不知道怎么回事，走在路上一会儿摔一跤一会儿摔一跤，真是奇
怪了。
cos说：没什么大不了的，估计又有人把你带到绊脚公式里去了。
9， sin对cos说：有话能不能好好说，别跟人类似的，总喜欢把“我”叫成... 阅读全帖 |
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wy
发帖数: 14511 | 38 有了Turing Machine的概念，偶们就可以定义NP问题了，
P Class: 就是可以在多项式时间内用决定性图灵机解决的
问题的集合。
NP class: 可以在多项式时间内用非决定性图灵机解决的问题
的集合，比如说上例就属于NP集。
一个立即的推论就是P blongs to NP.
同学们广泛知道的计算机界最伟大的一个open problem就是：
Is P=NP?
一个定义：
1. NP-completeness(NP完全）:
一个问题（程序）A in NP,如果所有其它的NP问题
都可以在多项式时间内降解到A,那么我们说A是一个
NP完全问题。这个定义的说明实在太费事，不详细说了，
只说一下它的意义：就是如果我们能够发现一个解决
A的算法属于P,那么我们可以立即下结论说NP==P!
NP完全问题不象大家想象的那样少，相反，非常多，
比如3SAT问题，vertex cover problem,blahblah. |
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l******e
发帖数: 470 | 39 背包有伪多项式时间算法，说它是“伪”
就是因为复杂度是背包大小（比如说N)的多项式
而实际上一般说多项式是相对input size来说的，在这里表示N只要logN个bit，从这个
意义上是NPC |
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r****o
发帖数: 1950 | 40 多谢，请问哪些算法是真正的多项式时间而非伪多项式时间呢？
比如说某个算法复杂度为O(NG)，那G可以很大，大到2^N不就是指数的呢吗？那岂不所
有类似的算法都是伪多项式? |
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l*****8
发帖数: 16949 | 41 你的理解错误。
P表示一个问题有一个确定性的算法，用多项式时间可以计算。
NP表示一个问题有一个不确定的解法（也就是说可能有10000种可能的解法，这里面至
少有一个解法是正确的），如果你蒙对了的话，那么也是只要多项式时间可以算出。如
果你不蒙，一个一个解法试下来的话就不是多项式时间可以解决的了。
PS:上面的10000只是一个比方,实际的可能解法和输入有关。
比方说，分解一个两素数的乘积 n=p*q。如果是确定性算法，你可能就要从2,3,5,7,..
.一个个素数除过来，最坏情况要一直除到 n^1/2。可是如果是不确定算法，那你可以
随便挑一个1~n^1/2之间的数。如果你蒙对了，那么一步就算出来了。所以确定性算法
通常比非确定性算法更费时间。但要从理论上证明则是非常难得。 |
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l*****8
发帖数: 16949 | 42 是的。我再试着重新解释一遍：
P和NP涉及到两种不同的算法,确定性的和不确定性的。前者就是通常意义上的算法，算
完第一步怎么算下一步都是确定的，计算机程序基本都是确定性的算法。非确定性算法
则带有蒙的性质，就像走迷宫，走到某一步你可以有左，右，向前三种选择，下一步可
能又有三种选择。没人告诉你那条路可以出去。但肯定有一条路是通的。
P问题就是说有一个确定性的算法，用多项式时间可以算出答案。
NP问题就是说有一个类似迷宫算法，肯定有一条路（当然也可能有多条路)是通的，而
且如果你碰巧走了最短的路，那只要多项式时间就能走完。
所以P问题一定也是NP问题，因为确定性算法是非确定性算法的特例。任何一个非确定
性算法也可以用确定性算法来模拟：只要穷举每一条可能的路线就行了。但这种穷举方
法就不是多项式时间可以算完的了。 |
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J*****n
发帖数: 4859 | 43
我有一些离散的点(x_i,y_i)，先用某种曲线拟合的技巧(样条，多项式回归)得出其拟
合函数f(x)，然后再把f(x)传到g中，供g使用。
现在的问题是f的参数个数不一定，比如用多项式回归，那么f中不但要传x_i的值，还
要传一个多项式的degree：
double f (vector& x_i, const double& degree);
如果用三次样条插值，虽然不需要degree了，但是除了x_i外还要传一个vector进去用
于存放三次样条的knots（边界点）：
double f (vector& x_i, vector& knots);
作为g函数本身，并不知道用户用哪种方法去拟合，也就是不知道f所带的参数是怎么样
的。
请教该如何解决这个问题。
谢谢。 |
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d*z
发帖数: 150 | 44 x=croot[(croot(2)-1)/a],p=b/a,q=c/a
因此
x=1+croot(p)+croot(q) (1)
所以
x 满足(a*x^3+1)^3=2, 即
a^3*x^9+3*a^2*x^6+3*a*x^3-1=0 (2)
x-1=croot(p)+croot(q), 所以
(x-1)^3=3*croot(pq)*(x-1)+p+q (3)
，即
((x-1)^3 - (p+q))^3=27*pq*(x-1)^3. (4)
由于(4),(2)的x^8项不同，所以x的极小有理多项式次数必然小于9.
由于x=1+croot(p)+croot(q)
有群论可以得出，其极小有理多项式的次数为3次或9次，而且只有在
croot(p/q)或croot(pq)是有理数的时候才是3次。
所以，x的极小有理多项式的次数为3次，而且croot(p/q)或croot(pq)是有理数。
如果croot(p/q)是有理数,那么(x-1)^3是有理数，所以由(4),croot(pq)=[(x-1)^3-p-q]/
(3(x-1)),是有理数，也就是必然有,croot(pq |
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x******g
发帖数: 318 | 45 这个方法很多……
我先给几个别人的方法你来看看:)
正整数q, a满足q是质数，a开q次根号不是有理数， 证明x^q - a 不可约
证明：
对a作质因子分解，必有某个质因子p的幂次s不被q整除，因为b=a^(1/q)不是有理数
。
从x^q-a*m^q=g1(x)*g2(x)时x^q-a=g1(mx)*g2(mx)/m^q;
x^q-a=f1(x)*f2(x)时x^q-a*m^q=f1(x/m)*f2(x/m)*m^q.
不难看出
x^q-a在Q上不可约等价于x^q-a*m^q在Q上不可约，这里m为任意给定的非零有理数。
因此不妨假定s
考虑1
x^q-a^t不可约等价于x^q-[a^t/p^(cq)]不可约，后者由艾森斯坦判别法保证。于是
(1) b^t的极小多项式次数为q。
b的极小多项式f(x)与x^q-a有公共根b，因此f(x)整除x^q-a，于是
(2) [Q(b)：Q]=degf<=q。
(3) b^t在域Q(b)中，其极小多项式次数=[Q( |
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c*******v
发帖数: 2599 | 46 你没上过计算方法本科生的课吧？
牛顿法随便迭代几步都比你这个算法强的多。
另外，就算要把e^x用多项式估计然后求解。
对一个函数f(x),例如指数函数e^x做展开，
同样用四次多项式估计e^x,Chebyshev展开
后得到的多项式比Taylor效率高的多。
数值计算的基本原则之一是能用Fourier,
Chebyshev展开的时候，就不要用Taylor展开。
2) |
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D*D
发帖数: 236 | 47 用polynomial 拟合，然后对拟合的函数求导
excel能给出拟合的函数，任意次的多项式，如果拟要求完全拟合的话，理论上你有n个
（X，Y），那么n－1次的多项式一定能穿过所有的点，然后再对这个多项式求导就可以
了，很简单
激. |
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g****t
发帖数: 31659 | 48 我不是做你这行的,
但是从计算的经验上来讲,我觉得这种东西,首先要试的肯定就是牛顿法.
你查查文献看吧.多半别人都做过了.另外四个根什么的不成问题.
你查查一元多项式牛顿法的文献看.收敛到哪个根是初始点决定的.
初始点的选择多元主要靠猜,一元则有定理可以用.
另外四次一元多项式,其实是有解析解的,剩下就是开平方,开立方这类东西的
快速算法,这些也都有文献.为什么it is desired 不解方程求解这个问题?
所以,你肯定你这个题目是个合适的研究题目吗?
感谢回帖。
首先说，牛顿法本人没有试过，对于四阶多项式求导比较麻烦，可不可导也是个问题。
在哪里收敛哪里不收敛。
求出来根，虚根怎么办，四阶可能会有四个根，取哪一个。
我的方法就是全是简单的乘积加和，开方，比较麻烦的地方就是每次iteration要求一
次一个3x3矩阵的determinant，不过这还是简单的乘积加和运算. 讨论degnerate case
要更简单一些，程序上code比较好写。
对于数学上的方法比方构造一个polynomial quadratic converge |
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